第一篇：余弦定理證明過程

在△abc中，設(shè)bc＝a，ac＝b，ab＝c，試根據(jù)b，c，a來表示a。�� 分析：由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rt△bdc中，邊a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用邊角關(guān)系表示，db可利用ab－ad轉(zhuǎn)化為ad，進(jìn)而在rt△aｄc內(nèi)求解。

解：過c作cd⊥ab，垂足為d，則在rt△cｄb中，根據(jù)勾股定理可得：�� a2＝cｄ2＋bｄ2��

∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2

��

又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2��

∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2

－2c·aｄ�� 又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa�� ∴a2＝b2＋c2－2bccosa�ヮ愃频乜梢宰C明b2＝a2＋c2－2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc��

第二篇：余弦定理證明過程

余弦定理證明過程

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

2

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c對(duì)邊為c，∠b對(duì)邊為b，∠a對(duì)邊為a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右圖，在abc中，三內(nèi)角a、b、c所對(duì)的邊分別是a、b、c.以a為原點(diǎn)，ac所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是c點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得b點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現(xiàn)將cb平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據(jù)三角函數(shù)的定義知d點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第三篇：余弦定理證明

余弦定理證明

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c對(duì)邊為c，∠b對(duì)邊為b，∠a對(duì)邊為a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右圖，在abc中，三內(nèi)角a、b、c所對(duì)的邊分別是a、b、c.以a為原點(diǎn)，ac所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是c點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得b點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現(xiàn)將cb平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據(jù)三角函數(shù)的定義知d點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第四篇：余弦定理的證明方法

余弦定理的證明方法

在△abc中，ab=c、bc=a、(我們一定會(huì)做的更好：www.weilaioem.coma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第五篇：余弦定理的多種證明

余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題，若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí)，則使用起來更為方便、靈活．

對(duì)于任意三角形 三邊為a,b,c 三角為a,b,c 滿足性質(zhì)

a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosa

b^2=a^2+c^2-2*a*c*cosb

c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosc

cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac

cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc

證明：

如圖：

∵a=b-c

∴a^2=(b-c)^2 （證明中前面所寫的a,b,c皆為向量，^2為平方）拆開即a^2=b^2+c^2-2bc

再拆開，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosa

同理可證其他，而下面的cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是將cosa移到右邊表示一下。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

平面幾何證法：

在任意△abc中

做ad⊥bc.

∠c所對(duì)的邊為c，∠b所對(duì)的邊為b，∠a所對(duì)的邊為a

則有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

根據(jù)勾股定理可得：

ac^2=ad^2+dc^2

b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2

b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb

b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosb

cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac

從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可以看出,

如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三

邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角一定是直

角,如果小于第三邊的平方,那么第三邊所

對(duì)的角是鈍角,如果大于第三邊,那么第三邊

所對(duì)的角是銳角.即，利用余弦定理，可以判斷三角形形狀。 同時(shí)，還可以用余弦定理求三角形邊長(zhǎng)取值范圍。

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