高中數學選修2-2知識點總結

導數及其應用

一．導數概念的引入

數學選修2-2知識點總結

1.導數的物理意義：瞬時速率。一般的，函數yf(x)在xx0處的瞬時變化率是

limf(x0x)f(x0)x，

x0我們稱它為函數yf(x)在xx0處的導數，記作f(x0)或y|xx，即

0f(x0)=limf(x0x)f(x0)xx0

例1．在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t(單位：

s)存在函數關系

h(t)4.9t6.5t10

2運動員在t=2s時的瞬時速度是多少？解：根據定義

vh(2)limh(2x)h(2)xx013.1

即該運動員在t=2s是13.1m/s,符號說明方向向下

2.導數的幾何意義：曲線的切線.通過圖像,我們可以看出當點Pn趨近于P時，直線PT與

曲線相切。容易知道，割線PPn的斜率是knf(xn)f(x0)xnx0，當點Pn趨近于P時，函

數yf(x)在xx0處的導數就是切線PT的斜率k，即

klimf(xn)f(x0)xnx0f(x0)

x03.導函數：當x變化時，f(x)便是x的一個函數，我們稱它為f(x)的導函數.yf(x)的導函數有時也記作y,即

f(x)limf(xx)f(x)xx0

二.導數的計算

1.函數yf(x)c的導數2.函數yf(x)x的導數3.函數yf(x)x的導數

4.函數yf(x)1x的導數

基本初等函數的導數公式:

1若f(x)c(c為常數)，則f(x)0；2若f(x)x,則f(x)x1;3若f(x)sinx,則f(x)cosx4若f(x)cosx,則f(x)sinx;5若f(x)ax,則f(x)axlna6若f(x)ex,則f(x)ex

x7若f(x)loga,則f(x)1xlna1x

8若f(x)lnx,則f(x)導數的運算法則

1.[f(x)g(x)]f(x)g(x)

2.[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)

f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)[g(x)]23.[]

復合函數求導

yf(u)和ug(x),稱則y可以表示成為x的函數,即yf(g(x))為一個復合函數yf(g(x))g(x)

三.導數在研究函數中的應用1.函數的單調性與導數:

一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系：

在某個區(qū)間(a,b)內，如果f(x)0，那么函數yf(x)在這個區(qū)間單調遞增；如果f(x)0，那么函數yf(x)在這個區(qū)間單調遞減.2.函數的極值與導數

極值反映的是函數在某一點附近的大小情況.求函數yf(x)的極值的方法是:

(1)如果在x0附近的左側f(x)0,右側f(x)0,那么f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側f(x)0,右側f(x)0,那么f(x0)是極小值;4.函數的最大(小)值與導數

函數極大值與最大值之間的關系.

求函數yf(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟（1）求函數yf(x)在(a,b)內的極值；

（2）將函數yf(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的是一個

最大值，最小的是最小值.

四.生活中的優(yōu)化問題

利用導數的知識,,求函數的最大(小)值,從而解決實際問題

第二章推理與證明

考點一合情推理與類比推理

根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理,歸納是從特殊到一般的過程,它屬于合情推理

根據兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質的推理,叫做類比推理.

類比推理的一般步驟:

(1)找出兩類事物的相似性或一致性;

(2)用一類事物的性質去推測另一類事物的性質,得出一個明確的命題(猜想);

(3)一般的,事物之間的各個性質并不是孤立存在的,而是相互制約的.如果兩個事物在某

些性質上相同或相似,那么他們在另一寫性質上也可能相同或類似,類比的結論可能是真的.

(4)一般情況下,如果類比的相似性越多,相似的性質與推測的性質之間越相關,那么類比

得出的命題越可靠.

考點二演繹推理(俗稱三段論)

由一般性的命題推出特殊命題的過程,這種推理稱為演繹推理.

考點三數學歸納法

1.它是一個遞推的數學論證方法.

2.步驟:A.命題在n=1（或n0）時成立，這是遞推的基礎；B.假設在n=k時命題成立C.證明n=k+1時命題也成立,

完成這兩步,就可以斷定對任何自然數(或n>=n0,且nN)結論都成立�？键c三證明1.反證法:2.分析法:3.綜合法:

第一章數系的擴充和復數的概念考點一:復數的概念

(1)復數:形如abi(aR,bR)的數叫做復數，a和b分別叫它的實部和虛部.

(2)分類:復數abi(aR,bR)中,當b0,就是實數;b0,叫做虛數;當a0,b0時,

叫做純虛數.

(3)復數相等:如果兩個復數實部相等且虛部相等就說這兩個復數相等.

(4)共軛復數:當兩個復數實部相等,虛部互為相反數時,這兩個復數互為共軛復數.(5)復平面:建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面,x軸叫做實軸，y軸除去原點的部

分叫做虛軸。

(6)兩個實數可以比較大小，但兩個復數如果不全是實數就不能比較大小。

考點二：復數的運算

1.復數的加，減，乘，除按以下法則進行設z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)則

z1z2(ac)(bd)iz1z2(acbd)(adbc)i

z1z2(acbd)(adbc)icd22(z20)

2,幾個重要的結論

2222(1)|z1z2||z1z2|2(|z1||z2|)

(2)zz|z|2|z|2(3)若z為虛數,則|z|z3.運算律

(1)zmznzmn;(2)(z)zmnmnnnn;(3)(z1z2)z1z2(m,nR)

224.關于虛數單位i的一些固定結論：

（1）i1（2）ii（3）i1（2）ii234nn2in3in

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高中數學選修1-2知識點總結

第一章統(tǒng)計案例

1．線性回歸方程①變量之間的兩類關系：函數關系與相關關系；②制作散點圖，判斷線性相關關系

③線性回歸方程：ybxa（最小二乘法）

nxiyinxyi1bn2其中，2xinxi1aybx注意：線性回歸直線經過定點(x,y).

2．相關系數（判定兩個變量線性相關性）：r(xi1nix)(yiy)2

(xi1nix)(yi1niy)2注：⑴r>0時，變量x,y正相關；r第二章框圖

1.流程圖

流程圖是由一些圖形符號和文字說明構成的圖示．流程圖是表述工作方式、工藝流程的一種常用手段，它的特點是直觀、清晰．3.結構圖

一些事物之間不是先后順序關系，而是存在某種邏輯關系，像這樣的關系可以用結構圖來描述．常用的結構圖一般包括層次結構圖，分類結構圖及知識結構圖等．

第三章推理與證明

1.推理⑴合情推理：

歸納推理和類比推理都是根據已有事實，經過觀察、分析、比較、聯想，在進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。①歸納推理

由某類食物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者有個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。②類比推理

由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理，簡稱類比。類比推理是特殊到特殊的推理。⑵演繹推理

從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，這種推理叫演繹推理。演繹推理是由一般到特殊的推理。

“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般結論；⑵小前提---------所研究的特殊情況；⑶結論---------根據一般原理，對特殊情況得出的判斷。

2

2.證明

(1)直接證明①綜合法

一般地，利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因導果法。②分析法

一般地，從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。(2)間接證明……反證法

一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。

第四章復數

1.復數的有關概念

(1)把平方等于－1的數用符號i表示，規(guī)定i2＝－1，把i叫作虛數單位．

(2)形如a＋bi的數叫作復數(a，b是實數，i是虛數單位)．通常表示為z＝a＋bi(a，b∈R)．(3)對于復數z＝a＋bi，a與b分別叫作復數z的______與______，并且分別用Rez與Imz表示．2.數集之間的關系

復數的全體組成的集合叫作_____________，記作C.3.復數的分類

實數（b＝0）

復數a＋bi

純虛數（a＝0）（a，b∈R）虛數（b≠0）

非純虛數（a≠0）

4.兩個復數相等的充要條件

設a，b，c，d都是實數，則a＋bi＝c＋di，當且僅當_________

3

5.復平面

(1)定義：當用__________________的點來表示復數時，我們稱這個直角坐標平面為復平面．(2)實軸：_______稱為實軸．虛軸：_________稱為虛軸．6.復數的模

若z＝a＋bi(a，b∈R)，則_______________．7.共軛復數

(1)定義：當兩個復數的實部________，虛部互為___________時，這樣的兩個復數叫作互為共軛復數．復數z的共軛復數用______表示，即若z＝a＋bi，則z－＝__________．2)性質：＝＝___________．

必背結論

1.(1)z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=zz2≥0；(2)z=a+bi是虛數b≠0(a,b∈R)；

(3)z=a+bi是純虛數a=0且b≠0(a,b∈R)z＋z＝0（z≠0）z2

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