余弦定理的證明方法
在△abc中,ab=c、bc=a、ca=b
則c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
下面在銳角△中證明第一個等式,在鈍角△中證明以此類推。
過a作ad⊥bc于d,則bd+cd=a
由勾股定理得:
c^2=(ad)^2+(bd)^2,(ad)^2=b^2-(cd)^2
所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2
=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*cd
因?yàn)閏osc=cd/b
所以cd=b*cosc
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c對邊為c,∠b對邊為b,∠a對邊為a-->
bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知:
ac²=ad²+dc²
b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²
b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb
b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²
b²=c²+a²-2ac*cosb
所以,cosb=(c²+a²-b²)/2ac
2
如右圖,在abc中,三內(nèi)角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點(diǎn),ac所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,于是c點(diǎn)坐標(biāo)是(b,0),由三角函數(shù)的定義得b點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosa,csina).∴cb=(ccosa-b,csina).現(xiàn)將cb平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)a,則ad=cb.而|ad|=|cb|=a,∠dac=π-∠bca=π-c,根據(jù)三角函數(shù)的定義知d點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-c),asin(π-c))即d點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosc,asinc),∴ad=(-acosc,asinc)而ad=cb∴(-acosc,asinc)=(ccosa-b,csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc,同理可證asina=bsinb,∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa,平方得:a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a,即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表達(dá)式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得:
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表達(dá)式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
第二篇:正余弦定理的多種證明方法利用向量統(tǒng)一正、余弦定理的證明
正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具,關(guān)于這兩個定理有好幾種不同的證明方法,[1]人教版中等職業(yè)教育國家規(guī)劃教材《數(shù)學(xué)》(提高版)是用向量的數(shù)量積(內(nèi)積)給出證明的,如是在證明正弦定理時用到:作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積,這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特,不易被初學(xué)者接受。本文通過三角函數(shù)的定義,利用向量相等和向量的模統(tǒng)一正、余弦定理的證明,方法較為簡單。從本文的證明中又一次顯示數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合。
定理:在△abc中,ab=c,ac=b,bc=a,則
(1)(正弦定理)==;
(2)(余弦定理)
c2=a2+b2-2abcos c,
b2=a2+c2-2accos b,
a2=b2+c2-2bccos a。
證明:建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系,則a=(0,0)、b=(c,0),又由任意角三角函數(shù)的定義可得:
c=(bcos a,bsin a),以ab、bc為鄰邊作平行四邊形abcc′,則∠bac′=π-∠b,
∴c′(acos(π-b),asin(π-b))
=c′(-acos b,asin b)。
根據(jù)向量的運(yùn)算:
=(-acos b,asin b),
=-=(bcos a-c,bsin a),
(1)由=:得
asin b=bsin a,即
=。
第 1 頁 共 2 頁
同理可得:=。
∴==。
(2)由=(b-cos a-c)2+(bsin a)2=b2+c2-2bccos a,
又||=a,
∴a2=b2+c2-2bccos a。
同理:
c2=a2+b2-2abcos c;
b2=a2+c2-2accos b。
第 2 頁 共 2 頁
第三篇:余弦定理證明過程在△abc中,設(shè)bc=a,ac=b,ab=c,試根據(jù)b,c,a來表示a。 分析:由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題,所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)造直角三角形,在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作,故作cd垂直于ab于d,那么在rt△bdc中,邊a可利用勾股定理用cd、db表示,而cd可在rt△adc中利用邊角關(guān)系表示,db可利用ab-ad轉(zhuǎn)化為ad,進(jìn)而在rt△adc內(nèi)求解。
解:過c作cd⊥ab,垂足為d,則在rt△cdb中,根據(jù)勾股定理可得: a2=cd2+bd2
∵在rt△adc中,cd2=b2-ad2
又∵bd2=(c-ad)2=c2-2c·ad+ad2
∴a2=b2-ad2+c2-2c·ad+ad2=b2+c2
-2c·ad 又∵在rt△adc中,ad=b·cosa ∴a2=b2+c2-2bccosa類似地可以證明b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc
第四篇:余弦定理及其證明余弦定理及其證明
1.三角形的正弦定理證明:
步驟1.
在銳角△abc中,設(shè)三邊為a,b,c。作ch⊥ab垂足為點(diǎn)h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到
a/sina=b/sinb
同理,在△abc中,
b/sinb=c/sinc
步驟2.
證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:
如圖,任意三角形abc,作abc的外接圓o.
作直徑bd交⊙o于d.
連接da.
因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠dab=90度
因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等,所以∠d等于∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
a/sina=bc/sind=bd=2r
類似可證其余兩個等式。
2.三角形的余弦定理證明:
平面幾何證法:
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所對的邊為c,∠b所對的邊為b,∠a所對的邊為a
則有bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c
根據(jù)勾股定理可得:
ac^2=ad^2+dc^2
b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2
b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb
b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac
3
在△abc中,ab=c、bc=a、ca=b
則c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
下面在銳角△中證明第一個等式,在鈍角△中證明以此類推。
過a作ad⊥bc于d,則bd+cd=a
由勾股定理得:
c^2=(ad)^2+(bd)^2,(ad)^2=b^2-(cd)^2
所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2
=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*cd
因?yàn)閏osc=cd/b
所以cd=b*cosc
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
題目中^2表示平方。
2
談?wù)⒂嘞叶ɡ淼亩喾N證法
聊城二中魏清泉
正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具,關(guān)于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教a(內(nèi)容來源好 范文網(wǎng):www.weilaioem.coma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表達(dá)式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得:
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表達(dá)式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
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