期末考試總結之數(shù)學篇,舉一反三,題型歸類學習

期末考試總結之數(shù)學篇舉一反三，題型歸類學習學生：周同學老師：平盟于老師記錄人：賈某科目：高一數(shù)學

于老師針對平時試卷、作業(yè)、本次期末考試試卷以及學生和家長反映的情況，總結分析了孩子在學習數(shù)學中遇到的瓶頸，以及造成的原因。在此基礎上，介紹了為周同學量身定做的輔導規(guī)劃方案，并征得了家長和學生的認可和肯定。此外，于老師針對孩子的期末考試試卷，重點講解了孩子通過考試所反映出的孩子數(shù)學學習中重大的知識疏漏，并對問題進行歸類，講解了整類問題的解題方法和思路。在孩子理解和總結之后，于老師提供給孩子自己精選的該類型的題以及相關的變型題目，供孩子練習。最后老師總結了本次課講解的歸類提醒的解題方法和思路，以及相關知識點的梳理。同時給孩子留了相關的習題作業(yè)，幫助孩子鞏固所學知識。

擴展閱讀：考研數(shù)學201*高分必看：各種題型經典歸類總結考試點

空間曲面的表面積的題型與解法

一、計算曲面面積的系統(tǒng)解題方法1．

如果曲面由顯示函數(shù)zfx,y給出

SDxyzz1dxdyxy222．如果曲面有參數(shù)函數(shù)xxu,v;yyu,v;zzu,v給出

SEGF2dudvDExuuyuuzuu;Gxvvyvvzvv;Fxuvyuvzuv222222222特別地：●對

xRsincos22球面坐標系yRsinsinEGFdudvRsindd

zRcos●若所求曲面S由極坐標方程rr,決定，則引入球體坐標系

xr,sincosyr,sinsinzr,cosEGF2dudvr2r2sin2r2rdd

zz1dxdyxy223．對于柱面上的曲面面積一般不使用公式SDxy而使用第一類曲線積分。

設S為柱面fx,y0上介于曲線弧l1和l2之間的曲面片，且

zz1x,yzz2x,yl1:;l2:;z2x,yz1x,yfx,y0fx,y

又設柱面fx,y0在xoy平面的準線l的方程可寫成如下參數(shù)式

l:xxt,yyt,t

Sz2x,ydlz1x,ydlzxt,ytz1xt,ytxtytll2

二、曲面面積的題型與解法

【例1】求包括在圓柱面x2y22a2xy之內的曲面x2y22az的側面

222面積。

yyxy1解：對于曲面x2y22az，1xzaa2222圓柱面x2y22a2xyr2a2sin2

2SDxzyyxy1dxdz1dxdyxzaaDxy22221222axydxdyaDxyasin244da2r2rdr0a0343432aa1sin2d03a24a2a34cossind0334a22a2a22033539

【例2】柱面x2y22x被錐面zx2y2割下部分的曲面面積。解：

由于對稱性，本題所求錐面所圍的柱面面積為第一象限的4倍，對于右半平面，柱面方程為y1x12xx2，故有（在xoz平

面投影，不能在xoy平面投影）

x111yy1102yxz2xxy222所以所求的曲面面積為

S4Dxz1yy1dxdz4dxdz2xz2xxz22x1222441012xxdx2x0dz412x2xx20dx

0122t2xdx42tdt822t2x21

另外，還可以求出柱面圍的錐面面積如下：由于對稱性，所求錐面面積為上半平面的2倍，

對于上半平面，錐面方程為zx2y2，故有（在xoy平面投影）

xzz11x2y2xy22yx2y2222所以所求的曲面面積為

S2x1y212zz1dxdy22dxdy22xyx12y2122

【例3】求曲面x2y2a2被平面xz0,xz0x0,y0切除的那部分的面積。

解：對于準線平行于xoy平面的柱面，不能在xoy平面上投影，因為投影面積為零，故需要轉化到其他坐標平面上如xoz的投影。

SDxzaxyy1dxdz10dxdzxzyDxzx222dx0aa2x2xdza2axa2x2

0dx2a2

xrcos【例4】求螺旋面yrsin0ra,02的側面面積。

zh解：因為

xyzE1rrrxyz22GrhxxyyzzF0rrrSEGFdudvD2Dr222222

rhdrd切忌寫成rdrd222

d022a0r2hr2h2dr2rh2lnrr2h2220aaa2h2aahhlnh22

【例5】計算空間曲線x2y2z22a2xya0所包圍的面積。

2解：

xr,sincos引入球體坐標系yr,sinsin

zr,cos

x2y2z222a2xya0r2a2sin2sin2r222sin2,r222cos22acosasin

sin2SEGF2dudvr2r2sin2r2

rddDD24a22220dsinda04

【例6】求柱面22x3y31被球面x2y2z21割下部分的曲面面積。

解：按照第一類曲線積分解法如下

22x3y31xcos3sindlxt2yt2dt3sincosdy3,zl:xcos310,ysin3xcos3z321cos6sin632:ysinz2sin22x2y2z214S82302sin23sincosd63210sin22d332cos402d332

2

ra1cos【例7】求以極坐標曲線L:為準線，母線平行于z軸

z0的柱面被平面

xyz2a0及z0截下的有限部分的面積。

解：對于本題，就可以按照第一類曲線積分解法如下

ra1cosdlrrdt2acos2d,02z10,l:ra1cosra1cosz2:z2a1coscosa1cossin2azrcosrsin2aSa1coscosa1cossin2a2acos2d02a2222202coscoscoscos+sincoscossincos2cosd222222t4a4a4a4a4a202cos2tcostcos2tcost+sin2tcostcos2tsin2tcost2costdt2cos2tcostcos2tcost+sin2tcostcos2tsin2tcostdt20202cos2t1cost2cos2t12cost+sin2tcostcos2tsin2tcostdt2sin2tcostcos2tsin2tcostdt0202sint1sin2t212sin2t1sin2tsintdt354a24sint8sint4sintdt08a220354sint8sint4sintdt242328a2484a23535

考研數(shù)學中向量組相關性的8大必須掌握的系統(tǒng)定理及其證明

智軒

定理1一般稱A:1,2,,m為B:1,2,,m,m1的部分組，如果一

個向量組線性無關，則其部分組必無關；如果部分組相關，則向量組必相關。但如果向量組相關，則部分組可能相關也可能無關，同理，部分組無關，則向量組可能無關也可能相關。

證明：

記A1,2,,m,B1,2,,m,m1RBRA1

A線性相關RAmRBRA1m故1,2,,m,m1線性相關。

B線性無關RBm1RARB1=m

故1,2,,m線性無關。形象記憶法：大無小無，小關大關。（部分相關全部相關；全部無

關部分相關。）

評注對此類定理的掌握不能只局限于理論證明，更重要的是需要找

到直觀解析或幾何圖案。上述定理從坐標空間的維度很容易直觀理解。

定理2m個n維向量向量組成的向量組，如果坐標維數(shù)n小于向量

維數(shù)m時一定線性相關。特別地：n1個n維向量一定線性相關。

證明：m個n維向量1,2,,m構成矩陣

Anm1,2,,m

Anm1,2,,mnmRAnRAmm個向量1,2,,m線性相關。

上述定理可以這樣形象理解：相當于方程組中有多余一個合理方程。或者可以這樣理解：單個向量的維數(shù)相當于坐標空間的維度，向量組的維數(shù)（即向量組所含單個向量的個數(shù)）相當于任

意矢量r的分量個數(shù)，如果r具有三個分量，它又怎能在2維空

間中表示呢，除非三個分量不獨立，即線性相關。

形象記憶法：坐標數(shù)大于維數(shù)總相關。（坐標數(shù)指單個向量的維數(shù)）

x1ix定理3設n維向量組A1,2,,r，i2i為n維坐標；n維

xni向量組

B1,2,,r為增加i的坐標維數(shù)得到的（稱為導出組或延伸

x1x2組），即ixn，則

xn1xns（1）A1,2,,r無關導出組B1,2,,r無關；（2）導出組B1,2,,r相關A1,2,,r相關。形象記憶法：高維相關低維相關；低維無關高維無關。定理4設RAmnr，則n元齊次方程AX0的解空間S的秩為

RSnr。

定理5若AB0，當A為非零矩陣時B不可逆；當A,B為非零矩陣時，則A列不滿秩，B行不滿秩。

定理6向量組A能由向量組B線性表示AB，若B不能由A線性表示，則A0。

證明：向量組A能由向量組B線性表示AB，則矩陣方程ABC有解

向量組B不能由向量組A線性表示，則矩陣方程BAC無解若A0，則方程AXB有解XA1B，AXB成立意味

BA，與條件矛盾。

故A0。

定理7若AB0，當A為列滿矩陣時，則B0。

證明：設AmnBnlC，依題意，RAn，知A的標準型為

En，并有：0mnm階可逆矩陣P，使

EEBPAnPCPABnB000

B令C0RCRPCRRBRB00定理8若ABE，則B的列向量線性無關。

證明：考慮BX0，則

BX0ABX0EXX0為BX0的解。

故BX0只有零解B0，故B的列向量線性無關。評注第一，對向量組相關性的理解，首先把向量組轉化為對應矩陣A，因為秩是它們的公共量，從而等價于討論矩陣的秩。

第二，要明白秩是用子式（方陣）是否為零來定義的，所以矩陣A的秩等于矩陣的行秩也等于列秩，要明白單個向量的維數(shù)（坐標空間的

維度）和向量組的維數(shù)（任意矢量r的分量個數(shù)）是兩個不同的概念。A給矩陣A增加幾行后得矩陣BC，就相當于增加每一個向量的維

A數(shù)，這時滿秩=maxRAmaxR，就是說A1,2,,n無CA關B1,2,,n無關；但反之不成立，因為RCRA；如果

AARCrRARCr，就是

B1,2,,r相關

AA1,2,,n相關，反之也不成立，也是因為RCRA。

第19專題講座---二重積分的系統(tǒng)題型與題法201*

智軒

一、二重積分的六大對稱性

如果積分區(qū)域D具有軸或點對稱（令D表示D的一半?yún)^(qū)域，即D中

12對應y0部分，余類推），被積函數(shù)fx,y同時具有奇偶性，那么，二重積分的計算可以得到不同程度的簡化，這一技巧在研考數(shù)學中每年都必出題，務必理解記住下列6類對稱性定理。①D關于X軸對稱（D關于Y軸對稱類推）

D2f(x,y)dxdy,f是關于y的偶函數(shù)，即f(x,y)f(x,y)f(x,y)dxdyD120,f(x,y)f(x,y)②D關于X,Y都對稱

D4f(x,y)dxdy,f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)dxdyD140,f(x,y)f(x,y)或f(x,y)f(x,y)③D關于原點對稱

0,f(x,y)f(x,y)f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy,f(x,y)f(x,y)D12

D④當D1和D2關于某一直線對稱，對同一被積函數(shù)，則

f(x,y)dxdyf(x,y)dxdyD1D2⑤D關于Xa軸對稱

xadxdy0D⑥萬能輪換對稱性●輪換對稱性描述

如果將x與y及z交換，即xy,yz，zx后，積分區(qū)域方程不變，則將被積函數(shù)中的變量作同樣變換后所獲得的積分值與原積分值相等，這個性質在二重積分，三重積分，曲線積分和曲面積分等六類多元函數(shù)積分中都成立�！褫啌Q對稱性實例

I1xy1axbydxdyab2xy1xydxdy4ab2xy1xydxdy4abxdxdyx0,y0xy1x0,y0I2xy1x2y21dxdy2xy3x2y2y2x2dxdy0yx3xy3xy1二、二重積分次序選擇原則與積分次序的更換方法陳氏穿線法【原創(chuàng)】后積先定常數(shù)限，先積方向正直穿；相交必須同一線，否則域內要分拆；隱含邊界須周全，6類對稱掛耳邊；極坐標逆弧線，多種邊界同園拆。

①先看積分區(qū)域的邊界方程，那個變量冪次高，就后積此變量；■題型一關于積分交換次序題法【例1】計算IDx2dxdy,D由xy=2,y=1x2,x2所圍。2y解：x冪次高，所以先積yD:1x2,y1x2

ID221x2xx27dxdydxdy=+arctan2-12xy2y2842x②若被積函數(shù)只有一個變量，就后積此變量；【例2】IDsinydxdy，D由yx,xy2所圍。y解：被積函數(shù)只有一個變量y，先積x

1sinyysinydxdydy2dx1sin1I0yyyD③積分次序一般以盡可能不拆分區(qū)域（即為正規(guī)區(qū)域）為基準�！纠�3】更換積分次序I0dx12xx20fx,ydydx122x0fx,ydy

1x20x1D:解：D1:及220y2x0y2xx作D1和D2圖形，得：I0dy11yfx,ydx

212y【例4】交換積分次序I1dxxfx,ydy2dxxfx,ydy

1x22x8D解：D122xy8xyx2x288畫出D1,D2圖形，得：

I1dyyfx,ydx4dy2fx,ydx

4y8y

【例5】更換積分次序I0dx0解：I0dyarcsiny12sxinfx,ydy

2arcsinyarcsinyfx,ydxdy10arcsinyfx,ydx

【例6】更換積分次序Id0242acosf,d

解：如改為先后則有下列兩點技巧①D的邊界曲線全都用極坐標表示

②若以原點o為圓心的一系列同心圓與y區(qū)域D的邊界曲線中的不同曲線相交，則應在交點處用逆時針園弧線2a把的區(qū)間分為兩個正規(guī)區(qū)域：

arccosarccosarccos2aD22a2aD1202a2a2aI2a0darccos2a4f,d2a2adarccos2aarccosf,d

2a三、換元法技巧

以盡可能簡便D為出發(fā)點，再參考fx,y,z的特征。如球對稱用球坐標，錐體用柱坐標等，微分元換算利用雅可比行列式。

Dfx,ydxdyf[xu,v,yu,v]Dx,yu,vdudv

fx,y,zdxdgdzf[xu,v,w,u,v,w]x,y,zu,v,wdudvdw

xx,yu其中雅可比矩陣

u,vyux1vyu,vvx,y■題型二關于對稱性題法

【例7】D1:1x1,2y2,I1(x2y2)dxdy

D1D2:0x1,0y2,I2(x2y2)dxdy

D2解：f為偶函數(shù)數(shù)，D1關于x,y都對稱，D2正好是D1的，故

222I14I2(x2y2)dxdyxdxdyydxdydyxdx2ydydx4

D2D2142121D00002【例8】計算Ixydxdy

D1D1:x2y222x2y22D2:x2y22xy

2解：（1）D關于x,y對稱

fx,yxy關于x,y都是奇數(shù)Ixydxdy0

D（2）D關于原點對稱，fx,yxyfx,yxy,fx,y為偶函數(shù)，故

Dfx,yd2xyd22dD0sin20r3sincosdr=

16

【例9】設區(qū)域D由yx3,y1,x1所圍，試計算

Ix[1yf(x2y2)]d

D解：作輔助線yx3，則D分為D1和D2。顯然，D1關于X軸對稱，D2關于Y軸對稱。

Ix[1yf(x2y2)]dx[1yf(x2y2)]dD1D2xdxdx3D11x0x32dy5

x2y222【例10】計算I(2sinx4y4)dD:xypqD2a解：由于D關于X，Y輪換對稱性，故

x2y2I(2sinx4y4)d中被積函數(shù)又可以輪換，積分值不變

Dpq又由于D關于X，Y軸均對稱，故

2sinxd04yd0

DD1x2y2y2I2(x2pq)d4dDpqD1(11)(x2y22pq)d4a2D

12a2(1p1q)00r2dr4a2(11)a44a24pqx2,xy【例11】設二元函數(shù)fx,y11,1xy，x2y22fx,yd，其中Dx,y|xy2。

D解：記D1x,y|xy1，D2DD1

fx,ydfx,ydfx,ydDD1D2x2d1D1D2x2y2d411ydy422x111x10x2dx00dx0x2y2dy0dx0x2y2dy1342ln21

計算二重積分

【例12】計算Iafx,ydxdy，其中：

DD:x2y2axa0,fx,yx,0xa,ya0,other，求

a0limeIa121cosaln1a。

解：D關于x軸對稱，fx,y關于y是偶函數(shù)，則

aacosaIa2xdxdy2xdxdy2drcosrdr0000D12a3a33332a31a302cosda3422a843Ia

a0lime11cosaln1a2lima0Ia1aln1a22a3a82lima014aa223

■題型三關于極坐標題法陳氏第14技能否使用極坐標主要由被積函數(shù)的特點決定，而不是由區(qū)域特點所決定；使用極坐標方式有兩種：1原位法：

xx0rcosxrcos2平移法：，選擇的原則是使被積函數(shù)或yysinyy0ysin容易積出，一般來說，被積函數(shù)具有fx2y2或fxmyn形式時，使用極坐標會大大簡化計算。如果選擇不當會使積分求解復雜�！癯Ｓ媒Y論

4amn2mn2cossind當m和n沒有一個為奇數(shù)mn0xymn20當m和n至少有一個為奇數(shù)x2y2a2

【例13】計算aI10dx1

12xx21x2x2y2dy

bI22dxx04x2x2ydydx2024x22xx2x2y2dy

c設fx,y在單位圓上有連續(xù)的偏導數(shù)，且在邊界

上為零，試證明：

1f0,0lim022x2yxfxyfy21x2y2dxdy

0x1解：a積分區(qū)域為：D:2211xy2xx顯然本題適合用原點極坐標，

2xrcosy11xr2sin交點坐標2,24yrsiny2xxr2cos由對稱性⑤知：

I12rrdr24dD10222sin0rdr84sin4d

30

1cos41cos2484d212cos201*2213d8480x22x0b積分區(qū)域為：D:222xy4x2xxy4xI20234dx4x2x22x2ydydx2024x22xx2x2xrcosy2dyyrsind2044rr2222rrdrdrrdr|0|d

02cos042cos4422319421cos4d4024224c使用原點極坐標，xrcos，yrsin

ffcosfxsinfyrrcosfxrsinfyxfxyfyrrfrxfxyfy11rrdrdlimdxdylim220222202xyr2r1xy10211f1212limddrlimfrcos,rsindr0201*01*limfcos,sinf0,00,20fcos,sindlim0200

【例14】計算IR2x2y2dxdyD:x2y2Rx,R0。

DRR2xy解：D:x2y2Rx為偏心圓域，由于被積函數(shù)的2222特點，故可使用極坐標，而這里有兩種取法。如使用原位法，即

xrcosD1:0,0rRcos2yysin2I2Rxydxdy22dD102222Rcos0R2r2rdr2201*2322Rr302Rcos

1141d22R3R3sin3dR303333RxrcosD1:02,0rR，如使用平移法，即2本質上是把

2yysin圓心平移到原點，則

I2Rxydxdy2dD102222R0R2R1Rrcosrdr

42顯然上述積分十分繁瑣，本題不能使用平移法。但在別的場合，必須使用平移法以簡便計算，因為平移法有個優(yōu)點就是能使積分上下限常數(shù)化。參見下例。

22111xy222【例15】求積分Ixyx2y2dxdyD:。Dxy01xrcos12解：方法一：平移法D:02,0r2y1ysin22Ixyx2y2dxdyrrdrd28DD1方法二：原位法xrcos3D:,0rcossin

yysin442srsinrrdrdIxyx2y2dxdyrcoDD8

讀者可以嘗試計算上述積分，其中的計算過程要必平移法復雜得多！

被平面z和z所夾【例16】求球面x2y2z2a2a0a4a2部分的表面積解：

23x2y2x2y2z2a22aaza2z2215x2y2x2y2z2a24aaza4z4

上半球za2x2y2zxxaxy222zyyaxy222

由于對稱性

S41zxzydxdy2Dxy4Dxyaaxy15a23a2222dxdyd2a4

4d20aa2222|15a23a21a22【例17】IDxyxy在第一象限所圍成的區(qū)xydyD由623域。

xyxy解：由解出x,y相當困難，為此采取極坐標，令2362sx2co為廣義極坐標，則2y3sin4

xyxy42sin2cos22sin2cos262340,所研究的曲線在第一象限，于是sincos

2解出,上下限，sincos00,;

2Jx,y,2cos23sin24cossin6sincos12sincos

I62sin2cos212sincosddD12d0sincos01262sin2cos2d

6

x2y2z2【例18】求橢球體的體積2221（廣義極坐標）

abc解：作廣義極坐標變換xarcoszc1r2Jabr

ybrsin1c1r再采用穿線法，有V802d0dr054abrdzabc

3x2y2xy【例19】求曲線4包圍的面積S。

cabx2y2xarcos2xy解：4yarsin2caba2b2c45

SdxdydS20cos4sin40552abrcossindab1410c2550sin9dab1c42920sin9dab1260c455

【例20】求曲線4x4y1;x0;y0包圍的面積S。abx4yxarcos81解：yarsin8ab4

ucos7Sdxdy8abrcossindrd4ab2cossin7d77SS04abu71u2du301ab70

■題型四關于換元題法【例21】計算IcosDxyxy1dxdyD所圍區(qū)域。xyx0,y0解：令uxy,vxy

Jx,yu,v111u,v112x,y11vu111u111Icosdudvdvcosdu2sin1vdvsin

vv220v202Duv

【例22】求

y2pxyqx20pq和

xyaxyb0ab所圍D的面積。

y2解：作變換，令u,xyv，由此把原有的曲線區(qū)域變成矩形區(qū)域

xJx,yu,v111122u,u3y3uy2y2xx,yxxyxSdxdyDD1bq111qdudvdvdubaln

ap3u3u3p【

y2例

2a2,23

a】

2計

2算

b由曲線

mxy22圍成b,的x積。y所面

（y0,ba0,nm0）解：令y22uxu2,y22vxv2xx雅克比行列式Juyu1x2vy1vv2uuv,yuv，2121uv()

u1u4v2v故

SdxdyDaub,mvnJdudv1uv()dudv4aubvu,mvn3113311131uv22222222dudvdudv(ba)(nm)(nm)(ba)34vuaub,mvnaub,mvn

【例24】I0yx3xy14xyln11xyyxdxdy

0yxx,yy1u3解：設uxy;v；xy124xu,vuu1vxyvvxy0v13u14I0yx3xy14yxyln111ln1vu2203xdxdy3dudv1ln2204801xy1v41u■題型五關于隱含邊界題法【例25】計算I0dyy11y1xy22dx

解：用隱含邊界圓弧r1將區(qū)間分為D1和D2兩部分，使用原點極坐標，得

Idr400122r2sinrsin4ddrd1221arccos1rr1r21r221dr01r222r22dr01r2211212r2rdr11r2dr1r2202r2rdrdr2211r1r

121dr2021r202112d1rdr12211r21r213arctan2ln2422x1yxdxdyD

0y22【例26】I0解：題中yx2為隱含邊界

Iyx2dxdyx2ydxdy

D1D2

52xydy21032【例27】Isin(xy)dxdyD:0x,0y

1dxx12yxdydx21x2D解：Isin(xy)dxdysin(xy)dxdy

D1D2(,)dx0x0sin(xy)dydx0xsin(xy)dy2xy評注如果本題改為D:0x,0y2，則

Isin(xy)dxdydxD0x0sin(xy)dydx02xxsin(xy)dydx022xsin(xy)dy1cosxdx2xdx1cosxdx4000

【例28】Isgn(xy)exydxdyD:x2y1x2D22y解：IexD12y2dxdyexD22y2dxdyexD32y2dxdyD1,D3關于Y軸對稱（二個區(qū)域），而被積函數(shù)相等，x故D1D3Iex2y2D2dxdy2e1D22x2y240dxdy2drerdr0124(e1)【例29】I3x4ydxdyD:x2y21

D

解：I0d03rcos4rsinrdr50sin()d0r2drarctan52521020sin()dsindsind0003333TaT212134（利用0f(xa)dxa同步練習：

f(x)dxf(x)dx)）

0TDxy9x2y2dxdyD:x2y21答案：。

162【例30】計算Ix2y21xydxdy

解：隱含邊界為xy0，令

3D1,|,014437,|,01D2

44D3,|,0144

Ix2y21xydxdyxydxdyxydxdyxydxdyDD1D22xydxdyD1D1D2Dxydxdy2xydxdy0因為D關于x,y都對稱，所以xydxdy=0

D1D1D2D=4xdxdy因為D關于x,y具有輪換對稱性D344cosd2d401423xy2dxdy。

【例31】計算I0x22x2解：使用xy0yx和xy2xy2或xy2共3條隱含邊界把積分區(qū)間從上到下劃分為D1;D2;D3，故

xy2;D1yx2xy22xy;D2xyx2

xy2;D3x2yxI0x22x2xy2dxdyxy2dxdy2xydxdyxy2dxdyD1D2D3D1D2D3xydxdy2xydxdy2dxdy2dxdy2dxdyD2D1D2D3xydxdy2xydxdy2dxdyDD2D2

xdxdy2x1ydxdyDD2x11dxdy2x1ydxdy0808DD2【例32】Icosxyd，D:由yx,y0,xD2所圍。

解：隱含放邊界cosxy0xy

2在圖上畫出此輔助線。用D1表示積分區(qū)域的下半部分，則：

2I2cosxyd2dy2y

0D140ycosxydx2

y224cosxyydy241sin2ydy021【例33】計算I1x2y2dxdyD:Maxx,y1。

D解：隱含邊界1x2y20x2y21把區(qū)域D的第一象限部分分為左右兩子域D1和D2

I1x2y2dxdyD=41x2y2dxdy41x2y2dxdyD1D281x2y2dxdy4D1D2D11x2y2dxdy

28d12d4201*D2D112xdxdy8111134dy12x2dx002244【例34】計算積分Ix2y24sgnx2y22dxdy。

D:x2y24y2x221D2:x2y24y2x22x12222解：將區(qū)間分為5個部分D3:xy4x1的左部yx2

2222D4:xy4x1的右部yx22222D5:xy4yx2Ix2y24D1sgnx2y22dxdydxdydxdydxdydxdydxdyD5D2D3D440dx2xdy40dx0214x212x2dy4dx11024x20dy

8102xdx42214xdx24x2dx4138ln32【例35】計算積分I0x20y2xydxdy。

解：將區(qū)域分為由下到上的4個積分區(qū)間D1;D2;D3;D4。

0;D1xy1x0y01;D11xy2x0y0xy2;D12xy3x2y23;D3xyx2y21

I0x20y2xydxdydxdy2dxdy3dxdyD1D2D3dxdydxdy2dxdydxdyDDD3D3121133D2DD462222

【例36】求Iminx,yeDx2y2x,dDy,Iyxyxex2y2dyexyx2y2dx2y2dyxex2y2xdxdxyedy2

32222【例37】計算Iminxy,2xydxdy

163x2y216解：

I32222minxy,2xydxdy316x2y216

0r13r2rdrd16122r2r2rdrd34733224

22【例38】計算IMaxxy,1dxdy，其中Dx,y|0x2,0y2。

DD1:xy1,x,yD解：用雙曲線的上支將D分成兩塊：DD1D2

D2:xy1,x,yD而D1為非正規(guī)區(qū)域，過點,2作平行于y軸的直線，把D1分為左右21兩個正規(guī)區(qū)域D11和D12

IMaxxy,1dxdy1dxdy1dxdyxydxdyDD112D12D211dxdy1xdx1ydy22x21x0219ln24

■題型六關于含參積分題法【例39】已知Ix0du02x2uxu2ln1xxcostu2dt；求limIx。

x0解：當x0時，記D:0u2x,0t2uxu2IxcostududtD2ln1xx2

當x0時，記D:2xu0,0t2uxu2IxcostududtDln1xx

根據(jù)積分中值定理：

costududtcosSDcosD2222x2

x0limIxlimx0cosxx22x22x0limIxlimx0cosxx22x22

limIxx022【例40】設函數(shù)fx,y0x,yD0，

x,yD0x0,1，求D0y0,1Ftxytfx,ydxdy。

解：含參數(shù)的積分問題采用平移法決定參數(shù)的取值范圍是作者的精妙秘訣。

平移法的思想是：先畫出D0的區(qū)域圖，再令xy0為基準直線，然后把該基準直線分別平移到D0的全部邊界點上，如本題，把基準直線xy0平移到邊界點x1，得分界直線xy1，再把基準直線得分界直線xy2，于是得出所求xy0平移到邊界點x1,y1，

積分關于參數(shù)t的三個分段點t0,1,2，所以有

12

t0fx,y0Ft0把基準直線平移到該區(qū)域任意位置，得直線xyt，0t1，

該直線與x軸的交點為t，于是

FtxytD0fx,ydxdy2dx0ttx0dyt2

31t2，把基準直線平移到該區(qū)域任意位置，得直線xyt，

該直線與x軸的交點在區(qū)域D0外，不可作為積分限，但該直線與y1交于t1,1，為于是

FtxytD0fx,ydxdy2dydx2dx00t11t11tx0dy2t12txdxt24t2t11

4t2，F(xiàn)t【例41】Ft2xytD0fx,ydxdy2dxdy2

0011xtyt21x2y2dxdy，求Ft。

解：利用區(qū)間變換將參量t轉移到被積函數(shù)中，令xtu;ytv

FtFtu2v21utvtutvt222dudvdudvu2v21utvt2xt2yt21xyxy22

dxdy【例42】Ftx2y2t2fx,ydxdyt0，求Ft。

解：利用極坐標等將參量t轉移到積分變限中，令

xrcos;yrsin

Ftdr0t20frcos,rsindFt220frcos,rsind

D2【例43】D:x2y22x2y2r22cos2,求xydxdy

解：

這是標準的伯努利雙紐線（參見同濟版上冊附錄2）由于伯努利雙紐線關于x軸對稱，根據(jù)對稱性,則22xydxdyxydxdy2DD

44d02cos201r3dr444cos22d042【例44】計算I2xxy22,y2xy241dxdyxyxy1111xrcos,4cosrcos;sinrsinyrsinx2y2x2y22424111cossinarctan4221sin1rdr42Idxdy2d11arctancosrcosrsinxyxy24D:22x2y2,x2y241sin11241ln2d241ln2tandtanarctancossinarctantan122cos4241arctan22ln2lntandlntanln2■題型七二重積分應用題法

【例45】設fx,y為恒大于零的連續(xù)函數(shù)，求證：

bafxdxab12dxba。fx證明：采用二重積分的逆向思想。設D:axb,ayb，

bIabbbfx11fxdxdxfxdxdydxdyfxfyfyaaaDbbbfy11fxdxdxfydydxdxdyfxfxfxaaaDbIaIfy1fxdxdydxdy2fyfxDD1fxfy1fxfy12dxdy2dxdy2dxdyba2fyfx2fyfx2DDD

【例46】設fx是區(qū)間0,上具有連續(xù)導數(shù)的單調增加函數(shù)，且

f01。對任意t0,，直線x0,xt，曲線yfx以及x軸所

圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周生成的旋轉體，若該旋轉體的側面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求fx。解：依題意得

220fx1fxdx2f0xdx（也可使用古爾金第二定理）

t2tt0時，上述等式顯然成立�，F(xiàn)在上式兩邊對t求導得

2ft1ftftftf01ft0ft單增ft02f2t1dydy22dxy12lnyy1xcyfxdxy1y01y01y01

lnyy21xyy21ex又lnyy21xlnfxy1xxee21yy21xyy21ex

行列式的題型題法大全專題講座

一、行列式的基礎題型與題法【例1】求極限

x1sinx11x22x10x33211Llimx0

1sinxcosx1解：應用羅畢達法則

11Llimlimx0x02x3x22x00201xsinx11x20x10x30211x1cosx10x221x3301010100123002411110010130sinx011sinxcosx1cosxsinx01sinxcosx1

x0x22x36x●同步練習：Fx12x3x2Fx6x2【例2】行列式的分解方法和重要結論

設n階同型矩陣，Aaij;BbijABaijbij，而行列式只是就某一列分解，所以，AB應當是2n個行列式之和，即

ABAB。

以我們經常遇到三階行列式的特征值問題舉例如下：

a11EAa21a31a12a13a110a310a120a130a23a22a32a230a21a220a3200a33a13a23a33(112)0000a12a22a32a33a11a3100000a11a21a31a12a22a32a13a23a332220a11a3100000000a12a22a3200a13a23a33212a21a12a22a3201*1121a110211a11a21a31a21a21a31221221

aEA3a11a22a33211a21a12a22a22a32a23a33a11a31a11a13a21a33a31a12a22a32a13a23a33123a11a22a33TrAa11a12a13根據(jù)韋達定理，馬上可以得到兩個重要公式：naaa1A123212223a31a32a33

其中，111表示取被展開的行列式中的各列的第一子列，余類推。特別地，如特征值行列式中，有兩行或兩列對應成比例，上述公式可以簡化為：

3EAa11a22a33aii23trA2i13231trA,230

評注韋達定理的一般形式為：

anxan1x

nn1an2xn2nan1an2nnaa00xi;xixj;xi10ananani1ij1i1n

【例3】代數(shù)余子式的計算技巧

元素的代數(shù)余子式與該元素無關，行列式按某一行元素的代數(shù)余子式展開形式中，代數(shù)余子式前面乘以不同的系數(shù)就可以得到不同的行列式。

a11a21a12a22an2a1na2n=ai1Ai1ai2Ai2ainA1n

第i行an1ai1ai2ainann如果把上述等式兩邊的中括號里的元素換成不同的值，就變成不同的行列式了。

【例4】拉普拉斯行列式中逆序數(shù)的計算

a11a12c12cn2a1mc1mcnm00b1100b1200a11aam1c11cn1am2amma11a1mb11b1nb1n11am1ammbn1bnnbn1bn2bnna1mb11b1nam1ammbn1bnn

112m12mmm1111mm11

c11bb11bn1c12b12bn2c1nb1nbnna11am100a1200a1mcm1cm2cmnam2amm00a11a1mb11b1n12am1ammbn1bnna11a1m1mnb11b1nam1ammbn1bnn

212mn1n2nmmm12m2nm12mnmm1121mn1mm11mn1D3x1x121D4x1xx21311x22x21x32x31ji3xxxij3x1x3x2x2x11x2xx22321x3xx23331x4xx24341ji4xxxij4x1x4x2x4x3x3x1x3x2x2x1D4x4x1x4x2x4x3D31ji3xxxiji134xi

二、行列式定義與余子式的應用2.1．行列式定義的應用

【例5】求逆序數(shù)（1）1352n12462n）

（2）已知x1x2xn1xnk，求xnxn1x2x1

解：（1）1352n12462nn1n210（2）解法一

nn12

對n個數(shù)的排列x1x2xn1xn，如果關于第i個元素xi有mi個元素比

xi大，并且都放在xi的前面，我們說第i個元素xi有mi個逆序數(shù)，如果

關于第i個元素xi有mi個元素比xi大，但都放在xi的后面，我們說于第

i個元素xi有mi個順序數(shù)。

x1x2xn1xn中關于第1個元素x1有m10個逆序數(shù)，關于第1個

元素x1有n1m1個順序數(shù)，即在排列xnxn1x2x1中關于第n個元素x1的逆序數(shù)為n1m1；

x1x2xn1xn中關于第2個元素x2有m2個逆序數(shù)，則關于第2個元

素x2有n2m2個順序數(shù)，即在排列xnxn1x2x1中關于第n1個元素x2的逆序數(shù)為n2m2；

依此類推，可得：

xnxn1x2x1nnmnn2m2n1m1nnn2n1m1m2mnnn12k

解法二（推薦解法）

在排列x1x2xn1xn任取兩個數(shù)xk和xlkl，則數(shù)對xk,xl要么為逆序數(shù)，要么為順序數(shù)，而該排列共有Cn2個數(shù)對，已知x1x2xn1xn的逆序數(shù)為k,故x1x2xn1xn的順序數(shù)為Cn2k，它正好就是xnxn1x2x1的逆序數(shù)，故xnxn1x2x1Cn2k

nn12k。

【例6】（1）已知四階行列式中a3ja12a41a2k的符號為負，求j,k；（2）在五階行列式中，確定項a12a31a54a43a25的符號；

（3）如果n階行列式中等于零的元素大于n2n個，求Dn。解：（1）由于列號2，1固定，故j,k只能取3或者4，而

a3ja12a41a2ka12a2ka3ja41

j3,k424313141j4,k32341331j4,k32431123411

（2）a12a31a54a43a25a12a25a31a43a54

2513411241251341，取正號。

（3）n階行列式展開共有n2項，等于零的元素大于n2n個，則不為零的元素小于n個，而行列式展開的每一項都是n個不同元素的乘積，故Dn0。

陳氏第21技--（1）使用〖排列法〗求參數(shù)行列式某冪次前的系數(shù)。

排列法：先固定行號順序排列：12n，再根據(jù)定義排列可能的列標。

xx10x23x2x1【例7】在fx23求x3項。

112解：排列法：先固定行號順序排列：12n，再根據(jù)定義排列可能的列標。

由定義知，行列式展開的每一項來源于原行列式每行每列只能取

一個而且必須取一個元素的法則。

如取a11x，則其余項為相應取a2ja3ja4j形式，下面就是看j2j3j4234可能的排列中哪些符合要求。

j22,j33,j44則為x4項不合題意所求；其他取法均為x2不合

題意所求；

故取a11x不成立。

同樣的分析知，只有取a12x，相應取a21a33a44才合題意，于是

1

1133(2134)a12a21a33a44x3

221335【例8】求D412x222

19x2解：x1時前兩行相等D0，故D展開式必含該兩因式，x2時后兩行相等D0，故D展開式必含該兩因式，由于是四階行列式，最高次冪不大于x4，故

D4kx1x1x2x2

而x4前的系數(shù)可由定義求出：

含x4冪的項的形式為：a1ja22a22=2x2a3ja44a44=9x2

13由于已經固定順序行標1234，列標有兩個也被固定，即：

j12j34

根據(jù)行列式各項取自不同行不同列的規(guī)則：j11或3；j23或1●當j11時，必有j33，即存在含x4冪

11234a11a22a222x2a33a44a449x222222a112xa339x12x19x2x9x2

●當j13時，必有j31，即存在含x4冪

13214a13a22a22=2x2a31a44a44=9x222222a132xa319x22x29x42x9x2

故x4前的系數(shù)k143

陳氏第21技--（2）常數(shù)行列式法。

像【例8】類型題有一個絕妙的方法：即劃去2x2和9x2所在的行和列，剩下的數(shù)（不能含未知數(shù)x，否則，只能用排列法。）組成行列式

12213，就是x4前的系數(shù)。

x1023xxx又如：已知fx2171043，求fx。易知fx最高次冪為x2，

71故只要求出x2的系數(shù)即可，而x2的系數(shù)

a1123104a44a11a2410231042x216xfx16。71104714

a10a2b300b2a30b100a400b4【例9】求D

解：方法一：

a1D00b40a2b30a2b3b2a30b2a30b100a4a2b3a2a1b30b2a300a40b4a2b30b2a300b10

a1a4b1b4b2a3a2a3b2b3a1a4b1b4

方法二：利用拉普拉斯展開：

a10a2b300b2a30b100a412+3+2+3D00b4a2b3b2a1a3b4b1a4a2a3b2b3a1a4b1b4

x2x1x2x32x24x2x12x22x34x35x74x3【例10】設行列式fx3x33x24x53x5，則fx0有

多少個根？解：

x2f(x)2x23x34x拉普拉斯展開1110011c2c4x22x23x34x1110000x223x73x213x76

1x215x(x1),所以有2個根。2x21x76x2

【例11】設n階行列式Daijm，而行列式D1aijbij,b0，求D1。解：

D11a1j1b1j1a2j2b2j2anjnbnjn1a1ja2janjb12njjj

12n12n1a1j1a2j2anjnb0mabadccdabdcbabcd【例12】求行列式D4

解：

abcdbadccdabdacbbcad2badccdab

D42dc4a2b2c2d2baD4a2b2c2d2a11a31a12a32a13a33【例13】已知a21a22a23a,Aij3a，求

i1j133a111a121a131Da211a221a231。

a311a321a331解：設行列式D的第一列中的第一子列用“11”表示，第一列中的第二子列用“12”表示，其余符號類推。則：

a111a121a131Da211a221a231a311a321a331112131112132112231112232122131122132122231122232腳標組合含兩個2的說明有兩列全為1，行列式等于0112131112132112231122131

a11=aa21a31a121a321a111a13a311a331a121a32a13a23a3333a221a211a231a22Aij3ai1j1a3a4a后面三個行列式按全1列展開后為全部元素的代數(shù)余子式之和，正好等于

2.2．余子式與代數(shù)余子式的計算方法

1230【例14】已知D111，求：

11（1）代數(shù)余子式A132A23A33(2)余子式

M132M23M33

解：（1）代數(shù)余子式A132A23A331A132A231A33用各代數(shù)余子式的系數(shù)1,2,1替代D的第三列，則

1A132A23A33121125

111(2)Aij1MijMijAij余子式

ij11ijAij1ij

M132M23M33113A132123A23133A33A132A23A33

用各代數(shù)余子式的系數(shù)1,-2,1替代D的第三列，則

1M132M23M33A132A23A33121127111【例15】設4階行列式的第2列元素依次為2,m,k,3，第二列元素的余子式依次為1,1,1,1，第四列元素的代數(shù)余子式依次為3,1,4,2。且行列式的值為1，求m,k。解：

122232421a12A121a22A221a32A321a42A421a12A14a22A24a32A34a42A440

m4121m11k1311mk51m4k120k223m1k4320

三、行列式計算方法和技巧

陳氏第22技7種定勢全面解決行列式計算問題。

行列式從元素特征上分為：數(shù)字字母型（五種定勢），抽象分塊型（一種定勢），參數(shù)型（一種定勢）三類。共7種定勢囊括考研中所有可能的行列式計算方法。望讀者系統(tǒng)掌握。3．1行和相等型行列式的計算方法

當行列式中每一行的元素之和相等（稱為行和相等型）時，計算時把各列全部加到第一列，從第一列中提出公因式，然后，各行都減

去第一行就可以降階，對列和相等型也有類似的結論，這是一類極其普遍的題型。

abbbabbba【例16】計算Dn

解：

abbDnbabbba1an1b0an1bbban1babb0b0ab211n11111nnn11211Dnn，求limn1。nn21bban1b1ab1ba

an1bba

0aban1babn1【例17】已知行列式Dn11111111nnn解：

2Dn111n111111111n1111nnnnnn1111211n1211nnnn11111112n11121nnn111n11n11n1n112111n1nn10111n11n20nlimDn1n111nnnlimnne讀者同步練習：

0111110111110111n1n1;1110111110x1mx2xnx1x2mxnnn1ximm;i1x1x2xnmnn11n111n1n11n00n111nn0011na1xa2a3a4xx0030xx0x4xaii100xx12n231nn1nn1nn1122n1n1

●

x1xxxxxxa1a2a3a4xa4a4a44aixx3i11xx2xxa1a2a3x1nn1x1;a1a2xa3n!2a1xa2a31xn3.2爪型行列式的計算方法

除第一行、第一列和主對角上的元素外，其他全部為零的行列式，其形狀像個爪形。爪形行列式Dn的計算一般方法是分三種情況分別討論。假設主對角上的元素分別為a1a2an。

●如a1a2an中有兩個或兩個以上的元素為零，則必有兩行成比例，故Dn0；

●如a1a2an中只有一個元素為零，例如ak0，則先按第k行展開，

再按k1列展開，便得到一個主對角行列式了；

●如a1a2an中沒有零元素，則從a22開始逐一提出主對角元素，然后上三角化，便得到一個上三角行列式了。

a011a1a2an2n【例18】計算Dn12n

解：情況一：a0a1a2an至少有兩個元素為零，則Dn10；情況二：a0a1a2an有一個元素為零，如ak0（akak1k1），則先按k1行元素展開，再按k列展開。（為清楚細節(jié)，請讀者以D6為例具體推算以下過程）

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