高中數(shù)學公式完全總結歸納(均值不等式)

解題技巧

技巧一：湊項

評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。

技巧二：湊系數(shù)

評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：

技巧三：分離

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均值不等式歸納總結

1.(1)若a,bR，則a時取“=”）

2.(1)若a,bR*，則ab2ab2b2ab2(2)若a,bR，則abab222（當且僅當ab(2)若a,bR*，則ab2ab（當且僅當ab時取“=”）

ab(3)若a,bR，則ab2*2(當且僅當ab時取“=”）

3.若x0，則x若x0，則x1x1x）2(當且僅當x1時取“=”

2

(當且僅當x1時取“=”）

1x2或x1x-2若x0，則x14.若abx2即x(當且僅當a時取“=”）

ba-2b時取“=”）

0，則ab2

ba(當且僅當aab2bab若ab0，則5.若a,bR，則(

abba22即2ba2或(當且僅當a時取“=”）

b時取“=”）

ab2)ab2（當且僅當ab『ps.(1)當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和

為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用』

應用一：求最值

例1：求下列函數(shù)的值域

（1）y＝3x1

2＋2x2

2）y＝x＋1

x（解：(1)y＝3x2＋≥2

22x1

(2)當x＞0時，y＝x＋≥2

x1

3x2＝6∴值域為[6，+∞）

22x1

x＝2；x

1

x=－2x

111

當x＜0時，y＝x＋=－（－x－）≤－2

xx∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）

解題技巧

技巧一：湊項

例已知x5，求函數(shù)y4x2414x5的最大值。

14x5解：因4x50，所以首先要“調整”符號，又(4x2)4x2要進行拆、湊項，

54不是常數(shù)，所以對

x,54x0，y4x21154x4x554x12313

1。

當且僅當54x54x，即x1時，上式等號成立，故當x1時，ymax評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。

技巧二：湊系數(shù)例1.當解析：由

時，求yx(82x)的最大值。知，

，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為

定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8為定值，故只需將yx(82x)湊上一個系數(shù)即可。

，即x＝2時取等號當x＝2時，yx(82x)的最大值為8。

當評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設0解：∵0x3232，求函數(shù)y4x(32x)的最大值�！�32x0∴

92x32xy4x(32x)22x(32x)2222x

當且僅當2x32x,即x

技巧三：分離例3.求yx7x10x12330,時等號成立。42(x1)的值域。

解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。

當

,即

時,y2（x1)4x159（當且僅當x＝1

時取“＝”號）。

技巧四：換元

解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

y(t1)7(t1）+10t2=t5t4t2tt4t4t5

當,即t=時,y259（當t=2即x＝1時取“＝”號）。

評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為ymg(x)或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。

技巧五：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結合函數(shù)f(x)的單調性。例：求函數(shù)yx5x422Ag(x)B(A0,B0)，g(x)恒正

xax的值域。解：令因t0,t22x4t(t2)，則yx5x421x42t1t(t2)

x421t1，但t1t1t解得t1不在區(qū)間2,，故等號不成立，考慮單調性。

因為yt在區(qū)間1,單調遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調遞增函數(shù)，故

y52。

5所以，所求函數(shù)的值域為,。2練習．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x的值.（1）yx3x1x2,(x0)（2）y2x1x3,x3(3)y2sinxx231sinx,x(0,)

2．已知0的最大值.

x1，求函數(shù)yx(1x)的最大值.；3．0，求函數(shù)yx(23x)條件求最值

1.若實數(shù)滿足ab2，則3a3b的最小值是.

分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，

解：當3a3和3bab都是正數(shù)，3a3b≥233ab23bab6

3時等號成立，由ab2及3a3得ab1即當ab1時，3a3b的

最小值是6．變式：若log4xlog4

技巧六：整體代換

多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。。

y2，求

1x1y的最小值.并求x,y的值2：已知x0,y0，且1x9y1，求xy1x9y的最小值。

xy1x9xy2y9xy2xy12錯．解．：

xyminx0,y0，且

1，故

12。

xy錯因：解法中兩次連用均值不等式，在xy21x9y29xy等號成立條件是xy，在

等號成立條件是1

x9y

即y9x,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因

此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。正解：x0,y0,19x19y9x10610161，xyxyxyxyy

16。

當且僅當

yx9xy時，上式等號成立，又

1x9y1，可得x4,y12時，xymin變式：（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值

xy(2)已知a,b,x,yR且abxy1，求xy的最小值

技巧七

已知x，y為正實數(shù)，且x2＋

y22

＝1，求x1＋y2的最大值.

分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab≤

1

a2＋b2

2。

同時還應化簡

1＋y2中y2前面的系數(shù)為，x2

1y2＋22

1＋y2＝x

1＋y2

2＝2x

下面將x，1y2

＋分別看成兩個因式：22x2＋(

y2y21

＋)2x2＋＋22223

＝＝即x1＋y2＝

22421

x

1y2

＋≤222x

1y23

＋≤224

技巧八：

已知a，b為正實數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝

1

的最小值.

ab分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數(shù)問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。

30－2b30－2b－2b2＋30b法一：a＝，ab＝b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥

ttt2

16

t＝8

t∴ab≤18∴y≥

當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。18

2ab∴30－ab≥

1

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥222ab

令u＝ab則u2＋22u－30≤0，－52≤u≤3∴ab≤3

2，ab≤18，∴y≥

18

ab22

1

點評：①本題考查不等式的應用、不等式的解法及運算能力；ab（a,bR）②如何由已知不等式aba2b30（a,bR）出發(fā)求得ab的范圍，關鍵是尋找到

ab與ab之間的關系，由此想到不等式

ab2ab（a,bR），這樣將已知條件轉

換為含ab的不等式，進而解得ab的范圍.

變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。

技巧九、取平方

5、已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x＋2y的最值.解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，簡單

3x＋25

解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋2

3x

2y＝10＋2

3x

2y≤10＋

2y≤

2

（3x）2＋（2y）2＝

2

3x＋2y＝

a＋b2

≤

a2＋b2

2

，本題很

(3x)2(2y)2＝10＋(3x＋2y)＝∴W≤20＝25變式:求函數(shù)y2x152x(12x52)的最大值。

解析：注意到2x1與52x的和為定值。

y(2x1252x)42(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8y222

又y0，所以032當且僅當2x1=52x，即x時取等號。故ymax22。

評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件�？傊�，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2bc22abbcca

1）正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例6：已知a、b、cR，且abc1。求證：111118abc1分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又111abc2aaabca，可由此變形入手。

bca2bca11aabc1。解：b、cR，a、1aa。同理11b2acb1，1c2abc。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得

11112bc2ac2ababc。當且僅當11183abcabc時取等號。

應用三：均值不等式與恒成立問題例：已知x0,y0且

1x9y1，求使不等式xym恒成立的實數(shù)m的取值范圍。

9xky1

解：令xyk,x0,y0,110k23k1x9y1，xykx9x9yky1.10kykx。k16，m,應用四：均值定理在比較大小中的應用：例：若ab1,Plgalgb,Q12(lgalgb),Rlg(ab2)，則P,Q,R的大小關系

是.

分析：∵ab1∴l(xiāng)ga0,lgb0

Q12（lgalgb)lgalgbp

Rlg(ab2)lgab12lgabQ

∴R>Q>P。

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