高中數(shù)學(xué)必修2公式1總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

一、直線與方程

（1）直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)0,90時(shí)，k0；當(dāng)90,180時(shí)，k0；當(dāng)90時(shí)，k不存在。

yy1(x1x2)②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：k2x2x1注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)x1x2時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程

①點(diǎn)斜式：yy1k(xx1)直線斜率k，且過點(diǎn)x1,y1

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：ykxb，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點(diǎn)式：④截矩式：

yy1y2y1xayxx1x2x1（x1x2,y1y2）直線兩點(diǎn)x1,y1，x2,y2

1b其中直線l與x軸交于點(diǎn)(a,0),與y軸交于點(diǎn)(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b。

⑤一般式：AxByC0（A，B不全為0）

1各式的適用范圍○2特殊的方程如：注意：○

平行于x軸的直線：yb（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：xa（a為常數(shù)）；（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系

平行于已知直線A0xB0yC00（A0,B0是不全為0的常數(shù)）的直線系：

A0xB0yC0（C為常數(shù)）

（二）過定點(diǎn)的直線系

（）斜率為k的直線系：yy0kxx0，直線過定點(diǎn)x0,y0；

（）過兩條直線l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為

，其中直線l2不在直線系中。A1xB1yC1A2xB2yC20（為參數(shù)）（6）兩直線平行與垂直

當(dāng)l1:yk1xb1，l2:yk2xb2時(shí)，l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

（7）兩條直線的交點(diǎn)

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組A1xB1yC10的一組解。

A2xB2yC20方程組無解l1//l2；方程組有無數(shù)解l1與l2重合（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A(x1,y1)，B是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，（x2,y2）則|AB|(x2x1)2(y2y1)2

（9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離d（10）兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。

Ax0By0CAB22

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的

半徑。

2、圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程xaybr2，圓心a,b，半徑為r；

22（2）一般方程x2y2DxEyF0當(dāng)DE2224F0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為22D2,1E，半徑為r22D2E24F

當(dāng)DE4F0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)DE4F0時(shí)，方程不表示任何圖

形。

（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

（1）設(shè)直線l:AxByC0，圓C:xa2yb2r2，圓心Ca,b到l的距離為dAaBbCAB222，則有drl與C相離；drl與C相切；drl與C相交

22（2）設(shè)直線l:AxByC0，圓C:xaybr2，先將方程聯(lián)立消元，得到

一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有

0l與C相離；0l與C相切；0l與C相交

2注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式xx0yy0r去解直線與圓相切的問題，其中x0,y0表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：

2①圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為xx0yy0r(課本命題)．②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。

22設(shè)圓C1:xa12yb12r2，C2:xa2yb2R2兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)dRr時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；

當(dāng)dRr時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)RrdRr時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)dRr時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；

當(dāng)dRr時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d0時(shí)，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共

邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱ABCDEA"B"C"D"E"或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱AD

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且

相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

（2）棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

"表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐PA"B"C"D"E"

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到

截面距離與高的比的平方。

（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)PA"B"C"D"E"

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖

是一個(gè)矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何

體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）

"S直棱柱側(cè)面積S正棱臺(tái)側(cè)面積12chS圓柱側(cè)2rhS正棱錐側(cè)面積(c1c2)h"S圓臺(tái)側(cè)面積(rR)l

12ch"S圓錐側(cè)面積rl

S圓柱表2rrlS圓錐表rrlS圓臺(tái)表r2rlRlR2

（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式V柱ShV圓柱ShV臺(tái)13(S""21rhV錐ShV圓錐1r2h

332SSS)hV圓臺(tái)13(S"SSS)h"13(rrRR)h

2

（4）球體的表面積和體積公式：V球=4R；S

33球面=4R2

4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（1）平面

①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個(gè)銳角內(nèi)）；也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示，如平面BC。

③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作A；點(diǎn)A不在平面內(nèi)，記作A點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線l上，記作：A∈l；點(diǎn)A在直線l外，記作Al；直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)，記作lα；直線l不在平面α內(nèi)，記作lα。（2）公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。

（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）

應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號(hào)語言表示公理1：Al,Bl,A,Bl

（3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一

平面。

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)（4）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

符號(hào)：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。符號(hào)語言：PABABl,Pl公理3的作用：

①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。

②它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無關(guān)。②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．

三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：aαa∩α＝Aa∥α

（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒有公共點(diǎn)；α∥β

相交有一條公共直線。α∩β＝b

5、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。

線線平行線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行

（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理

（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

（線面平行→面面平行），

（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。（線線平行→面面平行），

（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行→線面平行）（2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個(gè)平面垂直。

③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個(gè)平面垂直。（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

9、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a,b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。

（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射．．．．．線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面角7、空間直角坐標(biāo)系

（1）定義：如圖，OBCDD,A,B,C,是單位正方體.以A為原點(diǎn)，分別以O(shè)D,OA,,OB的方向?yàn)檎�方向，建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

1）O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2）x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.3）過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。

（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤軸正方向，食指指向?yàn)閥軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。

（3）任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x,y,z)（x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)）

（4）空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

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必修2空間幾何部分公式定理總結(jié)

河南省淮陽一高高一B段數(shù)學(xué)組張明選棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積

設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，則它的表面積等于圓柱的側(cè)面積（矩形）加上底面積（兩個(gè)圓），即

.

設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，則它的表面積等于圓錐的側(cè)面積（扇形）加上底面積（圓形），即

.

設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為

，，母線長為，則它的表面積等上、下底面的面

積（大、小圓）加上側(cè)面的面積（扇環(huán)），即

.

柱、錐、臺(tái)的體積公式

柱體體積公式為：

，（為底面積，為高）

錐體體積公式為：，（為底面積，為高）

臺(tái)體體積公式為：（

球的體積和表面積

球的體積公式

，分別為上、下底面面積，為高）

球的表面積公式

其中，

為球的半徑.顯然，球的體積和表面積的大小只與半徑

有關(guān).

公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論1經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.推論2經(jīng)過兩條相交的直線有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過兩條平行的直線有且只有一個(gè)平面.

公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

公理4(平行公理)平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.

空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：

共面直線：相交直線（在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；平行直線（在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)）；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)且沒有公共點(diǎn).

空間中直線與平面位置關(guān)系有且只有三種：直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線與平面平行沒有公共點(diǎn)

直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外.

兩個(gè)平面的位置關(guān)系只有兩種：兩個(gè)平面平行沒有公共點(diǎn)兩個(gè)平面相交有一條公共直線異面直線所成的角

已知兩條異面直線

，經(jīng)過空間任一點(diǎn)

作直線

∥，

∥，把

與

所成的

銳角(或直角)叫做異面直線兩條直線互相垂直，記作

所成的角(夾角).如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這.

異面直線的判定定理

過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.

直線與平面平行的判定定理

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.直線與平面平行的性質(zhì)定理

一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線都與該直線平行.兩個(gè)平面平行的判定定理

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.

推論：一個(gè)平面內(nèi)兩條相交的直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行.

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.兩個(gè)平面平行，還有如下推論：

⑴如果兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另外一個(gè)平面；⑵夾在兩個(gè)平行平面內(nèi)的所有平行線段的長度都相等；

⑶如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也垂直于另一個(gè)平面.⑷如果一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，那么它和另一個(gè)也相交.直線和平面垂直的概念

如果直線與平面.叫做垂線，

內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線與平面叫垂面，它們的交點(diǎn)

叫垂足.

互相垂直，記做

直線和平面垂直的判定定理

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.直線與平面所成的角

如圖，直線斜足；

，

和平面

相交但不垂直，

在平面

叫做平面的斜線，

和平面的交點(diǎn)

叫

叫做斜線上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影

所成的銳角，叫這條直線和平面所成的角.

直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是°角.

兩個(gè)平面垂直的判定定理

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫二面角的面.

在二面角于棱的射線

的棱上任取一點(diǎn)，則射線

和

，以點(diǎn)

為垂足，在半平面

和

內(nèi)分別作垂直

構(gòu)成的

叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.

判斷兩平面垂直的方法：判定定理；求出二面角的平面角為直角.三垂線定理：

平面內(nèi)的一條直線，如果和平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.如圖：在平面

內(nèi)的直線若垂直于直線

，則就一定垂直于平面

的斜線

.

直線與平面垂直的性質(zhì)定理

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)還有：

⑴如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于另外一個(gè)平面的直線，必在這個(gè)平面內(nèi)；

⑵如果兩個(gè)相交平面都垂直于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面的交線垂直于這個(gè)平面；⑶三個(gè)兩兩垂直的平面，它們的交線也兩兩垂直.

空間平行和垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

三角函數(shù)公式

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項(xiàng)和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=1/2*l*r

乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韋達(dá)定理

判別式

b2-4ac=0注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根b2-4ac>0注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根

b2-4ac

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