加強高等數(shù)學中的概念教學
師范學院高等數(shù)學教研部 陳志惠
摘要:為了讓大一新生盡快適應高等數(shù)學的學習,本人認為加強高等數(shù)學中的概念教學是一個起關鍵作用的環(huán)節(jié)。
對于剛邁進大學的理工科的學生來說，高等數(shù)學是首當其沖的一門重要的基礎課。很多新生一時還難以適應，常常產生各種各樣的問題。如何幫助學生度過這一“非常時期”，使之盡快適應大學的學習生活學好高等數(shù)學這門主要的基礎課？筆者認為，加強高等數(shù)學中的概念教學是一個起關鍵作用的環(huán)節(jié)。
一、正確理解數(shù)學概念是學好高等數(shù)學的前提
無論是初等數(shù)學還是高等數(shù)學總是從繁雜紛紜的客觀世界中抽象出一系列的數(shù)學概念，然后以這些概念為基礎，進行合理的判斷和推理，引出一些定理和公式，形成一個理論體系，然后把“這些符合論理的結論”應用到新的應用領域或實際問題中，因此可以說，概念是數(shù)學的基礎，概念教學應成為高等數(shù)學教學的核心與重點，它是教師教好與學生學好高等數(shù)學的關鍵。只有當教師深刻全面地理解了概念的內涵與本質之后，才能透徹地講解給出來，學生才能很好的接受，才能以此為基礎進行推理、判斷、分析等思維活動，理解數(shù)學理論體系的來龍去脈，掌握運算的技能技巧。從而獲得應用數(shù)學方法去分析問題與解決問題的能力。
在初等數(shù)學中，大多數(shù)概念都比教具體直觀，學生容易接受，再加上課時較多，進度較慢，教師由淺入深，亦步亦趨，使一般學生都不會對接受新概念感到很困難。即使有一些學生不重視概念學習只注意計算方法與技巧，但在長期與大量的練習中，由于反復接觸，潛移默化，不知不覺地對概念由知之不多過度到知之較多，逐步掌握了概念。但在學習高等數(shù)學時，情況發(fā)生了很大的改變，高等數(shù)學是研究變量的數(shù)學，常常需要用運動的觀點來討論，因此更顯得抽象、復雜。例如極限、導數(shù)、積分等概念都是初學者所不能透徹理解的，加上大學里的教學進度快，反復練習的機會少。難免會使一些新生感到不適應，概念掌握不好，以致于以概念為基礎的理論及計算方法當然也就很難學好。因此能不能用有限的時間加強概念教學就成為提高教學質量的關鍵。
二、注重概念的引入是學習概念的先導
眾所周知，數(shù)學概念都是由客觀實際或客觀規(guī)律抽象出來的。很多概念都可以在實際中找到它的“原型”。例如：從曲線切線的斜率、變速直線運動的速度的計算等問題抽象出導數(shù)概念。從求曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程等問題抽象出定積分的概念，這種方法符合學生的認識規(guī)律，學生只有透徹地理解解決這些問題的思路，才能真正地理解概念的實質及價值。因此，教師不能認為花費一定時間講解這些背景是沒有價值的、是在浪費有限的時間，因而便三言兩語草草了事或者根本不講背景，直接拿出定義，接著便是計算，一個例題接著一個例題，這是不妥當?shù)�。再者從客觀實例引進概念，也為以后應用這些概念及有關理論去解決應用問題作了一定的準備。
值得注意的是并非每一個概念都要求由實例引入，教師可靈活掌握。對于一些較易理解的概念也可以從已知的概念引出新的概念。例如：無窮小量可由極限概念中當極限值為零時來得到，連續(xù)概念也可由極限概念中極限值等于函數(shù)值來得到。而原函數(shù)的概念自然而然的可由導數(shù)的逆運算引出。這些概念對于學生來說都是不難接受的。
總之，不論是由實例抽象出概念還是由舊知識直接引出新概念，教師的主要目的應該放在使學生理解概念的形成，掌握概念的內涵上，所以所用的例子都不宜太復雜或者專業(yè)性太強，否則會造成喧賓奪主，反而影響概念的形成與引出。
三、數(shù)學概念的定義是概念屬性的體現(xiàn)
高等數(shù)學中的概念的具體內涵通常用定義的形式給出，有的概念還同時規(guī)定了所采用的符號。當教師以實際問題或學生的原有知識為基礎抽象出概念以后，就應引導學生理解定義所指出概念的本質屬性，從正面和反面等不通角度去反復領會，并利用自己的語言正確地敘述概念。
以導數(shù)的定義為例，教師應該使學生層層深入，理解以下各點：
第一、由于函數(shù) 在點 處的導數(shù)是函數(shù)增量 與自變量增量 之比當 時的極限，所以該函數(shù)必須在 處及其一個領域內有定義，否則就不可導，比如： 與 在 處就不可導。
第二、函數(shù)增量與自變量的增量有不同的表示法。因此導數(shù)定義式也有不同的表示法。如： 在 處的導數(shù)可以分別表示為 與 等。當極限不存在時此函數(shù)在該點不可導。
第三、定義同時給出了求導數(shù)的三個步驟：①求函數(shù)增量 ②求函數(shù)增量與自變量增量之比 ③求極限 ，告訴學生按照這三步就可以求出一些簡單函數(shù)的導數(shù)。
高等數(shù)學中有不少概念的定義都明確指出了計算的方法與步驟，除上述導數(shù)外，連續(xù)概念、定積分概念、級數(shù)收斂性概念等都是如此。教師在進行這類概念教學時應該花費一些力氣按定義指明的方法與步驟進行有關的計算，以加強學生對這一概念的理解。同時教師也應向學生指出按定義直接進行計算一般是很困難的，因此有必要研究其性質及別的計算法則，這樣做就可以喚起學生強烈的求知欲望。
當然高等數(shù)學中并非所有的概念都是如此，有些概念的定義只是明確了概念的內涵，而并沒有給出計算方法與步驟，如極限的精確定義、原函數(shù)與不定積分等等。教師在這類概念的教學中，為了加深學生的理解，一般都要按定義作一些驗證工作，如：證明 ，證明 和 都是 的原函數(shù)。
學生在學習高等數(shù)學時往往有一個不良習慣，輕概念重計算，以為學習高等數(shù)學無非就是要會計算、會做題。常常有這樣的事情發(fā)生，有的學生學完了高等數(shù)學也知道 卻說不清楚符號 所表示的確切含義，更有甚者學完了高等數(shù)學卻不知道微商是什么。因此從始至終抓緊概念的教學是很重要的，這不僅要熟記定義的條文、定理的條件和結論，更重要的是透徹地掌握其本質。
四、在概念系統(tǒng)中學習概念
教師經常會遇到這樣的情況，有的學生學習一個概念時，以為明白了定義的本質，但是若把這個概念與其它有關概念放在一起時，就糊涂了，比如極限、連續(xù)、可導、可微之間的關系，教師都會給學生講清楚，但學生一碰到下面的問題就舉棋不定，不知道從何寫起:
設
1) 取何值時， 在 處連續(xù)？
2) 取何值時， 在 處可導？
3) 取何值時， 的導數(shù)在 處連續(xù)？
為什么會出現(xiàn)這種情況呢？一方面是學生還沒有真正領會概念的本質，有的學生當時弄清楚了但缺乏鞏固措施，不久就忘了。另一方面是學生習慣孤立地學習概念，不善于把相關概念相比教，找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。因此，在進行概念思維時就會出現(xiàn)“斷線”現(xiàn)象，無從下筆，或者寫不清楚。要解決這個問題，教師必須在概念系統(tǒng)中教會概念，學生必須在概念系統(tǒng)中學會概念。數(shù)學是由概念與命題等內容按一定的邏輯關系組成的知識體系。概念與概念之間總有一定的內在聯(lián)系，特別是一些相近的概念，其聯(lián)系更為突出，學生最易混淆。因此，教師在進行概念教學時要不時的將這些概念與前面所學過的相近概念相比教，找出它們的聯(lián)系與區(qū)別，前面說的極限、連續(xù)、導數(shù)、可微是如此，在此之后的四個中值定理更是如此。
總之，把概念放在概念系統(tǒng)中教學是教師應當把握的教學規(guī)律。教師每講一個新概念，首先必須對這一概念的地位、作用以及與其它概念的聯(lián)系做到心中有數(shù)，使學生對已學過的概念能做到融會貫通，同時，又為今后要學的新概念埋下“伏”筆。
最后要說明的是，對于工科高等數(shù)學中的概念的教學，教師必須掌握分寸。工科數(shù)學畢竟不同于數(shù)學專業(yè)的數(shù)學，應該著重于應用，而不宜在純數(shù)學理論推導上花費過多的精力，另外專業(yè)之間也應該有所區(qū)別，這些都是我們從事工科數(shù)學教學工作的教師應該注意的。
作者簡介：陳志惠，1972年5月出生，講師，學士，主要從事數(shù)學教學與研究。
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