高中數(shù)學(xué)各種公式總結(jié)

高中數(shù)學(xué)公式定理記憶口訣

《集合與函數(shù)》

內(nèi)容子交并補(bǔ)集，還有冪指對(duì)函數(shù)。性質(zhì)奇偶與增減，觀察圖象最明顯。復(fù)合函數(shù)式出現(xiàn)，性質(zhì)乘法法則辨，若要詳細(xì)證明它，還須將那定義抓。指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非１的正數(shù)，１兩邊增減變故。函數(shù)定義域好求。分母不能等于０，偶次方根須非負(fù)，零和負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)；正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平；其余函數(shù)實(shí)數(shù)集，多種情況求交集。兩個(gè)互為反函數(shù)，單調(diào)性質(zhì)都相同；圖象互為軸對(duì)稱，Ｙ＝Ｘ是對(duì)稱軸；求解非常有規(guī)律，反解換元定義域；反函數(shù)的定義域，原來(lái)函數(shù)的值域。冪函數(shù)性質(zhì)易記，指數(shù)化既約分?jǐn)?shù)；函數(shù)性質(zhì)看指數(shù)，奇母奇子奇函數(shù)，奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù)；圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負(fù)。

《三角函數(shù)》

三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號(hào)坐標(biāo)注。函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)。同角關(guān)系很重要，化簡(jiǎn)證明都需要。正六邊形頂點(diǎn)處，從上到下弦切割；中心記上數(shù)字１，連結(jié)頂點(diǎn)三角形；向下三角平方和，倒數(shù)關(guān)系是對(duì)角，頂點(diǎn)任意一函數(shù)，等于后面兩根除。誘導(dǎo)公式就是好，負(fù)化正后大化小，變成稅角好查表，化簡(jiǎn)證明少不了。二的一半整數(shù)倍，奇數(shù)化余偶不變，將其后者視銳角，符號(hào)原來(lái)函數(shù)判。兩角和的余弦值，化為單角好求值，余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名稱。計(jì)算證明角先行，注意結(jié)構(gòu)函數(shù)名，保持基本量不變，繁難向著簡(jiǎn)易變。逆反原則作指導(dǎo)，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。萬(wàn)能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運(yùn)用加巧用；１加余弦想余弦，１減余弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為范；三角函數(shù)反函數(shù)，實(shí)質(zhì)就是求角度，先求三角函數(shù)值，再判角取值范圍；利用直角三角形，形象直觀好換名，簡(jiǎn)單三角的方程，化為最簡(jiǎn)求解集；

《不等式》

解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)指無(wú)理不等式，化為有理不等式。高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價(jià)。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大。證不等式的方法，實(shí)數(shù)性質(zhì)威力大。求差與０比大小，作商和１爭(zhēng)高下。直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負(fù)常用基本式，正面難則反證法。還有重要不等式，以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來(lái)幫助，畫圖建模構(gòu)造法。

《數(shù)列》

等差等比兩數(shù)列，通項(xiàng)公式Ｎ項(xiàng)和。兩個(gè)有限求極限，四則運(yùn)算順序換。數(shù)列問(wèn)題多變幻，方程化歸整體算。數(shù)列求和比較難，錯(cuò)位相消巧轉(zhuǎn)換，取長(zhǎng)補(bǔ)短高斯法，裂項(xiàng)求和公式算。歸納思想非常好，編個(gè)程序好思考：一算二看三聯(lián)想，猜測(cè)證明不可少。還有數(shù)學(xué)歸納法，證明步驟程序化：首先驗(yàn)證再假定，從Ｋ向著K加１，推論過(guò)程須詳盡，歸納原理來(lái)肯定。

五、《復(fù)數(shù)》

虛數(shù)單位ｉ一出，數(shù)集擴(kuò)大到復(fù)數(shù)。一個(gè)復(fù)數(shù)一對(duì)數(shù)，橫縱坐標(biāo)實(shí)虛部。對(duì)應(yīng)復(fù)平面上點(diǎn)，原點(diǎn)與它連成箭。箭桿與Ｘ軸正向，所成便是輻角度。箭桿的長(zhǎng)即是模，常將數(shù)形來(lái)結(jié)合。代數(shù)幾何三角式，相互轉(zhuǎn)化試一試。代數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)，有ｉ多項(xiàng)式運(yùn)算。ｉ的正整數(shù)次慕，四個(gè)數(shù)值周期現(xiàn)。一些重要的結(jié)論，熟記巧用得結(jié)果。虛實(shí)互化本領(lǐng)大，復(fù)數(shù)相等來(lái)轉(zhuǎn)化。利用方程思想解，注意整體代換術(shù)。幾何運(yùn)算圖上看，加法平行四邊形，減法三角法則判；乘法除法的運(yùn)算，逆向順向做旋轉(zhuǎn)，伸縮全年模長(zhǎng)短。三角形式的運(yùn)算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方開(kāi)方極方便。輻角運(yùn)算很奇特，和差是由積商得。四條性質(zhì)離不得，相等和模與共軛，兩個(gè)不會(huì)為實(shí)數(shù)，比較大小要不得。復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)很密切，須注意本質(zhì)區(qū)別。

六、《排列、組合、二項(xiàng)式定理》

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無(wú)關(guān)是組合，要求有序是排列。兩個(gè)公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應(yīng)用問(wèn)題須轉(zhuǎn)化。排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。關(guān)于二項(xiàng)式定理，中國(guó)楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式，函數(shù)賦值變換式。

七、《立體幾何》

點(diǎn)線面三位一體，柱錐臺(tái)球?yàn)榇�表。距離都從點(diǎn)出發(fā)，角度皆為線線成。垂直平行是重點(diǎn)，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對(duì)之間循環(huán)現(xiàn)。方程思想整體求，化歸意識(shí)動(dòng)割補(bǔ)。計(jì)算之前須證明，畫好移出的圖形。立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對(duì)于解題最關(guān)鍵。異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質(zhì)三垂線，解決問(wèn)題一大片。

八、《平面解析幾何》

有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數(shù)方程極坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合稱典范。笛卡爾的觀點(diǎn)對(duì)，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)，兩者一來(lái)對(duì)應(yīng)，開(kāi)創(chuàng)幾何新途徑。兩種思想相輝映，化歸思想打前陣；都說(shuō)待定系數(shù)法，實(shí)為方程組思想。三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關(guān)系判。四件工具是法寶，坐標(biāo)思想?yún)��?shù)好；平面幾何不能丟，旋轉(zhuǎn)變換復(fù)數(shù)求。解析幾何是幾何，得意忘形學(xué)不活。圖形直觀數(shù)入微，數(shù)學(xué)本是數(shù)形學(xué)。

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高中數(shù)學(xué)公式結(jié)論大全

1.,.

2..

3.

4.集合

個(gè).

的子集個(gè)數(shù)共有個(gè)；真子集有個(gè)；非空子集有個(gè)；非空的真子集有

5.二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式

;

(2)頂點(diǎn)式;當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，設(shè)為此式

(3)零點(diǎn)式；當(dāng)已知拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)為此式

4切線式：設(shè)為此式6.解連不等式

。當(dāng)已知拋物線與直線相切且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，

常有以下轉(zhuǎn)化形式

.

7.方程在內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根,等價(jià)于或。

8.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)具體如下：

在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，(1)當(dāng)a>0時(shí)，若，則；

，，.

(2)當(dāng)a(3)在給定區(qū)間

。

的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))的有解充要條件是

(4)在給定區(qū)間

。

的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))有解的充要條件是

對(duì)于參數(shù)及函數(shù)若若函數(shù)11.真值表ｐ真真假假

12.常見(jiàn)結(jié)論的否定形式原結(jié)論是都是大于小于對(duì)所有，成立對(duì)任何，不成立反設(shè)詞不是不都是不大于不小于ｑ真假真假非ｐ假假真真ｐ或ｑ真真真假有解，則

.若；若

恒成立，則有解，則

；若

；若恒成立，則有解，則

；.

無(wú)最大值或最小值的情況，可以仿此推出相應(yīng)結(jié)論

ｐ且ｑ

真假假假

原結(jié)論反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有至多有一個(gè)至少有兩個(gè)至少有個(gè)至多有個(gè)至多有個(gè)或且至少有且或個(gè)存在某，不成立存在某，成立13.四種命題的相互關(guān)系(右圖):14.充要條件記表示條件，表示結(jié)論

1充分條件：若，則是充分條件.

2必要條件：若，則是必要條件.

3充要條件：若，且，則是充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.15.函數(shù)的單調(diào)性的等價(jià)關(guān)系(1)設(shè)

那么

上是增函數(shù)；

上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)函數(shù).16.如果函數(shù)

和

在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減

和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù);如果函數(shù)

和和和

是減函數(shù).

都是增函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是增函數(shù),則復(fù)合函數(shù)

也是增函數(shù);如果函數(shù)是增函數(shù)；如果函數(shù)是增函數(shù)；如果函數(shù)

在其對(duì)應(yīng)的定義域上一個(gè)是減函數(shù)而另一個(gè)是增函數(shù),則復(fù)合函數(shù)

17．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．18.常見(jiàn)函數(shù)的圖像：

19.對(duì)于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對(duì)稱軸是;兩個(gè)函數(shù)

與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.

20.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;

若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).

21．多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

22.函數(shù)的圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.

(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

.

23.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性(1)函數(shù)

與函數(shù)

的圖象關(guān)于直線

(即軸)對(duì)稱.

(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

24.若將函數(shù)的圖象右移、上移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線

的圖象.

的圖象右移、上移個(gè)單位，得到曲線

25.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程(1)正比例函數(shù)

.

(2)指數(shù)函數(shù).

(3)對(duì)數(shù)函數(shù).

(4)冪函數(shù).

(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，，

.

26.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)1

，則

的周期T=a；

2，或,則的周期T=2a；

(3)，則的周期T=3a；

(4)

27.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

且，則的周期T=4a；

(1)，且.(2)

28.根式的性質(zhì)1

.

，且.

2當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

29．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)

..

(2).

(3).

p

注：若a＞0，p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則a表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用.

30.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式:

.

31.對(duì)數(shù)的換底公式:(,且,,且,).

對(duì)數(shù)恒等式：(,且,).

推論(,且,).

32．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則

(1);(2);(3);(4)。

33.設(shè)函數(shù)

的值域?yàn)?則

，且

。

,記.若的定義域?yàn)?則且;若

34.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣：設(shè)，，，且，則

1.2.

35.平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題負(fù)增長(zhǎng)時(shí)

如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為，則對(duì)于時(shí)間的總產(chǎn)值，有.

36.數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系：

).

(數(shù)列的前n項(xiàng)的和為

37.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；

其前n項(xiàng)和公式為：.

38.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：；

其前n項(xiàng)的和公式為39.等比差數(shù)列

:或

的通項(xiàng)公式為

.

；其前n項(xiàng)和公式為：.

40.分期付款(按揭貸款)：每次還款41．常見(jiàn)三角不等式

元(貸款元,次還清,每期利率為).

1若，則.

(2)若，則.

(3).

42.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，=，.

43.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式奇變偶不變，符號(hào)看象限

，

44.和角與差角公式

;;.

(平方正弦公式);

.

=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定,).45.二倍角公式及降冪公式

...

46.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期；函數(shù)

，

三角函數(shù)的圖像：

(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期.

五點(diǎn)法作圖列表：

0π/2π3π/22π47.正弦定理：R為外接圓的半徑.

48.余弦定理

;

53.面積定理

;.

1分別表示a、b、c邊上的高.

2.3.

49.三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，有

.

50.簡(jiǎn)單的三角方程的通解

...

特別地,有

.

..

51.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集

......

52.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么(1)結(jié)合律：λ(μ

)=(λμ);

(2)第一分配律：(λ+μ)=λ+μ;

(3)第二分配律：λ(+)=λ53.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1)=交換律;

+λ.

(2)===;

(3)+=+.54.平面向量基本定理如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得=λ

1

+λ

2．

不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．

三點(diǎn)A、B、C共線的充要條件：55．向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)=

,=

，且

，則

(

(M為任意點(diǎn))

).

56.與的數(shù)量積(或內(nèi)積)：=||||。

57.的幾何意義：

數(shù)量積等于的長(zhǎng)度||與在的方向上的投影||的乘積．

向量在向量上的投影：||58.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)=

,=

＝．

，則+=.

(2)設(shè)=,=，則-=.

(3)設(shè)A，B,則.

(4)設(shè)=，則=.

(5)設(shè)=,=，則=.

59.兩向量的夾角公式

(=,=).60.平面兩點(diǎn)間的距離公式

=(A，B).

61.向量的平行與垂直：設(shè)=,=，且，則

||=λ.

()=0.

62.線段的定比分公式：設(shè)，，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，

則

63.三角形的重心坐標(biāo)公式△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

、、.

,則△ABC的重心的坐標(biāo)是

.

64.點(diǎn)的平移公式

.

注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形65.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論1點(diǎn)

按向量=

平移后得到點(diǎn)

上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為.

.

(2)函數(shù)的圖象按向量=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.

(3)圖象按向量=.

平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為(4)曲線:按向量=平移后得到圖象,則的方程為.

(5)向量=按向量=平移后得到的向量仍然為=.

66.三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)

為

所在平面上一點(diǎn)，角

所對(duì)邊長(zhǎng)分別為

，則

1為的外心.

2為的重心.

3為的垂心.

4為的內(nèi)心.

5為的的旁心.

67.常用不等式：1

(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．

2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．

345.6

68.最值定理:已知

(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))。

都是正數(shù)，則有1若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值；

2若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值.

3已知，若則有

。

4已知，若則有

69.一元二次不等式在兩根之外；如果與

，如果與同號(hào)，則其解集

異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.

；.

70.含有絕對(duì)值的不等式：當(dāng)a>0時(shí)，有

.或

71.無(wú)理不等式

.

1.2.

3

72.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式(1)當(dāng)

時(shí),

.;

(2)當(dāng)

時(shí),

.;

73.斜率公式

、

74.直線的五種方程1點(diǎn)斜式

.

(直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為)．

2斜截式(b為直線在y軸上的截距).

3兩點(diǎn)式()(、()).

兩點(diǎn)式的推廣：無(wú)任何限制條件！

(4)截距式(分別為直線的橫、縱截距，)5一般式(其中A、B不同時(shí)為0).

直線的法向量：，方向向量：

75.兩條直線的平行和垂直(1)若

，①;

②.

(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,

①；②；

,,，

此時(shí)直線

76．四種常用直線系方程及直線系與給定的線段相交：(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的系數(shù);經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

的直線系方程為

,其中

(除直線

),其中是待定

的直線系方程為是待定的系數(shù)．

(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線,

(除)，其中λ是待定的系數(shù)．

的交點(diǎn)的直線系方程為

(3)平行直線系方程：直線

平行的直線系方程是

中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線

(

)，λ是參變量．

(4)垂直直線系方程：與直線變量．(5)直線系

與線段

(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參

相交。77.點(diǎn)到直線的距離：(點(diǎn),直線：).

78.或所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是：

若，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，表示直線的

下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下.若

，當(dāng)與

同號(hào)時(shí)，表示直線的右方的區(qū)域；當(dāng)

與

異號(hào)時(shí)，表示直線的

左方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左。79.

或

所表示的平面區(qū)域

或所表示的平面區(qū)域是兩直線和所

成的對(duì)頂角區(qū)域上下或左右兩部分。80.圓的四種方程1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

.

2圓的一般方程(＞0).

3圓的參數(shù)方程.

4圓的直徑式方程81.圓系方程(1)過(guò)點(diǎn)

,

的圓系方程是

(圓的直徑的端點(diǎn)是、).

,其中

系數(shù)．

是直線的方程,λ是待定的(2)過(guò)直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是

,λ是待定的系數(shù)．

(3)過(guò)圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是

,λ是待定的系數(shù)．

特別地，當(dāng)時(shí)，就是

表示：

①當(dāng)兩圓相交時(shí)，為公共弦所在的直線方程；②向兩圓所引切線長(zhǎng)相等的點(diǎn)的軌跡直線方程82.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)

與圓

的位置關(guān)系有三種

若

83.直線與圓的位置關(guān)系

，則點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).

直線與圓的位置關(guān)系有三種():

;;.

84.兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，

;;;;

.85.圓的切線方程及切線長(zhǎng)公式(1)已知圓

．

①若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是

.

當(dāng)圓外時(shí),表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程．求切點(diǎn)弦方

程，還可以通過(guò)連心線為直徑的圓與原圓的公共弦確定。②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為漏掉平行于y軸的切線．③斜率為k的切線方程可設(shè)為

，再利用相切條件求b，必有兩條切線．

，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要

(2)已知圓．

①過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為;

②斜率為的圓的切線方程為.

(3)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線長(zhǎng)為

86.橢圓的離心率，

過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為：.

87.橢圓

，；。88．橢圓的的內(nèi)外部

1點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.

2點(diǎn)在橢圓的外部.

89.橢圓的切線方程

(1)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是.

2過(guò)橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.

3橢圓與直線相切的條件是.

90.雙曲線的離心率，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為：，

，。

91.雙曲線的內(nèi)外部

(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.

(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.

92.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

(1若雙曲線方程為漸近線方程：.

(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.

.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為

，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上.

(4)焦點(diǎn)到漸近線的距離總是。93.雙曲線的切線方程

(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.

2過(guò)雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.

3雙曲線與直線相切的條件是.

94.拋物線的焦半徑公式

拋物線，.

(其中θ為x軸的正向繞焦點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到FC的角)

過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng).

(其中α為傾斜角)

95.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或P，其中.

95.二次函數(shù)的圖象是拋物線：1頂點(diǎn)坐標(biāo)為；2焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；

3準(zhǔn)線方程是.

97.以拋物線上的點(diǎn)為圓心，焦半徑為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切；以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓，必與準(zhǔn)線相切；以拋物線的半徑為直徑徑的圓必與過(guò)頂點(diǎn)垂直于軸的直線相切。98.拋物線的切線方程(1)拋物線

上一點(diǎn)

處的切線方程是

.

2過(guò)拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.

3拋物線

99.兩個(gè)常見(jiàn)的曲線系方程(1)過(guò)曲線

,

與直線相切的條件是.

的交點(diǎn)的曲線系方程是(為參數(shù)).

(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.

當(dāng)時(shí),表示橢圓;當(dāng)時(shí),表示雙曲線.

100.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式或

弦端點(diǎn)A

角，為直線的斜率，

，由方程消去y得到.

，,為直線的傾斜

101.圓錐曲線的兩類對(duì)稱問(wèn)題1曲線

關(guān)于點(diǎn)

成中心對(duì)稱的曲線是

.2曲線關(guān)于直線成軸對(duì)稱的曲線是

.

特別地，曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的曲線是.

曲線關(guān)于直線軸對(duì)稱的曲線是.

曲線關(guān)于直線軸對(duì)稱的曲線是.

曲線關(guān)于直線軸對(duì)稱的曲線是.

曲線關(guān)于直線軸對(duì)稱的曲線是.

102.動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)，若的軌跡為拋物線；若

，M的軌跡為雙曲線。

，M的軌跡為橢圓；若，M

103．證明直線與直線的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；2轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；3轉(zhuǎn)化為線面平行；4轉(zhuǎn)化為線面垂直；5轉(zhuǎn)化為面面平行.

104．證明直線與平面的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；2轉(zhuǎn)化為線線平行；3轉(zhuǎn)化為面面平行.

105．證明平面與平面平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；2轉(zhuǎn)化為線面平行；3轉(zhuǎn)化為線面垂直.

106．證明直線與直線的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為相交垂直；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；

3轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；4轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.107．證明直線與平面垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；2轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；3轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；4轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面。108．證明平面與平面的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量平行。

109.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律(1)加法交換律：＋=＋．

(2)加法結(jié)合律：(＋)＋=＋(＋)．

(3)數(shù)乘分配律：λ(＋)=λ＋λ．

110.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣

始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量.111.共線向量定理

對(duì)空間任意兩個(gè)向量、(≠)，∥

存在實(shí)數(shù)λ使=λ

．三點(diǎn)共線.

、

112.共面向量定理向量

共線且不共線且不共線.

與兩個(gè)不共線的向量、共面的存在實(shí)數(shù)對(duì),使．

推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使，

或?qū)�空間任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對(duì)，使.

113.對(duì)空間任一點(diǎn)對(duì)于空間任一點(diǎn)若

和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)

時(shí)，若

，則當(dāng)時(shí)，

平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；

平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面．

四點(diǎn)共面與、共面

平面ABC.

114.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量、、不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使＝x＋y＋z．

推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使

.

115.射影公式已知向量則

=和軸，是上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影

，作B點(diǎn)在上的射影

，

116.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)＝，＝則

(1)＋＝；

(2)－＝；

(3)λ＝(λ∈R)；

(4)＝；

117.設(shè)A，B，則

=

118．空間的線線平行或垂直設(shè)

，

，則

.；.

119.夾角公式

設(shè)＝，＝，則.

推論，此即三維柯西不等式.

120.正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則。

特別地，對(duì)于正四面體每?jī)蓚�(gè)面所成的角為，有。121．異面直線所成角

=

其中122.直線

為異面直線與平面所成角

所成角，分別表示異面直線的方向向量

(為平面的法向量).

123.二面角的平面角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角

或

124折疊角定理

，為平面，的法向量.

設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，AD是α的一條斜線AB在α內(nèi)的射影，且BD⊥AD，垂足為D，設(shè)AB與α(AD)所成的角為

，AD與AC所成的角為

125.空間兩點(diǎn)間的距離公式

，AB與AC所成的角為．則

.

若A126.點(diǎn)

，B到直線距離

，則=.

(點(diǎn)

127.異面直線間的距離

在直線上，為直線的方向向量，=).(

128.點(diǎn)

是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).

到平面的距離

為平面的法向量，

129.異面直線上兩點(diǎn)距離公式

.

，是的一條斜線段.

..

(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段

,,).

的長(zhǎng)度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，

130.三個(gè)向量和的平方公式

131．作截面的依據(jù)

三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.132．棱錐的平行截面的性質(zhì)

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方；相應(yīng)小棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的立方比；相應(yīng)小棱錐的的側(cè)面積與原棱錐的的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比．

133.球的半徑是R，則其體積,其表面積．134.球的組合體

(1)球與長(zhǎng)方體的組合體:長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng),正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng),正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

(3)球與正四面體的組合體:棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為(正四面體高的),

外接球的半徑為(正四面體高的).

135．柱體、錐體的體積

是柱體的底面積、是柱體的高.

是錐體的底面積、是錐體的高.

136.分類計(jì)數(shù)原理加法原理：.

137.分步計(jì)數(shù)原理乘法原理：.

138.排列數(shù)公式：==.(，∈N*，且)．規(guī)定.

139.排列恒等式:(1;2;

3;4;5.

(6).

140.組合數(shù)公式：===(∈N*，，且).

141.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):(1)=;(2)+=.規(guī)定.142.組合恒等式

1;2;

3;4=;

5.

(6).

(7).

(8).

(9).

(10).

143.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系:.

個(gè)元素的排列

144．單條件排列以下各條的大前提是從個(gè)元素中取1“在位”與“不在位”①某特元必在某位有

種；②某特元不在某位有

補(bǔ)集思想著眼位置

著眼元素種.

2緊貼與插空即相鄰與不相鄰①定位緊貼：

個(gè)元在固定位的排列有

種.

②浮動(dòng)緊貼：個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有注：此類問(wèn)題常用捆綁法；

種.③插空：兩組元素分別有k、h個(gè)排列數(shù)有

種.

，把它們合在一起來(lái)作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有

3兩組元素各相同的插空

個(gè)大球個(gè)小球排成一列，小球必分開(kāi)，問(wèn)有多少種排法？

當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，有種排法.

4兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為145．分配問(wèn)題

1(平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的

個(gè)物件等分給

.

個(gè)人，各得件，其分配方法數(shù)共有

.

2(平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的

個(gè)物體等分為無(wú)記號(hào)或無(wú)順序的

堆，其分配方法數(shù)共有

.

3(非平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的，

，，

件，且

，

，，

這

個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到

個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有

.

4(非完全平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的得到

，

，，

件，且

，

，，

這

個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別

個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，則其分配方法數(shù)

有.

5(非平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，，件無(wú)記號(hào)的堆，

且，，，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.6(非完全平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，，件無(wú)記號(hào)

的堆，且，，，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有.

7(限定分組有歸屬問(wèn)題)將相異的被分完，如果指定甲得

件，乙得

件，丙得

個(gè)物體分給甲、乙、丙，等件，時(shí)，則無(wú)論

，

，，

等

個(gè)人，物體必須個(gè)數(shù)是否全相

異或不全相異其分配方法數(shù)恒有

.

146．“錯(cuò)位問(wèn)題”

2封信與2個(gè)信封全部錯(cuò)位排列數(shù)：1；3封信與3個(gè)信封全部錯(cuò)位排列數(shù)：2；4封信與4個(gè)信封全部錯(cuò)位排列數(shù)：9；5封信與5個(gè)信封全部錯(cuò)位排列數(shù)：44；一般記著上面的就夠了推廣

貝努利裝錯(cuò)箋問(wèn)題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為

.

推廣:個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有

個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為

.

147．不定方程的解的個(gè)數(shù)

(1)方程的正整數(shù)解有個(gè).(2)方程的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).

(3)方程滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).

148.二項(xiàng)式定理;

二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.

的展開(kāi)式的系數(shù)關(guān)系：

；；。

149.等可能性事件的概率：.

150.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．151.個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和：P(A1＋A2＋＋An)=P(A1)＋P(A2)＋＋P(An)．

152.獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率：P(AB)=P(A)P(B).153.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：

P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)154.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率：155.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)1

;2.

156.數(shù)學(xué)期望：157.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1

.

2若～,則.(3)若服從幾何分布,且，則.

158.方差：

159.標(biāo)準(zhǔn)差：160.方差的性質(zhì)(1)

=.；

(2若～，則.

(3)若服從幾何分布,且，則.

161.方差與期望的關(guān)系：.

162.正態(tài)分布密度函數(shù)：式中的實(shí)數(shù)μ，

，

>0是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.

163.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)：.

164.對(duì)于，取值小于x的概率：.

.

165.回歸直線方程，其中.

166.相關(guān)系數(shù)：.

|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小.167.特殊數(shù)列的極限

1.2.

3無(wú)窮等比數(shù)列()的和.

168.函數(shù)的極限定理：.

169.函數(shù)的夾逼性定理如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)x0的附近滿足：

1;2常數(shù),

則.本定理對(duì)于單側(cè)極限和的情況仍然成立.

170.幾個(gè)常用極限

1，；2，.

171.兩個(gè)重要的極限1；2(e=2.718281845).

172.函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則

若，，則

(1)；(2);(3).

173.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則

若，則

(1)；(2)；(3)

(4)(c是常數(shù)).

174.在處的導(dǎo)數(shù)或變化率或微商

.

175.瞬時(shí)速度：.

176.瞬時(shí)加速度：.

177.在的導(dǎo)數(shù)：.

178.函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線.

在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是179.幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)

C為常數(shù).(2)

.(3)

.

(4).(5)；.

(6);.

180.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

1.2.3.

181.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)合函數(shù)

在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，且

，函數(shù)在點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù)

，或?qū)懽?/p>.

，則復(fù)

182.常用的近似計(jì)算公式當(dāng)充分小時(shí)

(1);；(2)；；

(3)；(4)；(5)為弧度；

(6)為弧度；(7)為弧度

183.判別是極大小值的方法

當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，

1如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值；

2如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.

184.復(fù)數(shù)的相等：.185.復(fù)數(shù)的�；蚪^對(duì)值==.

186.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則(1)

;

(2);

(3);

(4)

187.復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律對(duì)于任何

，有

.

交換律:.

結(jié)合律:.

分配律:.

188.復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式

，

189.向量的垂直非零復(fù)數(shù)

，

對(duì)應(yīng)的向量分別是

，.

，則

的實(shí)部為零為純虛數(shù)

(λ為非零實(shí)數(shù)).

190.實(shí)系數(shù)一元二次方程的解實(shí)系數(shù)一元二次方程，

①若,則;

②若,則;

③若，它在實(shí)數(shù)集內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根；在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根

.

191.三角形的內(nèi)角平分線性質(zhì)：在中，的平分線交邊BC于D，則

。

三角形的外角平分線也有同樣的性質(zhì)

192.數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：(1)證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確

193.有理不等式解集的端點(diǎn)，恰好就是其對(duì)應(yīng)的“零點(diǎn)”就是對(duì)應(yīng)方程的解和使分母為零的值.

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