高一數(shù)學(xué)必修2空間幾何部分公式定理總結(jié)

必修2空間幾何部分公式定理總結(jié)

河南省淮陽一高高一B段數(shù)學(xué)組張明選棱柱、棱錐、棱臺的表面積

設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，則它的表面積等于圓柱的側(cè)面積（矩形）加上底面積（兩個圓），即

.

設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，則它的表面積等于圓錐的側(cè)面積（扇形）加上底面積（圓形），即

.

設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為

，，母線長為，則它的表面積等上、下底面的面

積（大、小圓）加上側(cè)面的面積（扇環(huán)），即

.

柱、錐、臺的體積公式

柱體體積公式為：

，（為底面積，為高）

錐體體積公式為：，（為底面積，為高）

臺體體積公式為：（

球的體積和表面積

球的體積公式

，分別為上、下底面面積，為高）

球的表面積公式

其中，

為球的半徑.顯然，球的體積和表面積的大小只與半徑

有關(guān).

公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面.推論1經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個平面.推論2經(jīng)過兩條相交的直線有且只有一個平面.推論3經(jīng)過兩條平行的直線有且只有一個平面.

公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

公理4(平行公理)平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.

空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：

共面直線：相交直線（在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)）；平行直線（在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)）；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)且沒有公共點(diǎn).

空間中直線與平面位置關(guān)系有且只有三種：直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點(diǎn)

直線與平面相交有且只有一個公共點(diǎn)直線與平面平行沒有公共點(diǎn)

直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外.

兩個平面的位置關(guān)系只有兩種：兩個平面平行沒有公共點(diǎn)兩個平面相交有一條公共直線異面直線所成的角

已知兩條異面直線

，經(jīng)過空間任一點(diǎn)

作直線

∥，

∥，把

與

所成的

銳角(或直角)叫做異面直線兩條直線互相垂直，記作

所成的角(夾角).如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這.

異面直線的判定定理

過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.

直線與平面平行的判定定理

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.直線與平面平行的性質(zhì)定理

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線都與該直線平行.兩個平面平行的判定定理

一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.

推論：一個平面內(nèi)兩條相交的直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行.

兩個平面平行的性質(zhì)定理

如果兩個平行平面同時(shí)和第三個平面相交，那么它們的交線平行.兩個平面平行，還有如下推論：

⑴如果兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另外一個平面；⑵夾在兩個平行平面內(nèi)的所有平行線段的長度都相等；

⑶如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，那么這條直線也垂直于另一個平面.⑷如果一條直線和兩個平行平面中的一個相交，那么它和另一個也相交.直線和平面垂直的概念

如果直線與平面.叫做垂線，

內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線與平面叫垂面，它們的交點(diǎn)

叫垂足.

互相垂直，記做

直線和平面垂直的判定定理

一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.直線與平面所成的角

如圖，直線斜足；

，

和平面

相交但不垂直，

在平面

叫做平面的斜線，

和平面的交點(diǎn)

叫

叫做斜線上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影

所成的銳角，叫這條直線和平面所成的角.

直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是°角.

兩個平面垂直的判定定理

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面.

在二面角于棱的射線

的棱上任取一點(diǎn)，則射線

和

，以點(diǎn)

為垂足，在半平面

和

內(nèi)分別作垂直

構(gòu)成的

叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.

判斷兩平面垂直的方法：判定定理；求出二面角的平面角為直角.三垂線定理：

平面內(nèi)的一條直線，如果和平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.如圖：在平面

內(nèi)的直線若垂直于直線

，則就一定垂直于平面

的斜線

.

直線與平面垂直的性質(zhì)定理

垂直于同一個平面的兩條直線平行.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.兩個平面垂直的性質(zhì)還有：

⑴如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過一個平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于另外一個平面的直線，必在這個平面內(nèi)；

⑵如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么這兩個平面的交線垂直于這個平面；⑶三個兩兩垂直的平面，它們的交線也兩兩垂直.

空間平行和垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

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必修2空間幾何部分公式定理總結(jié)

河南省淮陽一高高一B段數(shù)學(xué)組張明選棱柱、棱錐、棱臺的表面積

設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，則它的表面積等于圓柱的側(cè)面積（矩形）加上底面積（兩個圓），即

.

設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，則它的表面積等于圓錐的側(cè)面積（扇形）加上底面積（圓形），即

.

設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為

，，母線長為，則它的表面積等上、下底面的面

積（大、小圓）加上側(cè)面的面積（扇環(huán)），即

.

柱、錐、臺的體積公式

柱體體積公式為：

，（為底面積，為高）

錐體體積公式為：，（為底面積，為高）

臺體體積公式為：（

球的體積和表面積

球的體積公式

，分別為上、下底面面積，為高）

球的表面積公式

其中，

為球的半徑.顯然，球的體積和表面積的大小只與半徑

有關(guān).

公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面.推論1經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個平面.推論2經(jīng)過兩條相交的直線有且只有一個平面.推論3經(jīng)過兩條平行的直線有且只有一個平面.

公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

公理4(平行公理)平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.

空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：

共面直線：相交直線（在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)）；平行直線（在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)）；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)且沒有公共點(diǎn).

空間中直線與平面位置關(guān)系有且只有三種：直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點(diǎn)

直線與平面相交有且只有一個公共點(diǎn)直線與平面平行沒有公共點(diǎn)

直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外.

兩個平面的位置關(guān)系只有兩種：兩個平面平行沒有公共點(diǎn)兩個平面相交有一條公共直線異面直線所成的角

已知兩條異面直線

，經(jīng)過空間任一點(diǎn)

作直線

∥，

∥，把

與

所成的

銳角(或直角)叫做異面直線兩條直線互相垂直，記作

所成的角(夾角).如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這.

異面直線的判定定理

過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.

直線與平面平行的判定定理

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.直線與平面平行的性質(zhì)定理

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線都與該直線平行.兩個平面平行的判定定理

一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.

推論：一個平面內(nèi)兩條相交的直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行.

兩個平面平行的性質(zhì)定理

如果兩個平行平面同時(shí)和第三個平面相交，那么它們的交線平行.兩個平面平行，還有如下推論：

⑴如果兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另外一個平面；⑵夾在兩個平行平面內(nèi)的所有平行線段的長度都相等；

⑶如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，那么這條直線也垂直于另一個平面.⑷如果一條直線和兩個平行平面中的一個相交，那么它和另一個也相交.直線和平面垂直的概念

如果直線與平面.叫做垂線，

內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線與平面叫垂面，它們的交點(diǎn)

叫垂足.

互相垂直，記做

直線和平面垂直的判定定理

一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.直線與平面所成的角

如圖，直線斜足；

，

和平面

相交但不垂直，

在平面

叫做平面的斜線，

和平面的交點(diǎn)

叫

叫做斜線上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影

所成的銳角，叫這條直線和平面所成的角.

直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是°角.

兩個平面垂直的判定定理

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面.

在二面角于棱的射線

的棱上任取一點(diǎn)，則射線

和

，以點(diǎn)

為垂足，在半平面

和

內(nèi)分別作垂直

構(gòu)成的

叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.

判斷兩平面垂直的方法：判定定理；求出二面角的平面角為直角.三垂線定理：

平面內(nèi)的一條直線，如果和平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.如圖：在平面

內(nèi)的直線若垂直于直線

，則就一定垂直于平面

的斜線

.

直線與平面垂直的性質(zhì)定理

垂直于同一個平面的兩條直線平行.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.兩個平面垂直的性質(zhì)還有：

⑴如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過一個平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于另外一個平面的直線，必在這個平面內(nèi)；

⑵如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么這兩個平面的交線垂直于這個平面；⑶三個兩兩垂直的平面，它們的交線也兩兩垂直.

空間平行和垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

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