高中數(shù)學(xué)公式總結(jié)全面版

高中數(shù)學(xué)公式總結(jié)

一、

集合與函數(shù)

1、若集合A中有n(nN)個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為2n，所有非空真子集的個(gè)數(shù)是

2n2。ABABAABB;

b24acb22、二次函數(shù)yaxbxca(x)的圖象的對(duì)稱軸方程是

2a4a2xb2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

b4acb22a，4a。3、（1）loga10,logaa1(a>0,a≠1,);(2)logaM-logaNloga(3)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);二、三角函數(shù)

1、以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角的終邊上任取一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P(x,y)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離記為r，則sin=2、

MlogaM+logaNlogaMN;Nxyy，cos=，tan=，

rrx22同角三角函數(shù)的關(guān)系中，平方關(guān)系是：sincos1，倒數(shù)關(guān)系是：tgctg1，相除

sin，cos關(guān)系是：tg3、誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限。

（其中A0，0）4、函數(shù)yAsin(的最大值是AB，最小值是BA，周期是x)BT2，頻率是f，相位是x，初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線xk(kZ)，22凡是該圖象與直線yB的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。5、

三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

223(kZ)；ycosx(kZ)，ysin遞減區(qū)間是2k，x的遞增區(qū)間是2k，2k2k22的遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)，

6、和角、差角公式：sin()sincoscossincos()coscossinsin

tan()tantan

1tantan22227、二倍角公式是：sin2=2sincoscos2=cossin=2cos1=12sin

2tan2=2tan。9、升冪公式是：1cos2cos1cos2sin2。

1tan22210、降冪公式是：sin2sincostan001612323301cos21cos22cos。11．特殊角的三角函數(shù)值：222353346243212233101222221122300122222不不3110存存333在在abc2RsinAsinBsinC22214、余弦定理：第一形式，b=ac2accosB

a2c2b2第二形式，cosB=

2ac1115、△ABC的面積用S表示，①Saha；②SbcsinA；

2213、正弦定理（其中R為三角形的外接圓半徑）：三、不等式

1、兩個(gè)正數(shù)的均值不等式是：

abab2abab112ab2a2b222、兩個(gè)正數(shù)a、b的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系是

四、數(shù)列

n(a1an)1=na1n(n1)d。22na1(q1)nn12、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是ana1q，前n項(xiàng)和公式是：Sna1(1q)

(q1)1q1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是ana1(n1)d，前n項(xiàng)和公式是：Sn3、若m、n、p、q∈N，且mnpqr2，那么：當(dāng)數(shù)列an是等差數(shù)列時(shí)，有amanapaq2ar；當(dāng)數(shù)列an是等比數(shù)列時(shí)，有amanapaqar

2五、解析幾何1、2、3、4、5、

λ=

同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)距離公式：ABxBxA數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式：ABxBxA直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：P1P2若點(diǎn)P分有向線段P1P2成定比λ，則λ=

(x1x2)2(y1y2)2

P1PPP2若點(diǎn)P1P2成定比λ，則：1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，點(diǎn)P分有向線段Pxx1yy1xx2yy2=；x=1，y=1x2xy2y1133xx2x3y1y2y3。若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)是，1y2y1。

x2x17、直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式：yy0k(xx0)，斜截式：ykxb

6、求直線斜率的定義式為k=tan，兩點(diǎn)式為k=

yy1xx1xy，截距式：1，一般式：AxByC0

y2y1x2x1ab經(jīng)過(guò)兩條直線l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程是：

A1xB1yC1(A2xB2yC2)0

兩點(diǎn)式：8、

ABC1C210、兩平行直線l1：AxByC10，l2：AxByC20距離d

22AB點(diǎn)P(x0,y0)到直線l：AxByC0的距離：dAx0By0C11、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)(yb)r

圓的一般方程：xyDxEyF0(DE4F0)

2222222D2E24FED其中，半徑是r，圓心坐標(biāo)是，222xarcos(是參數(shù))。圓心在點(diǎn)C(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程是：ybrsin222213、圓xyr的以P(x0,y0)為切點(diǎn)的切線方程是：x0xy0yr

14、研究圓與直線的位置關(guān)系最常用的方法有兩種：

①代數(shù)法（判別式法）：Δ>0，=0，11chS(cc)h22正棱錐側(cè)面積：，正棱臺(tái)側(cè)面積：；圓柱側(cè)面積：Sch2rh，圓錐側(cè)面

11SclrlS(cc)l(Rr)l2S4r22積：，圓臺(tái)側(cè)面積：，球的表面積：。

5、幾個(gè)基本公式：弧長(zhǎng)公式：lr（是圓心角的弧度數(shù)，>0）；

1Slr2扇形面積公式：；

S

七、平面向量

１．運(yùn)算性質(zhì)：abba,abcabc,a00aa２．坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)

ax1,y1,bx2,y2，則abx1x2,y1y2

ABx2x1,y2y1.

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則

3．實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:

aa,aaa,ababax,y，則λax,yx,y，設(shè)

4．平面向量的數(shù)量積：

0ababcosa0,b0,01800，0a0.定義：

abba,ababab，運(yùn)算律:

1122,則坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)

5.重要定理、公式:平面向量的基本定理

abcacbc

ax,y,bx,yabx1x2y1y2

如果

e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

1,2,使a1e12e2兩個(gè)向量平行的充要條件a//bab(R)

ax1,y1,bx2,y2，則a//bx1y2x2y10

設(shè)

ax1,y1,bx2,y2，則

兩個(gè)非零向量垂直的充要條件abab0abx1x2y1y20八、導(dǎo)數(shù)

1、2.函數(shù)函數(shù)

在

的導(dǎo)數(shù)：在點(diǎn)在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

在

處的切線的斜率

，相應(yīng)的切線方程

.

處的導(dǎo)數(shù)是曲線

.是

3.幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(5)

C為常數(shù).(2)

；

.(3)

.(6).2

;.3

.(4).

..

4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

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高中數(shù)學(xué)公式總結(jié)大全【201*版】

1.元素與集合的關(guān)系

xAxCUA,xCUAxA.2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含關(guān)系

ABAABBABCUBCUA

ACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

5．集合{a1,a2,,an}的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)；真子集有2n1個(gè)；非空子集有2n1個(gè)；非空的真子集有2n2個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)頂點(diǎn)式f(x)a(xh)2k(a0);(3)零點(diǎn)式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).7.解連不等式Nf(x)M常有以下轉(zhuǎn)化形式Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

|f(x)MN2|MN2f(x)NMf(x)0

1f(x)N1MN.

8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一個(gè)實(shí)根,與f(k1)f(k2)0不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地,方程axbxc0(a0)有且只有一個(gè)實(shí)根在(k1,k2)內(nèi),等價(jià)于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k12b2ak1k22,或f(k2)0且

k1k2k2.

22a9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

b2ab2二次函數(shù)f(x)axbxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最值只能在x處及區(qū)

間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：

(1)當(dāng)a>0時(shí)，若xxb2ab2ap,q，()則fxnmibf(,)(f)x2axmaxma(f,)p()fq；

p,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minmininf(p),minff(q).p()f,，q(若)(2)當(dāng)

xb2aa10.一元二次方程的實(shí)根分布

依據(jù)：若f(m)f(n)0，則方程f(x)0在區(qū)間(m,n)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.設(shè)f(x)x2pxq，則

p24q0（1）方程f(x)0在區(qū)間(m,)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或p；

m2f(m)0f(n)02（2）方程f(x)0在區(qū)間(m,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)f(n)0或p4q0mpn2f(m)0f(n)0或或；

af(n)0af(m)0p24q0（3）方程f(x)0在區(qū)間(,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或p.

m211.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間L（形如,，,，,不同）上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)min0(xL).

(2)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)man0(xL).

a0a0(3)f(x)ax4bx2c0恒成立的充要條件是b0或2.

b4ac0c012.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常見(jiàn)結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于不大于至少有n個(gè)至多有（n1）個(gè)小于不小于至多有n個(gè)至少有（n1）個(gè)對(duì)所有x，存在某x，p或qp且q成立不成立對(duì)任何x，不成立存在某x，p且q成立p或q

14.四種命題的相互關(guān)系

原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互互互為為互否否逆逆否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ15.充要條件

（1）充分條件：若pq，則p是q充分條件.

（2）必要條件：若qp，則p是q必要條件.

（3）充要條件：若pq，且qp，則p是q充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)x1x2a,b,x1x2那么(x1x2)f(x1)f(x2)0(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)x1x2f(x1)f(x2)x1x20f(x)在a,b上是增函數(shù)；0f(x)在a,b上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果

f(x)0，則f(x)為減函數(shù).

17.如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)

yf[g(x)]是增函數(shù).

18．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．

19.若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).

20.對(duì)于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)xab2;兩個(gè)函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關(guān)于直線xaab2對(duì)稱.

21.若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱;若

2f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

nn122．多項(xiàng)式函數(shù)P(x)anxan1xa0的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xab2對(duì)稱f(amx)f(bmx)f(abmx)f(mx).

24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對(duì)稱.(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關(guān)于直線xab2m對(duì)稱.

(3)函數(shù)yf(x)和yf1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.

26．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)bf1(b)a.

1k[f127.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為yy[f1(x)b],并不是

(kxb),而函數(shù)y[f1(kxb)是y1k[f(x)b]的反函數(shù).

28.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f"(1).

(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limg(x)xx01.

29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，或f(xa)或f(xa)或

121f(x)1f(x)2(f(x)0)，

(f(x)0),

f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a；

(3)f(x)11f(xa)(f(x)0)，則f(x)的周期T=3a；

(4)f(x1x2)f(x)的周期T=4a；

f(x1)f(x2)1f(x1)f(x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，則

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=6a.30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

m(1)an1nam（a0,m,nN，且n1）.(2)amn1m（a0,m,nN，且n1）.

an31．根式的性質(zhì)

（1）(na)na.

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aa；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，annnna,a0.|a|a,a032．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).

(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).

注：若a＞0，p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用.

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

bNbaN(a0,a1,N0).loga34.對(duì)數(shù)的換底公式

logaNlogmNlogmanm(a0,且a1,m0,且m1,N0).

nmlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

推論logab35．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)logaMlogaN;(2)logaMNnlogaMlogaN;nlogaM(nR).

m(3)logaM36.設(shè)函數(shù)f(x)log(ax2bxc)(a0),記b4ac.若f(x)的定義域?yàn)?/p>

2R,則a0，且0;若f(x)的值域?yàn)镽,則a0，且0.對(duì)于a0的情形,需要

單獨(dú)檢驗(yàn).

37.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣若a0,b0,x0,x(1)當(dāng)ab時(shí),在(0,)和(，

1a1a1a,則函數(shù)ylogax(bx)

,)上ylogax(bx)為增函數(shù).,)上ylogax(bx)為減函數(shù).

1a1a(2)當(dāng)ab時(shí),在(0,)和(推論:設(shè)nm1，p0，a0，且a1，則（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga2mn2.

38.平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題

如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y，有xyN(1p).

39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

n1s1,(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為sna1a2an).anss,n2n1n40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

ana1(n1)ddna1d(nN)；

*其前n項(xiàng)和公式為

snd2n(a1an)2n(a12na1d)n.

n(n1)2d

1241.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

an1n*ana1q1q(nN)；

q其前n項(xiàng)的和公式為a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q1或sn1q.

na,q1142.等比差數(shù)列an:an1qand,a1b(q0)的通項(xiàng)公式為b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n項(xiàng)和公式為

nbn(n1)d,(q1)nsn.d1qd(b)n,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭貸款)

每次還款xab(1b)nn(1b)1元(貸款a元,n次還清,每期利率為b).

44．常見(jiàn)三角不等式

（1）若x(0,)，則sinxxtanx.

2)，則1sinxcosx2(3)|sinx||cosx|1.

(2)若x(0,2.45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式22sincos1，tan=

sincos，tancot1.

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

n2n(1)sin,sin()

n122(1)cos,

(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))2s,n(1)cocos()n122sin,(1)n47.和角與差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tan()tantan1tantan2.

2sin()sin()sinsin(平方正弦公式);cos()cos()cossin.asinbcos=

22absin()(輔助角所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決

22定,tanba).

48.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cossin2cos112sin.

2tantan2.21tan222249.三倍角公式

sin33sin4sin4sinsin(333)sin(3).

cos34cos3cos4coscos(3)cos(3).

tan33tantan13tan23tantan(3)tan(3).

50.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)ysin(x)，x∈R及函數(shù)ycos(x)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T2；函數(shù)ytan(x)，xkcsinC2,kZ(A,ω,為常數(shù)，且A

≠0，ω＞0)的周期T51.正弦定理

asinAbsinB.

2R.

52.余弦定理abc2bccosA;bca2cacosB;

222cab2abcosC.22222253.面積定理（1）S（2）S1212aha12bhb112chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c邊上的高）.

1casinB.

absinC12(3)SOAB2222(|OA||OB|)(OAOB).bcsinA54.三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

C22AB22C22(AB).

55.簡(jiǎn)單的三角方程的通解

sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).

特別地,有

sinsink(1)(kZ).

kcoscos2k(kZ).

tantank(kZ).56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.tanxa(aR)x(karctana,ktanxa(aR)x(k2),kZ.

2,karctana),kZ.

57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1)ab=ba（交換律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=ac+bc.59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．60．向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則ab(b0)x1y2x2y10.53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)ab=|a||b|cosθ．61.ab的幾何意義

數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a+b=(x1x2,y1y2).(2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a-b=(x1x2,y1y2).

(3)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)設(shè)a=(x,y),R，則a=(x,y).

(5)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則ab=(x1x2y1y2).63.兩向量的夾角公式

x1x2y1y2(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).cos2222x1y1x2y264.平面兩點(diǎn)間的距離公式dA,B=|AB|2ABAB2(x2x1)(y2y1)(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則A||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)ab=0x1x2y1y20.66.線段的定比分公式

設(shè)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是線段P1P2的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且P1PPP2，則x1x2xOP1OP21OP1yy1y211OPtOP1(1t)OP2（t）.

167.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC的重心的坐標(biāo)是G(x1x2x33,y1y2y33).

68.點(diǎn)的平移公式

""xxhxxh""OPOPPP.""yykyyk"注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形F上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x,y)，且PP的

""""坐標(biāo)為(h,k).

69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

（1）點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點(diǎn)P(xh,yk).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的函數(shù)解析式為yf(xh)k.

"""(3)圖象C"按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng)f(x),則C"的函數(shù)解析式為yf(xh)k.

(4)曲線C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到圖象C",則C"的方程為

.f(xh,yk)0(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)O為ABC所在平面上一點(diǎn)，角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c，則（1）O為ABC（2）O為ABC（3）O為ABC（4）O為ABC222的外心OAOBOC.

的重心OAOBOC0.

的垂心OAOBOBOCOCOA.

的內(nèi)心aOAbOBcOC0.

的A的旁心aOAbOBcOC.

（5）O為ABC71.常用不等式：

（1）a,bRa2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．（2）a,bRab2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．

（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).（4）柯西不等式

(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR.

22222（5）ababab.72.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

（1）若積xy是定值p，則當(dāng)xy時(shí)和xy有最小值2（2）若和xy是定值s，則當(dāng)xy時(shí)積xy有最大值

22p；

s.

214推廣已知x,yR，則有(xy)(xy)2xy（1）若積xy是定值,則當(dāng)|xy|最大時(shí),|xy|最大；當(dāng)|xy|最小時(shí),|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,則當(dāng)|xy|最大時(shí),|xy|最小；當(dāng)|xy|最小時(shí),|xy|最大.

73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b22224ac0，)如果a與

axbxc同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與axbxc異號(hào)，則其解集在兩根之

間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

74.含有絕對(duì)值的不等式

當(dāng)a>0時(shí)，有

xaxa222axa.

xaxaxa或xa.

275.無(wú)理不等式f(x)0（1）f(x)g(x)g(x)0.

f(x)g(x)f(x)0f(x)0（2）f(x)g(x)g(x)0.或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0（3）f(x)g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]276.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式(1)當(dāng)a1時(shí),

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)當(dāng)0a1時(shí),

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)77.斜率公式

ky2y1x2x1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

78.直線的五種方程

（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線l過(guò)點(diǎn)P1(x1,y1)，且斜率為k)．（2）斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).（3）兩點(diǎn)式(4)截距式

yy1y2y1xyxx1x2x1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同時(shí)為0).

1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)

79.兩條直線的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不為零,①l1||l2A1A2B1B2C1C2；

②l1l2A1A2B1B20；80.夾角公式(1)tan|k2k11k2k1|.

(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)(2)tan|A1B2A2B1A1A2B1B2|.

(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).直線l1l2時(shí)，直線l1與l2的夾角是81.l1到l2的角公式(1)tank2k11k2k12.

.

(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)(2)tanA1B2A2B1A1A2B1B2.

(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).直線l1l2時(shí)，直線l1到l2的角是

2.

82．四種常用直線系方程

(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為yy0k(xx0)(除直線

xx0),其中k是待定的系數(shù);經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系數(shù)．

(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系數(shù)．(3)平行直線系方程：直線ykxb中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBy0(0)，λ是參變量．

(4)垂直直線系方程：與直線AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是BxAy0,λ是參變量．

83.點(diǎn)到直線的距離

d|Ax0By0C|22AB84.AxByC0或0所表示的平面區(qū)域

(點(diǎn)P(x0,y0),直線l：AxByC0).

設(shè)直線l:AxByC0，則AxByC0或0所表示的平面區(qū)域是：若B0，當(dāng)B與AxByC同號(hào)時(shí)，表示直線l的上方的區(qū)域；當(dāng)B與AxByC異號(hào)時(shí)，表示直線l的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下.若B0，當(dāng)A與AxByC同號(hào)時(shí)，表示直線l的右方的區(qū)域；當(dāng)A與AxByC異號(hào)時(shí)，表示直線l的左方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左.

85.(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），則

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域是：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2.

（2）圓的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F＞0).

xarcos（3）圓的參數(shù)方程.

ybrsin（4）圓的直徑式方程(xx1)(xx)(yy)(y2y)(0圓的直徑的端點(diǎn)是21A(x1,y1)、B(x2,y2)).

87.圓系方程

(1)過(guò)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)的圓系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyAB的方程,λ是待定的系數(shù)．

c0是直線

(2)過(guò)直線l:AxByC0與圓C:x2y2DxEyF0的交點(diǎn)的圓系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系數(shù)．

(3)過(guò)圓C1:x2y2D1xE1yF10與圓C2:x2y2D2xE2yF20的交

2222(xyDxEyF)0,λ是待定的點(diǎn)的圓系方程是xyD1xE1yF1222系數(shù)．

88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)P(x0,y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系有三種若d(ax0)(by0)，則

22dr點(diǎn)P在圓外;dr點(diǎn)P在圓上;dr點(diǎn)P在圓內(nèi).

89.直線與圓的位置關(guān)系

直線AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系有三種:dr相離0;dr相切0;dr相交0.

AaBbC22其中d.

AB90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，O1O2ddr1r2外離4條公切線;dr1r2外切3條公切線;

r1r2dr1r2相交2條公切線;dr1r2內(nèi)切1條公切線;0dr1r2內(nèi)含無(wú)公切線.

91.圓的切線方程

(1)已知圓xyDxEyF0．

①若已知切點(diǎn)(x0,y0)在圓上，則切線只有一條，其方程是

x0xy0yD(x0x)2E(y0y)2F0.

E(y0y)2F0表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)

當(dāng)(x0,y0)圓外時(shí),x0xy0yD(x0x)2的切點(diǎn)弦方程．

②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為yy0k(xx0)，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．

③斜率為k的切線方程可設(shè)為ykxb，再利用相切條件求b，必有兩條切線．

(2)已知圓x2y2r2．

①過(guò)圓上的P0(x0,y0)點(diǎn)的切線方程為x0xy0yr2;②斜率為k的圓的切線方程為ykxr1k2.92.橢圓93.橢圓

xaxa2222ybyba2222xacos.1(ab0)的參數(shù)方程是ybsin1(ab0)焦半徑公式)，PF2e(22222c94．橢圓的的內(nèi)外部

PF1e(xa2cybyb2222x).

（1）點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓（2）點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓95.橢圓的切線方程(1)橢圓

xa22xaxa1(ab0)的內(nèi)部1(ab0)的外部x0aax02222y0bby02221.1.

2xayb22221(ab0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是yb22x0xa2y0yb21.

（2）過(guò)橢圓

x0xa21(ab0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

y0yb21.

（3）橢圓

A2xa22yb221(ab0)與直線AxBy0C相切的條件是

a2Bb22.c2296.雙曲線

xaayb2221(a0,b0)的焦半徑公式

a2)|，PF2|e(x)|.

cc97.雙曲線的內(nèi)外部PF1|e(x(1)點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線(2)點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線

xax222yby2221(a0,b0)的內(nèi)部x0ax0222y0by02221.

21(a0,b0)的外部221.2abab98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為

xa22bayb221漸近線方程：

xaybxa22yb220yxa22bax.

(2)若漸近線方程為y(3)若雙曲線與

x22x0雙曲線可設(shè)為yb22.

ab軸上，0，焦點(diǎn)在y軸上）.

99.雙曲線的切線方程

y221有公共漸近線，可設(shè)為

xa22yb22（0，焦點(diǎn)在x

(1)雙曲線

xa22xayb22221(a0,b0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是yb22x0xa2y0yb21.

（2）過(guò)雙曲線

x0xa21(a0,b0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

y0yb21.

（3）雙曲線

Aa22xa22yb221(a0,b0)與直線AxByC0相切的條件是

Bb22.c

p2100.拋物線y22px的焦半徑公式拋物線y22px(p0)焦半徑CFx0過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)CDx12.

p2x2p2x1x2p.

101.拋物線y2px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P(y2px.

2y22p,y)或P(2pt,2pt)或P(x,y)，其中

2102.二次函數(shù)yaxbxca(x點(diǎn)坐標(biāo)為(22b2a)24acb4ab2a2（1）頂(a0)的圖象是拋物線：4acb14a2b2a,4acb4a2（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為()；,（3）準(zhǔn)線方程是)；

y4acb14a103.拋物線的內(nèi)外部

.

(1)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的內(nèi)部y2px(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的外部y2px(p0).(2)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的內(nèi)部y2px(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的外部y2px(p0).(3)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的內(nèi)部x2py(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的外部x2py(p0).(4)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的內(nèi)部x2py(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的外部x2py(p0).104.拋物線的切線方程

22222222222222

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