北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

九（上）數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)答案

第一章證明（一）

1、你能證明它嗎？

（1）三角形全等的性質(zhì)及判定

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、

（2）等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論

性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）

判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）

推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）（3）等邊三角形的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60度；等邊三角形的三條邊都滿足“三線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸。

判定定理：有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形�；蛘呷齻�(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

（4）含30度的直角三角形的邊的性質(zhì)

定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30度，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。2、直角三角形

（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（2）命題包括已知和結(jié)論兩部分；逆命題是將倒是的已知和結(jié)論交換；正確的逆命題就是逆定理。

（3）直角三角形全等的判定定理

定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）3、線段的垂直平分線

（1）線段垂直平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。（2）三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

（3）如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線

分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的一半長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線。4、角平分線

（1）角平分線的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；

判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。（2）三角形三條角平分線的性質(zhì)定理

性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線

第二章一元二次方程

1、花邊有多寬

（1）整式方程及一元二次方程的概念

整式方程：方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式；

一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化作ax+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)的形式。

（2）一元二次方程的一般式及各系數(shù)含義

2

一般式：ax+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)，其中，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。

2、配方法

（1）直接開(kāi)平方法的定義

利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫直接開(kāi)平方法。（2）配方法的步驟和方法

一、移項(xiàng)，把方程的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊；二、配，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，把原方程化為（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用開(kāi)平方法求出它的解。3、公式法

（1）求根公式b-4ac≥0時(shí)，x=

22

bb4ac2a2

(2)求一元二次方程的一般式及各系數(shù)的含義

一、將方程化為一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)；二、計(jì)算b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，否則方程無(wú)實(shí)數(shù)根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、寫(xiě)出方程的兩個(gè)根。4、分解因式法

（1）分解因式的概念

當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，根據(jù)ab=0，那么a=0或b=0，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步驟

一、將方程右邊化為零；二、將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；三、設(shè)每一個(gè)因式分別為0，得到兩個(gè)一元二次方程；四、解這兩個(gè)一元二次方程，它們的解就是原方程的解。5、為什么是0.618（1）什么叫黃金比

線段AB上一點(diǎn)C分線段AB成兩條線段AC，BC，若黃金分割點(diǎn)，其中

ACABACAB=

BCAC，則C點(diǎn)叫線段AB的

叫黃金比，其值為0.618。

（2）列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟

一、審題；二、設(shè)求知數(shù)；三、列代數(shù)式；四、列方程；五、解方程；六、檢驗(yàn)；七、答

第三章證明（三）

1、平行四邊行

（1）平行四邊形的定義、性質(zhì)及判定定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形

性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊分別平行；平行四邊形的對(duì)邊分別相等；平行四邊形的對(duì)角分別相等；平行四邊形的對(duì)角線互相平分。判定：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊行。（2）等腰梯形的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等；等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。

判定：同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。（3）三角形中位線定義及性質(zhì)

定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。2、特殊平行四邊形

（1）矩形、菱形、正方形、直角三角形的性質(zhì)及判定

第四章視圖與投影

1、視圖

（1）三視圖的種類及三種視圖之間的關(guān)系三視圖有主視圖、左視圖和俯視圖；三種視圖間的關(guān)系：主、俯長(zhǎng)對(duì)正；主、左高平齊；俯、左寬相等；（2）會(huì)畫(huà)圓柱、圓錐、球的三視圖

2、太陽(yáng)光與影子

（1）投影與平行投影的含義、平行投影的性質(zhì)

一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面上得到的影子叫做投影；由平行光線形成的投影是平行投影。

平行投影的性質(zhì)：物體上的點(diǎn)以及影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線互相平行；當(dāng)物體與投影面平行時(shí)，所形成的影子與物體全等；同一時(shí)刻，在平行光線下，互相平行的物體的高度與影子長(zhǎng)度的比值相等。

（2）物體影長(zhǎng)的變化規(guī)律，會(huì)將影長(zhǎng)與相似結(jié)合起來(lái)進(jìn)行計(jì)算

在太陽(yáng)光的照射下，不同時(shí)刻，物體影子的長(zhǎng)短也不一樣，早晚影子長(zhǎng)，中午影子短。（3）平行投影與視圖之間的關(guān)系

視圖實(shí)際上就是該物體在某一平行光線下的投影。3、燈光與影子

（1）中心投影的概念及應(yīng)用，區(qū)別平行投影與中心投影從一點(diǎn)發(fā)出的光線形成的投影稱為中心投影。（2）視點(diǎn)、視線與盲區(qū)的概念

眼睛的位置稱為視點(diǎn)；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。

第五章反比例函數(shù)

1、反比例函數(shù)

（1）反比例函數(shù)的概念

一般地，如果兩個(gè)變量x,y之間的關(guān)系可以表示成y=函數(shù)。反比例函數(shù)的自變量x不能為0。（2）掌握求反比例函數(shù)的解析式的方法

將一組x,y的值代入解析式中確定k的值即可。

kx的形式，那么稱y是x的反比例2、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）反比例函數(shù)圖象的畫(huà)法

一般采用描點(diǎn)法：先列表，再描點(diǎn)，再連線。

（2）反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，其表達(dá)式與圖象的關(guān)系，函數(shù)值大小的比較（表5-1）3、反比例函數(shù)的應(yīng)用

（1）用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路

1、根據(jù)問(wèn)題情境，設(shè)出所求的反比例函數(shù)表達(dá)式；

2、由問(wèn)題中的已知數(shù)據(jù)，代入所求表達(dá)式，列出方程（或方程組），求出方程的解，確定出待定系數(shù)的值，從而確定函數(shù)表達(dá)式；3、根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，去解決實(shí)際問(wèn)題。

（2）反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別及綜合應(yīng)用（表5-1）

表5-1

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第二十一章二次根式

1.二次根式：式子

(a≥0)叫做二次根式。

2.最簡(jiǎn)二次根式：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式；（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。如

不是最簡(jiǎn)二次根式，因被開(kāi)方數(shù)中

含有4是可開(kāi)得盡方的因數(shù)，又如，，..........都不是最簡(jiǎn)二次根式，而

，，5，都是最簡(jiǎn)二次根式。

3.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。如它們與

,,

就是同類二次根式，因?yàn)?/p>=2，=3，

的被開(kāi)方數(shù)均為2。

4.有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。如理化因式。二次根式的性質(zhì)：1.

(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù),即

≥0;

)=a(a≥0)；

2

與，a+與a-，-與+，互為有

2.非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個(gè)數(shù)，即：(

3.某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對(duì)值，即=|a|==

（a

4.非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即≥0,b≥0）。

5.非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即=

（a≥0,b>0）。

21.2二次根式的乘除

1.二次根式的乘法

兩個(gè)二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即都是非負(fù)數(shù)；（2）

（≥0，≥0）可以推廣為（≥0，≥0，≥0，

（3）等式

≥0）。

（≥0，

（≥0，≥0）；（≥0，≥0）。

說(shuō)明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，、

（≥0，≥0）也可以倒過(guò)來(lái)使用，即

≥0）。也稱“積的算術(shù)平方根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

2.二次根式的除法

兩個(gè)二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即0，在分母中，因此＞0；

（≥0，＞0）。

說(shuō)明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，≥

（2）（≥0，＞0）可以推廣為（≥0，＞0，≠0）；

（3）等式（≥0，＞0）也可以倒過(guò)來(lái)使用，即（≥0，＞0）。也稱“商的算術(shù)平方根”。它與二根式的除法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

3.最簡(jiǎn)二次根式

（1）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方開(kāi)得盡的因數(shù)或因式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含分母。

21.3二次根式的加減

1.同類二次根式

注：判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，關(guān)鍵是先把二次根式準(zhǔn)確地化成最簡(jiǎn)二次根式，再觀察它們的被開(kāi)方數(shù)是否相同。

（2）合并同類二次根式：合并同類二次根式的方法與合并同類項(xiàng)的方法類似，系數(shù)相加減，二次根號(hào)及被開(kāi)方數(shù)不變。

2.二次根式的加減

（1）二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將同類二次根式分別合并。（2）二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，首先是化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)再合并同類二次根式，同類二次根式相當(dāng)于同類項(xiàng)。

一般地，二次根式的加減法可分以下三個(gè)步驟進(jìn)行：i）將每一個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式

ii）判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結(jié)合成一組iii）合并同類二次根式

3.二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算可以說(shuō)是二次根式乘法、除法、加、減法則的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運(yùn)算順序，二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，

先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的。

（2）在運(yùn)算過(guò)程中，每個(gè)根式可以看作是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作是“多項(xiàng)式”。

（3）觀察式中二次根式的特點(diǎn)，合理使用運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)和整式中的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在二次根式的運(yùn)算中都可以應(yīng)用。

4.分母有理化

（1）我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中研究了分母形如綜合起來(lái)，常見(jiàn)的有理化因式有：①

形式的分式的分母有理化

，②

的有理化因式為

，③

的有理化因式為

的有理化因式為

因式為

，④的有理化因式為，⑤的有理化

（2）分母有理化就是通過(guò)分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過(guò)程，混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過(guò)分母有理化而進(jìn)行的。

第二十二章一元二次方程

22.1一元二次方程

在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。

22.2降次解一元二次方程

解一元二次方程的基本思想方法是通過(guò)“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開(kāi)平方法：

用直接開(kāi)平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解為x=±m(xù).2、配方法

1.轉(zhuǎn)化：2.系數(shù)化3.移項(xiàng)：4.配方：5.變形：6.開(kāi)方：3、公式法

公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式△=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程

列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展

從列方程解應(yīng)用題的方法來(lái)講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類問(wèn)題大部分都可通過(guò)算術(shù)方法來(lái)解決．如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問(wèn)題，經(jīng)過(guò)兩次增長(zhǎng)的平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，數(shù)學(xué)問(wèn)題中涉及積的一些問(wèn)題，經(jīng)營(yíng)決策問(wèn)題等等．

第二十三章旋轉(zhuǎn)

23.1圖形的旋轉(zhuǎn)

1.圖形的旋轉(zhuǎn)

（1）定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圓形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。

（2）生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類：一類是物體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，如時(shí)鐘的時(shí)針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)車(chē)的轉(zhuǎn)動(dòng)等；另一類則是由某一基本圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。

（3）圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上也可以在圖形外。

（4）會(huì)找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角。2.旋轉(zhuǎn)的基本特征：

（1）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（3）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)生改變。3.幾點(diǎn)說(shuō)明：

旋轉(zhuǎn)中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中位置沒(méi)有改變，哪一點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心；若在圖形外，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心。

23.2中心對(duì)稱

中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，假如它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱。

中心對(duì)稱的性質(zhì)：①關(guān)于中心對(duì)稱的劉遇圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分。②關(guān)于中心對(duì)稱的劉遇圖形是全等形。

中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。

對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：①關(guān)于x軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，②關(guān)于y軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。

第二十四章圓第三章圓

1、定義：圓是平面上到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對(duì)圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；

②圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長(zhǎng)）。

2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則：

①點(diǎn)在圓上d=r；②點(diǎn)在圓內(nèi)dr。（P56-5，6、P58-16）證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)的距離相等。

3、圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線。圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為圓心。直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。（P58-4、P59-9、P61-3、P63-16、P65-15）4、與圓相關(guān)的概念：

①弦和直徑。弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。

②圓弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧。圓弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，用符號(hào)“⌒”表示，半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)�。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣�。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。)③弓形：弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形。

④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。

⑤等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。

⑥等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。⑦圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。⑦弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。

5、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

說(shuō)明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)，如果具備：①過(guò)圓心；②垂直

于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；⑤平分弦所對(duì)的劣弧。

6、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，

那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。

7、1°的弧的概念：把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時(shí)，每一份的角都是1°的圓心角，相應(yīng)的

整個(gè)圓也被等分成360份，每一份同樣的弧叫1°弧。圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等。8、圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對(duì)的弧也相等；

推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；（P66-5，7、P68-16）9、確定圓的條件：

①理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件：圓心和半徑，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)也可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓，其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上。

②經(jīng)過(guò)三點(diǎn)作圓要分兩種情況：(1)經(jīng)過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓。(2)經(jīng)過(guò)不在同一直線

上的三點(diǎn)，能且僅能作一個(gè)圓。定理：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。10、(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。（P69-4,5、P70-15）

(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心。(3)三角形的外心的性質(zhì)：三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等。11、直線和圓的位置關(guān)系：（P72-3,5）

(1)相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線。

(2)相切：直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn)。

(3)相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。

(4)直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，則

①dr直線L和⊙O相離。

12、切線的總判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。

結(jié)論：如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出第三個(gè)。①垂直于切線；②過(guò)切點(diǎn)；③過(guò)圓心。（P73-13、P74-3、P75-14）

13、和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。

三角形內(nèi)心的性質(zhì)：(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等。(2)過(guò)三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角。由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線：連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)，該線平分三角形的這個(gè)內(nèi)角。（P77-2、P78-14）

題15：如圖，PA是⊙O的切線，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B、C，PA＝6、PB＝4則BC＝________．

AB的值為_(kāi)_______。AC

圖514、兩圓的位置關(guān)系：（P79-6、P81-13）

(1)外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離。

(2)外切：兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切。這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。

(3)相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交。

(4)內(nèi)切：兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切。這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。

(5)內(nèi)含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含。兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個(gè)特例。

(6)兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定：(1)兩圓外離d>R+r；(2)兩圓外切d=R+r；(3)兩圓相交R-r

24.3正多邊形和圓

1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2、正多邊形與圓的關(guān)系：

(1)將一個(gè)圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形。

(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓。

3、正多邊形的有關(guān)概念：

(1)正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心。(2)正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑。

(3)正多邊形的邊心距正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。(4)正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角。

4、正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓。

(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的對(duì)稱軸有n條。

(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。

重點(diǎn)：正多邊形的有關(guān)計(jì)算。

知識(shí)講解

1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。

例如：正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。如果一個(gè)正多邊形有n條邊，那么，這個(gè)多邊形叫正n邊形。

再如：矩形不是正多邊形，因?yàn)樗�只具有各角相等，而各邊不一定相等；菱形不是正多邊形，因�(yàn)�，它只具有各邊相等，而各角不一定相等�?/p>

2、正多邊形與圓的關(guān)系。正多邊形與圓有密切關(guān)系，把圓分成n(n≥3)等份，依次連結(jié)分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形。

相鄰分點(diǎn)間的弧相等，則所對(duì)的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個(gè)內(nèi)角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內(nèi)角都相等，從而這個(gè)多邊形就是正多邊形。如：將圓6等分，即

，則AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA。

觀察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所對(duì)的弧可以發(fā)現(xiàn)都是相等的弧，所以，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F。

所以，將一個(gè)圓6等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)所得到的是⊙O的內(nèi)接正六邊形。

3、正多邊形的有關(guān)計(jì)算。

(1)首先要明確與正多邊形計(jì)算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑Rn就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距rn，正多邊形的中心角αn，正多邊形的邊長(zhǎng)an。(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于

；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個(gè)等腰

三角形分成了2n個(gè)全等的直角三角形。

如圖：是一個(gè)正n邊形ABCD根據(jù)以上講解，我們來(lái)分析RtΔAOM的基本元素：斜邊OA正n邊形的半徑Rn；

一條直角邊OM正n邊形的邊心距rn；

一條直角邊AM正n邊形的邊長(zhǎng)an的一半即AM＝an；銳角∠AOM正n邊形的中心角αn的一半即∠AOM＝銳角∠OAM正n邊形內(nèi)角的一半即∠OAM＝

；

[(n－2)180°]；

可以看到在這個(gè)直角三角形中的各元素恰好反映了正n邊形的各元素。因此，就可以把正n邊形的有關(guān)計(jì)算歸納為解直角三角形的問(wèn)題。4、正多邊形的有關(guān)作圖。(1)使用量角器來(lái)等分圓。(2)用尺規(guī)來(lái)等分圓。

對(duì)于一些特殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作∠AOB的平分線交逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫(huà)一條直徑AB，

分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫(huà)弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn)。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn)。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把⊙O12等分。

5、正多邊形的對(duì)稱性。

正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心，如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心。如：正三角形、正方形。

24.4弧長(zhǎng)和扇形面積

知識(shí)點(diǎn)1、弧長(zhǎng)公式

因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C＝2R，所以1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是

，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式：，

說(shuō)明：（1）在弧長(zhǎng)公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R＝10，計(jì)算20°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l時(shí)，不要錯(cuò)寫(xiě)成。（2）在弧長(zhǎng)公式中，已知l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量。

知識(shí)點(diǎn)2、扇形的面積

如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因?yàn)閳A心角是360°的扇形面積等于圓面積扇形面積是

，由此得圓心角為n°的扇形面積的計(jì)算公式是

，扇形面積。

，所以圓心角為1°的

。

，所以又得到扇形面積的

又因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)另一個(gè)計(jì)算公式：

知識(shí)點(diǎn)3、弓形的面積

（1）弓形的定義：由弦及其所對(duì)的�。ò�括劣弧、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長(zhǎng)＝弦長(zhǎng)＋弧長(zhǎng)（3）弓形的面積

如圖所示，每個(gè)圓中的陰影部分的面積都是一個(gè)弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和△AOB的面積計(jì)算出來(lái)，就可以得到弓形AmB的面積。

當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖1所示，當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示，

當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示，

例：如圖所示，⊙O的半徑為2，∠ABC＝45°，則圖中陰影部分的面積是（）（結(jié)果用表示）

分析：由圖可知由圓周角定理可知∠ABC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以

，

所以

注意：（1）圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。圓周長(zhǎng)弧長(zhǎng)圓面積扇形面積

∠AOC，所以∠AOC＝

公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積知識(shí)點(diǎn)4、圓錐的側(cè)面積

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2

，圓錐的側(cè)面積

，圓錐的全面積

說(shuō)明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。

（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)5、圓柱的側(cè)面積

圓柱的側(cè)面積展開(kāi)圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長(zhǎng)，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積

，圓柱的全面積

知識(shí)小結(jié)：

圓錐與圓柱的比較名稱圓錐

圓柱

圖形圖形的形成過(guò)程圖形的組成側(cè)面展開(kāi)圖的特征面積計(jì)算方法

由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如Rt△SOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面扇形由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面矩形第二十五章概率初步

25.1隨機(jī)事件與概率

1．隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

具有下列三個(gè)特性的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：

(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；

(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但事先知道每次試驗(yàn)所有可能的結(jié)果；(3)每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．

第二十六章二次函數(shù)

1、定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。2、二次函數(shù)yax2的性質(zhì)：

（1）拋物線yax2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸；（2）函數(shù)yax2的圖像與a的符號(hào)關(guān)系：

①當(dāng)a0時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②當(dāng)a0時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)。

2（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax（a0）。（P21-12）

3、二次函數(shù)yaxbxc的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線。4、二次函數(shù)yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，

222b4acb2，k其中h。2a4a5、二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc。

6、拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)。

222

①a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向下；a相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同。

②平行于y軸（或重合）的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0。（P23-9,10）

7、頂點(diǎn)決定拋物線的位置。幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同。8、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

b4acb2b4acb2（，）（1）公式法：yaxbxcax，∴頂點(diǎn)是，2a4a2a4ab對(duì)稱軸是直線x。（P26-9）

2a2（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱軸是直線xh。

22（3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。

注意：用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失。題11：拋物線y＝x2＋6x＋4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(3，-5)B．(-3，-5)C．(3，5)D．(-3，5)9、拋物線yax2bxc中，a,b,c的作用（P29-例2,1,10）（1）a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與yax2中的a完全一樣。

（2）b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置。由于拋物線yax2bxc的對(duì)稱軸是直線。

，故：①b0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；②0（即a、b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y2aa

b軸左側(cè)；③0（即a、b異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)。

a（3）c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點(diǎn)的位置。

x當(dāng)x0時(shí)，yc，∴拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c）：①c0，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負(fù)半軸。以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則10、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開(kāi)口方向b0。ayax2yax2k對(duì)稱軸x0（y軸）頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)yaxh2yaxhk2當(dāng)a0時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)a0時(shí)開(kāi)口向下x0（y軸）xhxhyaxbxc2bx2ab4acb2，()2a4a

11、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16）（1）一般式：yaxbxc。已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式。（2）頂點(diǎn)式：yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式。

22（3）交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：yaxx1xx2。

題12：已知關(guān)于x的一元二次方程x-2(m-1)x＋(m-1)＝0，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，且x1＋x2＝4．求m的值。

2222

x25x632題13：先化簡(jiǎn)，再求值：11，其中x＝32x33x3xx1

題14：在平面直角坐標(biāo)系中，B(3＋1，0)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且∠AOB＝60°，∠ABO＝45°。(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)求過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線解析式；

(3)動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿OA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A止，①若△POB的面積為S，寫(xiě)出S與時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系；②是否存在t，使△POB的外心在x軸上，若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出t的值。

圖4

（6）拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：

若拋物線yax2bxc與x軸兩交點(diǎn)為Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程

ax2bxc0的兩個(gè)根，故：

bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2

aaaa2

7.特殊值的形式

①當(dāng)x=１時(shí)y=a+b+c②當(dāng)x=-1時(shí)y=a-b+c③當(dāng)x=2時(shí)y=4a+2b+c④當(dāng)x=-2時(shí)y=4a-2b+c

26．1用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程

1.如果拋物線yax2bxc與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)的值是0，因此xx0就是方程ax2bxc0的一個(gè)根。

2.二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)

根。

26．2實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)

在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時(shí)間最少、效率最高等問(wèn)題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。

第二十七章相似

27．1圖形的相似

概述

如果兩個(gè)圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個(gè)圖形相似。判定

如果兩個(gè)多邊形滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似。相似比

相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形全等。性質(zhì)

相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比。

相似多邊形的面積比等于相似比的平方。

27．2相似三角形

判定

1.兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等2.兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且?jiàn)A角相等3.三邊對(duì)應(yīng)成比例

4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。例題

∵∠A=∠A";∠B=∠B"

∴△ABC∽△A"B"C"

性質(zhì)

1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。

2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方

27．3位似

如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。

性質(zhì)

位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。

位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行或共線。位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。

位似圖形的中心可以在任意的一點(diǎn)，不過(guò)位似圖形也會(huì)隨著位似中心的位變而位變。根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對(duì)稱。注意

1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；

2、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；

3、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；4、位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似；

5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。

第二十八章銳角三角函數(shù)

28．1銳角三角函數(shù)

銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊；余切（cot）等于鄰邊比對(duì)邊

正切與余切互為倒數(shù)互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系。

sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.同角三角函數(shù)間的關(guān)系

平方關(guān)系：tanα=sinα/cosα，，sin2α+cos2α=1積的關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系：tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對(duì)邊比鄰邊,余切等于鄰邊比對(duì)邊三角函數(shù)值

（1）特殊角三角函數(shù)值

（2）0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。

（3）④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。（i）銳角三角函數(shù)值都是正值

（ii）當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，

正弦值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減�。┯嘞抑惦S著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅┱�切值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減�。┯嗲兄惦S著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅�（iii）當(dāng)角度在0°≤α≤90°間變化時(shí)，0≤sinα≤1,1≥cosα≥0,

當(dāng)角度在0°0.特殊的三角函數(shù)值

28．2解直角三角形

勾股定理，只適用于直角三角形（外國(guó)叫“畢達(dá)哥拉斯定理”）

a^2+b^2=c^2,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。

勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。

常見(jiàn)的勾股弦數(shù)有：3，4，5；6，8，10；等等.

直角三角形的特征

⑴直角三角形兩個(gè)銳角互余；

⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

⑶直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；

⑷勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：

222

在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則a+b=c；

⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，

222

則這個(gè)三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a+b=c，則∠C＝90°；

222

A⑹射影定理：AC=ADAB,BC=BDAB,CD=DADB．

銳角三角函數(shù)的定義：

c如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

b∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

ADCBaba則sinA=,cosA=,tanA=,

ccb

解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）

222

⑴三邊之間的關(guān)系：a+b=c．

⑵兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°．．⑶邊角之間的關(guān)系：sinA=

CaB

A的鄰邊bA的對(duì)邊a＝．＝,cosA=

斜邊c斜邊ctanA=

A的對(duì)邊aA的鄰邊b＝,cotA=＝．

A的鄰邊bA的對(duì)邊a⑷解直角三角形中常見(jiàn)類型：

①已知一邊一銳角．②已知兩邊．

③解直角三角形的應(yīng)用．

1題6：計(jì)算：21213+

0cot45cos60tan60

cos30題7：小紅的運(yùn)動(dòng)服被一個(gè)鐵釘劃破一個(gè)呈直角三角形的洞，其中兩邊分別為1cm和2cm，若用同色形布將此洞全部遮蓋，那么這個(gè)圓的直徑最小應(yīng)等于()。

A．2cm

B．3cmC．2cm或3cm

D．2cm或5cm

題8：長(zhǎng)為12cm的鐵絲，圍成邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)的直角三角形，則斜邊上的中線為_(kāi)_______cm題9：如圖2，河對(duì)岸有鐵塔AB．在C處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，向塔前進(jìn)14米到達(dá)D，在D處測(cè)得A的仰角為45°，求鐵塔AB的高。

圖2

題10：已知：四邊形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，AB＝2、CD＝1、∠A＝60°，求：BC。

第二十九章投影與視圖

29．1投影

一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影（projection），照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。

有時(shí)光線是一組互相平行的射線，例如太陽(yáng)光或探照燈光的一束光中的光線。由平行光線形成的投影是平行投影（parallelprojection).

由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源發(fā)出的光線）形成的投影叫做中心投影（centerprojection)。投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。投影線平行于投影面產(chǎn)生的投影叫做平行投影。

物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)。

29．2三視圖

三視圖是觀測(cè)者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形。

將人的視線規(guī)定為平行投影線，然后正對(duì)著物體看過(guò)去，將所見(jiàn)物體的輪廓用正投影法繪制出來(lái)該圖形稱為視圖。一個(gè)物體有六個(gè)視圖：從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖能反映物體的前面形狀，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖能反映物體的上面形狀，從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖能反映物體的左面形狀，

還有其它三個(gè)視圖不是很常用。三視圖就是主視圖、俯視圖、左視圖的總稱。

特點(diǎn)：一個(gè)視圖只能反映物體的一個(gè)方位的形狀，不能完整反映物體的結(jié)構(gòu)形狀。三視圖是從三個(gè)不同方向?qū)ν�一個(gè)物體進(jìn)行投射的結(jié)果，另外還有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達(dá)物體的結(jié)構(gòu)。主視、俯視長(zhǎng)對(duì)正

物體的投影

主視、左視高平齊左視、俯視寬相等

在許多情況下，只用一個(gè)投影不加任何注解，是不能完整清晰地表達(dá)和確定形體的形狀和結(jié)構(gòu)的。如圖所示，三個(gè)形體在同一個(gè)方向的投影完全相同，但三個(gè)形體的空間結(jié)構(gòu)卻不相同。可見(jiàn)只用一個(gè)方向的投影來(lái)表達(dá)形體形狀是不行的。一般必須將形體向幾個(gè)方向投影，才能完整清晰地表達(dá)出形體的形狀和結(jié)構(gòu)。

一個(gè)視圖只能反映物體的一個(gè)方位的形狀，不能完整反映物體的結(jié)構(gòu)形狀。三視圖是從三個(gè)不同方向?qū)ν�一個(gè)物體進(jìn)行投射的結(jié)果，另外還有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達(dá)物體的結(jié)構(gòu)。畫(huà)法：根據(jù)各形體的投影規(guī)律，逐個(gè)畫(huà)出形體的三視圖。畫(huà)形體的順序：一般先實(shí)（實(shí)形體）后空（挖去的形體）；先大（大形體）后小（小形體）；先畫(huà)輪廓，后畫(huà)細(xì)節(jié)。畫(huà)每個(gè)形體時(shí)，要三個(gè)視圖聯(lián)系起來(lái)畫(huà)，并從反映形體特征的視圖畫(huà)起，再按投影規(guī)律畫(huà)出其他兩個(gè)視圖。對(duì)稱圖形、半圓和大于半圓的圓弧要畫(huà)出對(duì)稱中心線，回轉(zhuǎn)體一定要畫(huà)出軸線。對(duì)稱中心線和軸線用細(xì)點(diǎn)劃線畫(huà)出。

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