第一篇：分析法證明不等式

分析法證明不等式

已知非零向量a,b,a⊥b，求證|a|+|b|/|a+b|<=√2

【1】

∵a⊥b

∴ab=0

又由題設(shè)條件可知，

a+b≠0(向量)

∴|a+b|≠0.

具體的，即是|a+b|>0

【2】

顯然，由|a+b|>0可知

原不等式等價于不等式：

|a|+|b|≤(√2)|a+b|

該不等式等價于不等式：

(|a|+|b|)²≤².

整理即是：

a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²)

【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²

又ab=0,故接下來就有】】

a²+b²≤2a²+2b²

0≤a²+b²

∵a，b是非零向量，

∴|a|≠0,且|b|≠0.

∴a²+b²>0.

推上去，可知原不等式成立。

作為數(shù)學(xué)題型的不等式證明問題和作為數(shù)學(xué)證明方法的分析法，兩者皆為中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)難點。本文僅就用分析法證明不等式這一問題稍作探討。

注:“本文中所涉及到的圖表、公式注解等形式請以pdf格式閱讀原文。”

就是在其兩邊同時除以根號a+根號b，就可以了。

下面我給你介紹一些解不等式的方法

首先要牢記一些我們常見的不等式。比如均值不等式，柯西不等式，還有琴深不等式(當(dāng)然這些是翻譯的問題)

然后要學(xué)會用一些函數(shù)的方法，這是解不等式最常見的方法。分析法，綜合法，做減法，假設(shè)法等等這些事容易的。

在考試的時候方法最多的是用函數(shù)的方法做，關(guān)鍵是找到函數(shù)的定義域，還有求出它的導(dǎo)函數(shù)。找到他的最小值，最大值。

在結(jié)合要求的等等

一句話要靈活的用我們學(xué)到的知識解決問題。

還有一種方法就是數(shù)學(xué)證明題的最會想到的。就是歸納法

這種方法最好，三部曲。你最好把它掌握好。

若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是?

解：ab-3=a+b>=2根號ab

令t=根號ab,

t^2-2t-3>=0

t>=3ort<=-1(舍)

即，根號ab>=3，

故，ab>=9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3是取等號)。

第二篇：分析法證明不等式08

分析法證明不等式

教學(xué)目標(biāo):

1．掌握分析法證明不等式；

2．理解分析法實質(zhì)——執(zhí)果索因；

3．提高證明不等式證法靈活性.

教學(xué)重點:

分析法

教學(xué)難點:

分析法實質(zhì)的理解

教學(xué)過程:

一．分析法：

證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法.

例1求證3?7?25 證明：因為?和2都是正數(shù)，所以為了證明??2 只需證明(3?7)2?(2)2

展開得10?221?20

即221?10,21?25

因為21?25成立，所以

(3?7)2?(2)2成立 即證明了??2

注意：①分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與

綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法.綜合法是“由因?qū)Ч��?/p>

②分析法論證“若a則b”這個命題的模式是：為了證明命題b為真，這只需要證明命題b1為真，從而有??

這只需要證明命題b2為真，從而又有??

這只需要證明命題a為真

而已知a為真，故b必真

例2證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管截面的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.

分析：當(dāng)水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，

ll設(shè)截面的周長為l，則周長為l的圓的半徑為，截面積為t1()2；周2?2?

ll長為l的正方形邊長為，截面積為()2.所以本題只需證明44

ll?()2?()2. 2?(本文來源公文素材庫www.weilaioem.com均是正數(shù)，且a< b，求證：

ab?≥2 baa?ma> b+mb

例4、已知a 、b、c?r，求證：a?b?c≥ab?bc?ca

例5、已知a 、b、c、d?r，求證： a?b

例6、已知a 、b、c是正數(shù)，求證：a?b?c≥3abc并指出等號成立的條件

例7、已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且abc?1。求證：a?b?c?

五、課堂練習(xí)：

（1）xy?0，求證：xy?333222?22??c2?d2?≥?ac?bd? 2111?? abc1xy???4xyyx

28江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)作業(yè)（理）

班級姓名學(xué)號_______

1、設(shè)x?r下列式子正確的有

（1）、xg(l1)2xg)(l?

（3）、2?（2）、x2?12x?11（4）、?1x??2 x2?1x

a2?b2aba?b22、若a,b?r，且ab?0，則在①?ab②??2③ab??? 2ba2

a?b2a2?b2

④?這四個式子中，恒成立的個數(shù)是??22

3、已知a,b,c均大于1，且logac?logbc?4，則下列式子正確的是

（1）、ac?b（2）、ab?c（3）、bc?a（4）、ab?c

4、設(shè)m?xcos??ysin??n?xsin??ycos?，比較大小：mn____xy

5、若x?3y-1?0，則2?8的最小值為___________

6、比較大�。簂g9?lg11______1

三、簡答題：

7、已知a,b,c?r。求證：

8、已知a,b?r且a?b。求證：

?2222xy?bccaab???a?b?c abcab?ba?a?b

9、已知a、b、c是互不相等的實數(shù)。求證：

a4?b4?c4?a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)

10、已知a,b,c?r，且abc?1。求證：(1?a)(1?b)(1?c)?8

11、已知a,b,c?r。求證：

12、已知a、b、c均是正數(shù)，且a?b?c?1。求證：（1?a)(1-b)(1-c）?8abc

13、已知a、b、c是不全相等的正數(shù)。

求證： a(b?c)?b(c?a)?c(b?a)?6abc

222222??b?c-ac?a-ba?b-c???3 abc

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