第一篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明

函數(shù)極限的性質(zhì)證明

x1=2,xn+1=2+1/xn,證明xn的極限存在，并求該極限

求極限我會

|xn+1-a|<|xn-a|/a

以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;

|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;

……

|x2-a|<|x1-a|/a;

向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)

2

只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。

用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，

設(shè)x(k)<4，則

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3

當(dāng)0

當(dāng)0

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0

4

用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個(gè)9

5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個(gè)忙。。。lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實(shí)質(zhì)就是計(jì)算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進(jìn)去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達(dá)法則(不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會學(xué)的)

第三題，n趨于無窮時(shí)1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第二篇：函數(shù)極限的性質(zhì)

3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

2函數(shù)極限的性質(zhì)

ⅰ. 教學(xué)目的與要求

1.理解掌握函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理并會利用這些定理證明相關(guān)命題.

2.掌握函數(shù)極限四則運(yùn)算法則、迫斂性定理,會利用其求函數(shù)極限.

ⅱ. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):

重點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì).

難點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用.

ⅲ. 講授內(nèi)容

在 1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???

f?x?；6)limf?x?。 4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0

它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)．至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)地作些修改即可.

定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的． x?x0

證設(shè)?,?都是f當(dāng)x?x0時(shí)的極限，則對任給的??0，分別存在正數(shù)

?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

f?x????? ，(1)當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

f?x????? ，(2)

取??min??1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，(1)式與(2)式同時(shí)成立，故有

????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.

定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域u0?x0?內(nèi)有界． x?x0

證設(shè)limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?u0?x0;??有 x?x0

f?x????1?f?x???1

這就證明了f在u0?x0;??內(nèi)有界．

定理3．4(局部保號性)若limf?x????0 (或?0)，則對任何正數(shù)r??（或x?x0

r???)，存在u0?x0?，使得對一切x?u0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證設(shè)??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?u0?x0;??

f?x??????r，

這就證得結(jié)論．對于??0的情形可類似地證明．

注在以后應(yīng)用局部保號性時(shí)，常取r?a．2

x?x0定理3．5(保不等式性)設(shè)limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域u0x0;?"內(nèi)x?x0??

有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0

證設(shè)limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2使x?x0x?x0

得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

????f?x?， 當(dāng)0?x?x0??2 時(shí)有

g?x?????

令??min?",?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時(shí)成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設(shè)limf?x?=limg?x?=ａ，且在某u0x0;?"內(nèi)有 x?x0x?x0????

f?x??

則limh?x???． x?x0h?x??g?x?

證按假設(shè)，對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有，2

????f?x?(7)當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

g?x?????(8)令??min?,?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式(6)、(7)、(8)同時(shí)成立， 故有

????f?x??h?x??g?x?????

由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?"?

定理3．7（四則運(yùn)算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數(shù) x?x0x?x0

f?g,f?g當(dāng)x?x0時(shí)極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x0

2）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0

又若limg?x??0，則f|g當(dāng)x?x0時(shí)極限存在，且有 x?x0

3）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0

這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給學(xué)生作為練習(xí)．

利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限．

例 1求limx??x?0?x?

解當(dāng)x?0時(shí)有

1?x?x???1， ?x??1? ?1?

?1?x?1?故由迫斂性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?

另一方面，當(dāng)x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?

綜上，我們求得lim x???1 x?0?x?

3 ?1??1??1??1?

例 2求lim?xtanx?1?

x??

解由xtanx?xsinx及 1例4所得的， cosx

sixn?si?lim

x???442?limcoxs， ?2x?4

并按四則運(yùn)算法則有

limsinx

?xtanx?1?=limx?lim

x?x??4?4x??

4limcosxx?1=?lim?x?4???1 4

例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??

解 當(dāng)x?1?0時(shí)有

?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1

故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim

例4證明lima?1?a?1? x

x?0

證任給??0 (不妨設(shè)??1)，為使

xa?1??（9）

即1???a?1??，利用對數(shù)函數(shù)loga

loga?1????x?loga?1???

于是，令x（當(dāng)a?1時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要 ??min?loga?1???,?loga?1????， 則當(dāng)0?x??時(shí)，就有(9)式成立，從而證得結(jié)論．

ⅳ 小結(jié)與提問:本節(jié)要求學(xué)生理解掌握函數(shù)極限的性質(zhì)，并利用其討論相關(guān)命題.指導(dǎo)學(xué)生對定理的應(yīng)用作總結(jié).

ⅴ 課外作業(yè): p51 2、3、5、7、8、9.

第三篇： 2函數(shù)極限的性質(zhì)

《數(shù)學(xué)分析》上冊教案第三章函數(shù)極限武漢科技學(xué)院理學(xué)院

2 函數(shù)極限的性質(zhì)

教學(xué)章節(jié)：第三章函數(shù)極限—— 2 函數(shù)極限的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì).

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等. 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算.

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用.

教學(xué)方法：講練結(jié)合.

教學(xué)過程：

引言

在 1中我們引進(jìn)了下述六種類型的函數(shù)極限：

1、limf(x)；2、limf(x)；3、limf(x)；4、limf(x);5、limf(x)；6、limf(x).

x???x???x??x?x0x?x0?x?x0?

它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以limf(x)為代表來敘述并證明這些性質(zhì).至

x?x0

于其它類型極限的性質(zhì)及其證明，只要作相應(yīng)的修改即可.

一、函數(shù)極限的性質(zhì)

性質(zhì)1（唯一性） 如果x?a

limf(x)x?alimf(x)存在，則必定唯一. 證法一設(shè)?a，x?alimf(x)?b,則

???0,??1?0,當(dāng)0?|x?a|??1時(shí)，

|f(x)?a|??,(1)

??2?0,當(dāng)0?|x?a|??2時(shí)，

|f(x)?b|??.(2)

??min??1,?2?取

因而有 ，則當(dāng)0?x?a??時(shí)（1）和（2）同時(shí)成立.

a?b?(f(x)?a)?(f(x)?b)?f(x)?a?f(x)?b?2?,(3)

由?的任意性，（3）式只有當(dāng)

a?b?0

時(shí)，即a?b時(shí)才成立.

a?b2

證法二反證,如x?a

0?x?a??

limf(x)

?a

，x?a

limf(x)?b

且a?b，取

?0?

，則???0，使當(dāng)

時(shí)，

f(x)?a??0,f(x)?b??0

,

即

a?b2

?a??0?f(x)?b??0?

a?b2

矛盾.

性質(zhì)2（局部有界性） 若limf(x)存在，則f在x0的某空心鄰域內(nèi)有界.

x?x0

limf(x)?a

??1x?x0證明取, 由 , ???0, 當(dāng)0?x?x0??時(shí), 有f(x)?a?1,

即

f(x)?a?f(x)?a?a?1

，

a?1

說明f(x)在u0(x0;?)上有界，就是一個(gè)界.

limf(x)?b

x?a

性質(zhì)3（保序性） 設(shè)，x?a

limg(x)?c

.

0?x?a??0???0

1）若b?c，則0，當(dāng)時(shí)有f(x)?g(x)；

0?x?a??0

2）若

??0?0

，當(dāng)

時(shí)有f(x)?g(x)，則b?c.（保不等式性）

證明1） 取

?0?

b?c2

即得.2）反證，由1）即得.

注若在2）的條件中, 改“f(x)?g(x)”為“f(x)?g(x)”,未必就有

a?b.以 f(x)?1?x,g(x)?1,x0?0

舉例說明.

推論（局部保號性） 如果x?a

號.

limf(x)?b

0?x?a??0???0

且b?0，則0使當(dāng)時(shí)f(x)與b同

性質(zhì)4（迫斂性） 設(shè)limf(x)?limh(x)?a，且在某u0(x0;??)內(nèi)有f(x)?g(x)?h(x)，

x?x0

x?x0

則limh(x)?a.

x?x0

證明???0, 由x?x

limh(x)?a

limf(x)?a

，??1?0，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)，

有f(x)?a??，即 a???f(x)?a??.又由

x?x0

，??2?0，使得當(dāng)0?x?x0??2時(shí) ，有h(x)?a??，

即a???h(x)?a??.

令??min(?1,?2)，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，有a???f(x)?g(x)?h(x)?a??

limg(x)?a

即g(x)?a??，故 x?x.

性質(zhì)6（四則運(yùn)算法則） 若limf(x)和limg(x)都存在，則函數(shù)f?g,fg當(dāng)x?x0時(shí)極限

x?x0

x?x0

也存在，且 1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)；2）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x).

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

又若limg(x)?0，則

x?x0

fg

當(dāng)x?x0時(shí)極限也存在，且有 3）lim

f(x)g(x)

x?x0

?

x?x0

limf(x)

x?x0

limg(x)

.

3）的證明 只要證有

x?x0

lim

1g(x)

b2

?

1b，令

?0?

b2

?0

，由

x?x0

limg(x)?b

b2

0?x?x0??1

，??1?0使得當(dāng)時(shí)，

b2

g(x)?b?

， 即

g(x)?b?g(x)?b?b??

.

g(x)?b?

b2

???0

,仍然由

x?x0

limg(x)?b

??2?0, 使得當(dāng)0?x?x0??2時(shí)，，有

?

.

0?x?x0??

取??min(?1,?2)，則當(dāng)時(shí)，有

1g(x)

?1b?

g(x)?bg(x)b

?

2b

g(x)?b?

2b

?

b2

???

即

x?x0

lim

1g(x)

?

1b.

二、利用函數(shù)極限的性質(zhì)計(jì)算某些函數(shù)的極限

利用“迫斂性”和“四則運(yùn)算”，可以從一些“簡單函數(shù)極限”出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)的極限.已證明過以下幾個(gè)極限：

limc?c,limx?x0,limsinx?sinx0,limcosx?cosx0;

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

lim

1x

x??

?0,limarctgx??

x???

?

.（ 注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值 ）

這些極限可作為公式用.

在計(jì)算一些簡單極限時(shí),利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì), 把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值, 即計(jì)算得所求極限. 例1 求limx??.

x?0

?x?

?1?

例2 求lim?

(xtgx?1).

x?

例3 求lim(

1x??1

x?1

?

3x3

?1

).

例4lim

5x?3x?73x3

?2x2

?5

.

x??

注關(guān)于x的有理分式當(dāng)x??時(shí)的極限.參閱[4]p37. 7

例5lim

x?1n

x

10利用公式x?1

?1

.[a?1?(a?1)(a

n?1

?a

n?2

???a?1)

].

例6lim

x?2x?2?1x?1

x2

?x?2

.

例7lim

2x?

3x?1

x???

3x?5

.

例8lim

xsin(2x?x?10)

3?2x

.

x??

例9lim

?x?1.

x?0

?x?1

例10已知 lim

x?16?a參閱[4]p69.

x?3

x?3

?b.求 a和b.作業(yè)教材p51—521 -7，8(1)(2)(4)(5)； 2

補(bǔ)充題已知lim

x?ax?b7.求a和b.(a??

16x?2

x2?4

?b?3

,b?

203

.)

例11lim??2?x2?ax?b?

??0.x????1?x

?求a和b. ?

2解法一

2?x

?ax?ax

1?x

?ax?

2?x1?x

?

?(a?1)x2

?ax?2

1?x

?b,(x??).

?a?1?0,a??1;又 ?a?b,?b?1.

解法二2?x2

1?x?ax?b?x ??? 2?x2?a?b?

?，?x?x

2x? 由x??且原式極限存在(本文 來自公文素材庫www.weilaioem.com)， ??

2?x2x?x

?a?b

x?0，即 a?lim??2?x2?b?

???1,b?lim??2?x2?x???1x???. ?x?x2x??x????1?x??

第四篇：2 函數(shù)極限的性質(zhì)

2 函數(shù)極限的性質(zhì)

在 1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1）；2）；3）；

4）；5）；6）。

它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4）種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)。

至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若極限

證設(shè)與、都是當(dāng) 存在，則此極限是唯一的。 時(shí)的極限，則對任給的，

分別存在正數(shù)，使得當(dāng)

時(shí)有

（1）

當(dāng)

時(shí)有

（2） 取，則當(dāng)時(shí)，（1）式與 (2) 式同時(shí)成立，故有

由的任意性得。這就證明了極限是唯一的。

定理3.3（局部有界性） 若極限

內(nèi)有界。存在，則在某空心鄰域

證設(shè)

。取，則存在，使得對一切

。

有

這就證明了在內(nèi)有界。

定理3.4（局部保號性）若（或

），存在，使得對一切

有

（或），則對任何正數(shù)

（或

證 設(shè)

有

，這就證得結(jié)論。對于，對任何

，取

，則存在

）。

，使得對一切

的情形可類似地證明。

定理3.5（保不等式性）設(shè)

內(nèi)有

，則

與

都存在，且在某鄰域

。（3）

證 設(shè)，使得當(dāng)

，時(shí)

，則對任給的，分別存在正數(shù)與

（4）

當(dāng)

時(shí)有

（5）

令

，則當(dāng)

時(shí)，不等式

與（4）,

（5）式同時(shí)成立，于是

有式成立。

，從而

。由的任意性得

，即（3）

定理3.6（迫斂性）設(shè)==，且在某內(nèi)有

（6）

則

。

證 按假設(shè)，

對任給的

，分別存在正數(shù)

與

，使得當(dāng)

時(shí)

（7）

當(dāng)

時(shí)有

（8）

令

式同時(shí)成立，故有

，則當(dāng)

時(shí)，不等式（6）、（7）、（8）

，由此得

，所以。

定理3.7（四則運(yùn)算法則）若極限，

當(dāng)

與

都存在，則函數(shù)

時(shí)極限也存在，且

1）

=

2）

=

又若，則當(dāng)時(shí)極限也存在，且有

）

這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給讀者作為練習(xí)。 利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限。

例1求。

解 由第一章 3習(xí)題13，當(dāng) 時(shí)有

，而

，故由迫斂性得

。

另一方面，當(dāng)時(shí)有

，故由迫斂性又可得

。

綜上，我們求得

。

例2 求。

解由

及 1例4所得的

并按四則運(yùn)算法則有

=

例3 求

解 當(dāng) 時(shí)有

。

故所求極限等于

。

例4證明證任給

（不妨設(shè)

），為使

（9）

即

，利用對數(shù)函數(shù)

（當(dāng)

時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要

于是，令

成立，從而證得結(jié)論。

，則當(dāng)時(shí)，就有（9）式

第五篇：函數(shù)極限的證明

函數(shù)極限的證明

(一)時(shí)函數(shù)的極限：

以時(shí)和為例引入.

介紹符號:的意義,的直觀意義.

定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.

例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證……

(二)時(shí)函數(shù)的極限：

由考慮時(shí)的極限引入.

定義函數(shù)極限的“”定義.

幾何意義.

用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.

例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限:

1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.

例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

th類似有:例10證明:極限不存在.

例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

= 2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí))

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.

二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有)

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.

5.迫斂性:

6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個(gè)極限：

(注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值)

這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.

利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.

例1(利用極限和)

例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.

例4

例5例6例7

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