考研數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問題之高等數(shù)學(xué)篇超強(qiáng)總結(jié)

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考研數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問答之高等數(shù)學(xué)篇

答疑名師：陳文燈黃先開曹顯兵1.目前階段高數(shù)應(yīng)該如何準(zhǔn)備呢？

答：高數(shù)是數(shù)學(xué)內(nèi)容最多的一部分，數(shù)學(xué)1要60%高等數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)2考到80%，數(shù)學(xué)3、數(shù)學(xué)4也要考到50%的分?jǐn)?shù)，我想這部分分塊，函數(shù)極限或者連續(xù)這一塊的重點(diǎn)是什么？這個(gè)時(shí)候把握一下重點(diǎn)是我們求極限的是不定式的極限或者兩個(gè)重要的極限，另外函數(shù)的連續(xù)性的探討這是考試的重點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)和微分，其實(shí)重點(diǎn)不是給一個(gè)函數(shù)考導(dǎo)數(shù)，所以導(dǎo)數(shù)這個(gè)地方的

重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的定義，也就是抽象函數(shù)的可導(dǎo)性。另外就是積分，定積分，分段函數(shù)的積分，分段函數(shù)，帶絕對(duì)值的函數(shù)，總而言之看上不好處理的函數(shù)的積分是考試的重點(diǎn)，而且一定要注意積分的對(duì)稱性，我們要利用分段積分去掉絕對(duì)值把積分求出來(lái)，另外就是中值定律這個(gè)地方一般每年要考一個(gè)題，看看以往考過什么樣的題型。多維函數(shù)的微積分，一個(gè)是多維隱函數(shù)的求導(dǎo)，包括復(fù)合函數(shù)這是考試的重點(diǎn)。二成積分的計(jì)算，當(dāng)然數(shù)學(xué)1里面還包括了三成積分，這里面每年都考一個(gè)題目。另外曲線和曲面積分，這也是必考的。一階的YZ方程，還有無(wú)窮奇數(shù)，無(wú)窮奇數(shù)的求和，主要是間接的展開法，重點(diǎn)主要是這些。2.多元函數(shù)微積分是新增加的知識(shí)點(diǎn)，您能否講講這一塊應(yīng)該怎樣復(fù)習(xí)？二重積分如何復(fù)習(xí)？

答:函數(shù)微積分因?yàn)槭堑谝荒暝黾�，所以都�?huì)考最基本的內(nèi)容，像線性代數(shù)增加的時(shí)候第一年考是求具體的三節(jié)矩陣的特定值。所以二層積分今年初次考，比如二級(jí)積分交換基本次序，這個(gè)你一定要會(huì)。積分的區(qū)域要畫出來(lái)，各級(jí)函數(shù)畫清楚，根據(jù)積分類型確定積分順序，確定積分線。

二層積分首先你要確定是X積分還是Y積分，你在這個(gè)區(qū)域畫一條線，如果是X積分你做一條平行X軸的射線穿過這個(gè)區(qū)域。穿進(jìn)就是積分的下限，穿出就是積分的上限。一般把這個(gè)基本原則掌握了，考試就不會(huì)有問題了。3.請(qǐng)問在數(shù)學(xué)二中今年考試大綱中新增多元微分考試要求，請(qǐng)問今年考試如何把握？

答：數(shù)學(xué)二這位網(wǎng)友說的不對(duì)，增加了多元函數(shù)的微分和積分，201*年這個(gè)章節(jié)肯定得考，每年新增加一章內(nèi)容肯定要考，不象增加一個(gè)小小知識(shí)點(diǎn)不一定考，增加一個(gè)整個(gè)章節(jié)肯定得考。而且考試的難度應(yīng)該是最基本的，你這個(gè)基本知識(shí)、基本概念、基本計(jì)算方法掌握了基本就可以了。一個(gè)是微分這個(gè)地方，

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多元函數(shù)微分重點(diǎn)在復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，尤其是隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，你不要做太復(fù)雜的，你做一些簡(jiǎn)單的就可以了。數(shù)學(xué)二的同學(xué)只要把基本的多元復(fù)合函數(shù)、多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)掌握就可以了。另外一個(gè)地方要注意的是積分的計(jì)算，這個(gè)地方也是個(gè)重點(diǎn)，多元函數(shù)微分和積分。X型區(qū)域、Y型區(qū)域怎么樣找到積分限，計(jì)算方法你掌握了這個(gè)題是沒有問題的。4.請(qǐng)問一下高數(shù)如何復(fù)習(xí)能抓住分？

答:數(shù)學(xué)要考高分首先要明確數(shù)學(xué)要考些什么。我個(gè)人的理解和看法數(shù)學(xué)主要是考四個(gè)方面，一個(gè)考基礎(chǔ)，包括基本概念、基本理論、基本運(yùn)算，數(shù)學(xué)本來(lái)就是一門基礎(chǔ)的學(xué)科，如果基礎(chǔ)、概念、基本運(yùn)算不太清楚，運(yùn)算不太熟練那你肯定是考不好的。所以基礎(chǔ)一定要打扎實(shí)。

我覺得高數(shù)的基礎(chǔ)應(yīng)該著重放在極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分這三方面，后面當(dāng)然還有定積分、一元微積分的應(yīng)用，還有中值定理、多元函數(shù)、微分、線面積分等等內(nèi)容，這些內(nèi)容可以看著剛才我所說的三部分內(nèi)容的聯(lián)系和應(yīng)用，這就是它的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)要考的第二部分就是簡(jiǎn)單的分析綜合能力。因?yàn)楝F(xiàn)在高數(shù)中的一些考題很少有單純考一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的，一般都是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合。還有一個(gè)就是數(shù)學(xué)的建模能力，也就是解應(yīng)用題的能力。解應(yīng)用題這方面就比較不好說了，因?yàn)樗�要求的知識(shí)面比較廣了，包括數(shù)學(xué)的知識(shí)比較要扎實(shí)，還有幾何、物理、化學(xué)、力學(xué)等等這些好多知識(shí)。當(dāng)然它主要考的就是數(shù)學(xué)在幾何中的應(yīng)用，在力學(xué)中的應(yīng)用，在物理中的吸引力、電力做功等等這些方面。數(shù)學(xué)要考的第四個(gè)方面就是你的運(yùn)算的熟練程度，換句話說就是你解題的速度。如果能夠圍繞著這幾個(gè)方面進(jìn)行復(fù)習(xí)，數(shù)學(xué)考高分我想還是完全可能的。

從一些研究生介紹的經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，他們也都是這樣做的。說到解題速度，我個(gè)人認(rèn)為一個(gè)方面在頭腦中應(yīng)該儲(chǔ)存著一些最基本的運(yùn)算結(jié)果。比方說A的平方減X平方，開平方，圓在零至A上的積分就等于四分之πA的平方。還有就是我們有些最基本的一些公式，像SinX的n次方在零到二分之π上，其結(jié)果當(dāng)N是奇數(shù)的時(shí)候，當(dāng)N是偶數(shù)的時(shí)候它們的結(jié)果馬上就知道。再比方函數(shù)像LogX加上根號(hào)A平方減X平方括號(hào)它的導(dǎo)數(shù)，我們馬上就應(yīng)該知道，就是等于根號(hào)A平方加X平方分之一，這個(gè)應(yīng)該馬上就知道，免得再去計(jì)算。再比如常用的變量替換要記住，還有就是常用的一些輔助函數(shù)的做法要記得非常牢。所以腦子中有這些基本的儲(chǔ)存，到時(shí)候做題就快了。

當(dāng)然了最重要的是平時(shí)還是要多加訓(xùn)練，我覺得有的同學(xué)就認(rèn)為現(xiàn)在數(shù)學(xué)應(yīng)該放一放，該看看其他的學(xué)科了。這種做法是不對(duì)的！數(shù)學(xué)應(yīng)該一抓到底，應(yīng)該經(jīng)常練，一天至少保證三個(gè)小時(shí)。把我們平時(shí)講的一些概念、定理、公式復(fù)習(xí)好，牢牢地記住。同時(shí)數(shù)學(xué)還是一種基本技能的訓(xùn)練，像騎自行車一樣。盡管你原來(lái)騎得非常好，非常溜，但是你長(zhǎng)時(shí)間不騎，你再騎總有點(diǎn)不習(xí)慣。所以經(jīng)常練習(xí)是很重要的，天天做、天天看，一直到考試的那一天。這樣的話，就絕對(duì)不會(huì)生疏了，解題速度就能夠跟上去。

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5.多元函數(shù)微積分是新增加的知識(shí)點(diǎn)，這一塊應(yīng)該怎樣復(fù)習(xí)？二重積分如何復(fù)習(xí)？

答：函數(shù)微積分因?yàn)槭堑谝荒暝黾�，所以都�?huì)考最基本的內(nèi)容，像線性代數(shù)增加的時(shí)候第一年考是求具體的三節(jié)矩陣的特定值。所以二層積分今年初次考，比如二級(jí)積分交換基本次序，這個(gè)你一定要會(huì)。積分的區(qū)域要畫出來(lái)，各級(jí)函數(shù)畫清楚，根據(jù)積分類型確定積分順序，確定積分線。

二層積分首先你要確定是X積分還是Y積分，你在這個(gè)區(qū)域畫一條線，如果是X積分你做一條平行X軸的射線穿過這個(gè)區(qū)域。穿進(jìn)就是積分的下限，穿出就是積分的上限。一般把這個(gè)基本原則掌握了，考試就不會(huì)有問題了。

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擴(kuò)展閱讀：Qctkmq考研數(shù)學(xué)總結(jié)高數(shù)篇

生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因?yàn)樵谒鼉?nèi)部蘊(yùn)含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時(shí)間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現(xiàn)的形式表現(xiàn)出來(lái)。

－－泰戈?duì)?/p>

上冊(cè)：

函數(shù)（高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象）

極限：數(shù)列的極限（特殊）函數(shù)的極限（一般）

極限的本質(zhì)是通過已知某一個(gè)量（自變量）的變化趨勢(shì)，去研究和探索另外一個(gè)量（因變量）的變化趨勢(shì)

由極限可以推得的一些性質(zhì)：局部有界性、局部保號(hào)性……應(yīng)當(dāng)注意到，由極限所得到的性質(zhì)通常都是只在局部范圍內(nèi)成立

在提出極限概念的時(shí)候并未涉及到函數(shù)在該點(diǎn)的具體情況，所以函數(shù)在某點(diǎn)的極限與函數(shù)在該點(diǎn)的取值并無(wú)必然聯(lián)系

連續(xù)：函數(shù)在某點(diǎn)的極限等于函數(shù)在該點(diǎn)的取值連續(xù)的本質(zhì)：自變量無(wú)限接近，因變量無(wú)限接近

導(dǎo)數(shù)的概念

本質(zhì)是函數(shù)增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時(shí)的極限，更簡(jiǎn)單的說法是變化率

微分的概念：函數(shù)增量的線性主要部分，這個(gè)說法有兩層意思，一、微分是一個(gè)線性近似，二、這個(gè)線性近似帶來(lái)的誤差是足夠小的，實(shí)際上任何函數(shù)的增量我們都可以線性關(guān)系去近似它，但是當(dāng)誤差不夠小時(shí)，近似的程度就不夠好，這時(shí)就不能說該函數(shù)可微分了

不定積分：導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算什么樣的函數(shù)有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質(zhì)是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作規(guī)則的許多個(gè)小的部分，然后再綜合，最后求極限，當(dāng)極限存在時(shí)，近似成為精確什么樣的函數(shù)有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號(hào)后面的部分，不同類型的函數(shù)有不同的優(yōu)先級(jí)別，按反對(duì)冪三指的順序來(lái)記憶

定積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)里最重要的數(shù)學(xué)思想方法：微元法

微分和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質(zhì)是用多項(xiàng)式來(lái)逼近連續(xù)函數(shù)。要學(xué)好這部分內(nèi)容，需要考慮兩個(gè)問題：一、這些多項(xiàng)式的系數(shù)如何求？二、即使求出了這些多項(xiàng)式的系數(shù)，如何去評(píng)估這個(gè)多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)的精確程度，即還需要求出誤差（余項(xiàng)），當(dāng)余項(xiàng)隨著項(xiàng)數(shù)的增多趨向于零時(shí)，這種近似的精確度就是足夠好的下冊(cè)（一）：

多元函數(shù)的微積分：將上冊(cè)的一元函數(shù)微積分的概念拓展到多元函數(shù)

最典型的是二元函數(shù)

極限：二元函數(shù)與一元函數(shù)要注意的區(qū)別，二元函數(shù)中兩點(diǎn)無(wú)限接近的方式有無(wú)限多種（一元函數(shù)只能沿直線接近），所以二元函數(shù)存在的要求更高，即自變量無(wú)論以任何方式接近于一定點(diǎn)，函數(shù)值都要有確定的變化趨勢(shì)

連續(xù)：二元函數(shù)和一元函數(shù)一樣，同樣是考慮在某點(diǎn)的極限和在某點(diǎn)的函數(shù)值是否相等

導(dǎo)數(shù)：上冊(cè)中已經(jīng)說過，導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率（變化情況），在二元函數(shù)中，一點(diǎn)處函數(shù)的變化情況與從該點(diǎn)出發(fā)所選擇的方向有關(guān)，有可能沿不同方向會(huì)有不同的變化率，這樣引出方向?qū)��?shù)的概念

沿坐標(biāo)軸方向的導(dǎo)數(shù)若存在，稱之為偏導(dǎo)數(shù)

通過研究發(fā)現(xiàn)，方向?qū)��?shù)與偏導(dǎo)數(shù)存在一定關(guān)系，可用偏導(dǎo)數(shù)和所選定的方向來(lái)表示，即二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)已經(jīng)足夠表示清楚該函數(shù)在一點(diǎn)沿任意方向的變化情況

高階偏導(dǎo)數(shù)若連續(xù)，則求導(dǎo)次序可交換

微分：微分是函數(shù)增量的線性主要部分，這一本質(zhì)對(duì)一元函數(shù)或多元函數(shù)來(lái)說都一樣。只不過若是二元函數(shù)，所選取的線性近似部分應(yīng)該是兩個(gè)方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無(wú)窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導(dǎo)數(shù)存在，不能推出用線性關(guān)系近似表示函數(shù)增量后帶來(lái)的誤差足夠小，即偏導(dǎo)數(shù)存在不一定有微分存在

若偏導(dǎo)數(shù)存在，且連續(xù)，則微分一定存在

極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和可微的關(guān)系在多元函數(shù)情形里比一元函數(shù)更為復(fù)雜

極值：若函數(shù)在一點(diǎn)取極值，且在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）存在，則此導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）必為零

所以，函數(shù)在某點(diǎn)的極值情況，即函數(shù)在該點(diǎn)附近的函數(shù)增量的符號(hào)，由二階微分的符號(hào)判斷。對(duì)一元函數(shù)來(lái)說，二階微分的符號(hào)就是二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，對(duì)二元函數(shù)來(lái)說，二階微分的符號(hào)可由相應(yīng)的二次型的正定或負(fù)定性判斷。

梯度運(yùn)算把一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)變成向量場(chǎng)

一條空間曲線在某點(diǎn)的切向量，便是該點(diǎn)處的曲線微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯(lián)系

一張空間曲面在某點(diǎn)的法向量，便是該點(diǎn)處的曲面微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯(lián)系

物體在一點(diǎn)處的相對(duì)體積變化率由該點(diǎn)處的速度場(chǎng)決定，其值為速度場(chǎng)的散度

散度運(yùn)算把向量場(chǎng)變成標(biāo)量場(chǎng)

散度為零的場(chǎng)稱為無(wú)源場(chǎng)

高斯定理的物理意義：對(duì)散度在空間區(qū)域進(jìn)行體積分，結(jié)果應(yīng)該是這個(gè)空間區(qū)域的體積變化率，同時(shí)這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即高斯定理把一個(gè)速度場(chǎng)在邊界上的積分與速度場(chǎng)的散度在該邊界所圍的閉區(qū)域上的體積分聯(lián)系起來(lái)

無(wú)源場(chǎng)的體積變化為零，這是容易理解的，相當(dāng)于既無(wú)損失又無(wú)補(bǔ)充

物體在一點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)情況由該點(diǎn)處的速度場(chǎng)決定，其值為速度場(chǎng)的旋度

旋度運(yùn)算把向量場(chǎng)變成向量場(chǎng)

旋度為零的場(chǎng)稱為無(wú)旋場(chǎng)

斯托克斯定理的物理意義：對(duì)旋度在空間曲面進(jìn)行第二類曲面積分，結(jié)果應(yīng)該表示的是這個(gè)曲面的旋轉(zhuǎn)快慢程度，同時(shí)這種旋轉(zhuǎn)也可看成是邊界上的速度環(huán)量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即斯托克斯定理把一個(gè)速度場(chǎng)在邊界上形成的環(huán)量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯(lián)系起來(lái)。該解釋是從速度環(huán)量的角度出發(fā)得到的，比高斯定理要難，不強(qiáng)求掌握。

無(wú)旋場(chǎng)的速度環(huán)量為零，這相當(dāng)于一個(gè)區(qū)域沒有旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，這是容易理解的

格林定理是斯托克斯定理的平面情形

進(jìn)一步考察無(wú)旋場(chǎng)的性質(zhì)

旋度為零，相當(dāng)于對(duì)旋度作的第二類曲面積分為零即等號(hào)后邊的第二類曲線積分為零，相當(dāng)于該力場(chǎng)圍繞一閉合空間曲線作做的功為零即從該閉合曲線上任選一點(diǎn)出發(fā)，積分與路徑無(wú)關(guān)相當(dāng)于所得到的曲線積分結(jié)果只于終點(diǎn)的選擇有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)，可看成終點(diǎn)的函數(shù)，這是一個(gè)場(chǎng)函數(shù)（空間位置的函數(shù)），稱為勢(shì)函數(shù)所得的勢(shì)函數(shù)的梯度正好就是原來(lái)的力場(chǎng)因?yàn)榱��?chǎng)函數(shù)是連續(xù)的，所以勢(shì)函數(shù)有全微分

總習(xí)題二：

1填空題，不多說了，重點(diǎn)

2非常好的一道題目，考察了與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的一些說法，其中的干擾項(xiàng)（B）（C）設(shè)置的比較巧妙，因?yàn)槠綍r(shí)我們一般只注意到導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)存在的條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，容易忽視另一個(gè)重要條件：函數(shù)必須要在該點(diǎn)連續(xù)，否則何來(lái)可導(dǎo)？而（B）（C）項(xiàng)的問題正是在于即使其中的極限存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，因?yàn)楦�本就沒出現(xiàn)f(a)，所以對(duì)f(x)在a處的情況是不清楚的。而對(duì)（A）項(xiàng)來(lái)說只能保證右導(dǎo)數(shù)存在。只有（D）項(xiàng)是能確實(shí)的推出可導(dǎo)的

3物理應(yīng)用現(xiàn)在基本不要求了

4按定義求導(dǎo)數(shù)，不難，應(yīng)該掌握

5常見題型，判斷函數(shù)在間斷點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)情況，按定義即可

6典型題，討論函數(shù)在間斷點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性，均按定義即可

7求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算層面的考察，第二章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容

8求二階導(dǎo)數(shù)，同上題

9求高階導(dǎo)數(shù)，需注意總結(jié)規(guī)律，難度稍大，體會(huì)思路即可

10求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，重要，�？碱}型

11求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)，同樣是�？碱}型

12導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，重要題型

13、14、15不作要求

綜上，第二章總習(xí)題需重點(diǎn)掌握的題目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12

第三章的習(xí)題都比較難，需要多總結(jié)和體會(huì)解題思路

總習(xí)題三

1零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論問題，典型題，需掌握

2又一道設(shè)置巧妙的題目，解決方法有很多，通過二階導(dǎo)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)增量與導(dǎo)數(shù)、微分的大小關(guān)系，07年真題就有一道題目由此題改造而來(lái)，需重點(diǎn)體會(huì)

3舉反例，隨便找個(gè)有跳躍點(diǎn)的函數(shù)即可

4中值定理和極限的綜合應(yīng)用，重要題目，主要從中體會(huì)中值定理的妙處

5零點(diǎn)問題，可用反證法結(jié)合羅爾定理，也可正面推證，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，此題非典型題

6、7、8中值定理典型題，要證明存在零點(diǎn)，可構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，再利用羅爾定理，此類題非常重要，要細(xì)心體會(huì)解答給出的方法

9非常見題型，了解即可

10羅必達(dá)法則應(yīng)用，重要題型，重點(diǎn)掌握

11不等式，一般可用導(dǎo)數(shù)推征，典型題

12、13極值及最值問題，需要掌握，不過相對(duì)來(lái)說多元函數(shù)的這類問題更重要些

14、15、16不作要求

17非常重要的一道題目，設(shè)計(jì)的很好，需要注意題目條件中并未給出f""可導(dǎo)，故不能連用兩次洛必達(dá)法則，只能用一次洛必達(dá)法則再用定義，這是此題的亮點(diǎn)

18無(wú)窮小的階的比較，一是可直接按定義，二是可將函數(shù)泰勒展開，都能得到結(jié)果，此題考察的是如何判斷兩個(gè)量的階的大小，重要

19對(duì)凹凸性定義的推廣，用泰勒公式展開到二階可較方便的解決，此題可看作泰勒公式應(yīng)用的一個(gè)實(shí)例，重在體會(huì)其思想

20確定合適的常數(shù)，使得函數(shù)為給定的無(wú)窮小量，典型題，且難度不大

綜上，第三章總習(xí)題需要重點(diǎn)掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20

第四章沒有什么可說的重點(diǎn)，能做多少是多少吧……

積分的題目是做不完的。

當(dāng)然，如果你以那種不破樓蘭終不還的決心和氣勢(shì)，最終把所有題目搞定了，這還是值得恭喜的，盡管可能這會(huì)花掉很多時(shí)間，但仍然是值得的……因?yàn)檫@有效的鍛煉了思維。

總習(xí)題五

1填空，重要，但第（2）、（3）問涉及廣義積分，不作要求

2典型題，前3題用定積分定義求極限，需重點(diǎn)掌握，尤其是要體會(huì)如何把和式改寫為相應(yīng)的積分式，積分區(qū)間和被積函數(shù)如何定，這個(gè)是需要適當(dāng)?shù)木毩?xí)才能把握好的，后2題涉及積分上限函數(shù)求導(dǎo)，也是常見題型

3分別列出三種積分計(jì)算中最可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，需細(xì)心體會(huì)，重要

4利用定積分的估值證明不等式，技巧性較強(qiáng)

5兩個(gè)著名不等式的積分形式，不作強(qiáng)制要求，了解即可

6此題證明要用5題中的柯西不等式，不作要求

7計(jì)算定積分，典型題

8證明兩個(gè)積分相等，可用一般方法，也可利用二重積分的交換積分次序，設(shè)計(jì)巧妙的重點(diǎn)題目

9同樣是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，只不過對(duì)象變得比一般函數(shù)復(fù)雜，是積分上限函數(shù)，但本質(zhì)和第三章的類似題目無(wú)區(qū)別，不難掌握

10分段求積分，典型題

11證明積分第一中值定理，要用到連續(xù)函數(shù)的介值定理，難度高于積分中值定理的證明，可作為提高和鍛煉性質(zhì)的練習(xí)

綜上，總習(xí)題五需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、7、8、9、10

定積分的應(yīng)用一塊的考察，現(xiàn)在更偏重的是幾何應(yīng)用

1物理應(yīng)用，跳過

2所涉及到的圖形較為復(fù)雜，是兩個(gè)圓，其中第二個(gè)是旋轉(zhuǎn)了一定角度的圓，不易看出，此題可作為一個(gè)提高性質(zhì)的練習(xí)

3重點(diǎn)題，積分的幾何應(yīng)用和極值問題相結(jié)合，�？碱}型之一

4旋轉(zhuǎn)體體積，需注意的是繞哪條線形成的旋轉(zhuǎn)體，所繞的軸不同的話，結(jié)果不同

9從流量的角度出發(fā)理解第二類曲面積分，基本題型

10用Stokes定理積分空間曲線積分，基本題型，01年考過

綜上，總習(xí)題十需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、4、5、8、9、10

第十一章是級(jí)數(shù)，數(shù)二數(shù)四不要求，其中傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)數(shù)三無(wú)要求

總習(xí)題十一

1填空，涉及級(jí)數(shù)斂散性的相關(guān)說法，重要

2判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，典型題，綜合應(yīng)用比較、比值、根值三種方法，在用比較判別法時(shí)實(shí)際就是比較兩個(gè)通項(xiàng)是否同階無(wú)窮小，這樣可讓思路更清晰

3抽象級(jí)數(shù)的概念題，重點(diǎn)題型之一，要利用級(jí)數(shù)收斂的相關(guān)性質(zhì)判斷

4設(shè)置了陷阱的概念題，因?yàn)楸容^判別法只對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)成立，也是重點(diǎn)題型之一

5判斷級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂，典型題，通過這些練習(xí)來(lái)加強(qiáng)對(duì)這類題目的熟練度

6利用收斂級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨于零這一說法來(lái)判斷極限，體會(huì)方法即可

7求冪級(jí)數(shù)的收斂域，典型題，要多加練習(xí)，注意搞清楚收斂域、收斂半徑、收斂區(qū)域的區(qū)別

8求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，典型題，重要，一般求和函數(shù)都不用直接法而用間接法，即通過對(duì)通項(xiàng)作變形（逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)等），再利用已知的常見函數(shù)的展開式得到結(jié)果，注意求出和函數(shù)不要忘記相應(yīng)的收斂域。

9利用構(gòu)造冪級(jí)數(shù)來(lái)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，也是一類重要題型

10將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)，與8是互為反問題，仍是多用間接展開法，方法上異曲同工，需要熟練掌握，同樣注意不要忘記收斂域

11、12傅立葉級(jí)數(shù)的相關(guān)題目，基本題，此類題目記得相應(yīng)的系數(shù)表達(dá)式就可解決，一般來(lái)說至少要掌握周期為pi的情形。注意傅氏級(jí)數(shù)展開的系數(shù)公式難記，只能平時(shí)多加回顧，還有不要忽略了在非連續(xù)點(diǎn)展開后的傅氏級(jí)數(shù)的收斂情況（即狄利赫萊收斂定理）

綜上，總習(xí)題十一需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11

第十二章微分方程，二階以上的方程對(duì)數(shù)四不作要求，下面不再詳細(xì)說明

總習(xí)題十二

1填空，涉及微分方程理論的若干說法，基本題，第（2）問只數(shù)一要求

2通過解的形式觀察出相應(yīng)的微分方程，典型題，其中第（2）問更重要

3、4求解不同類型的微分方程，通過這些題目的練習(xí)，基本對(duì)各種方程的解法有一定了解，同時(shí)也培養(yǎng)了一些解題思路和技巧，重要。其中涉及到全微分方程的幾個(gè)小題只數(shù)一有要求

5微分方程的幾何應(yīng)用，基本題

6微分方程的物理應(yīng)用，不作要求

7由積分方程推導(dǎo)微分方程，典型題，要求掌握

8用變量代換化簡(jiǎn)微分方程，典型題，只對(duì)數(shù)一有要求，注意在代換過程中要搞清楚變量和變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系

9涉及微分方程基本理論的題目，非常見題型，但可體會(huì)其出題思路

10歐拉方程的練習(xí)，數(shù)一要求

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