第一篇：海倫公式的證明

與海倫在他的著作"metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對(duì)角分別為a、b、c，則余弦定理為cosc = (a^2+b^2-c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2 c)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]設(shè)p=(a+b+c)/2則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面積s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

第二篇：海倫公式的幾種證明與推廣

海倫公式的幾種證明與推廣

古鎮(zhèn)高級(jí)中學(xué)付增德

高中數(shù)學(xué)必修⑤第一章在閱讀與思考欄目向?qū)W生介紹一個(gè)非常重要且優(yōu)美的公式——海倫公式〔heron"s formula〕：假設(shè)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a,b,c,，三角形的面積s可由以下公式求得：

s?

(p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p?

12

(a?b?c)，稱為半周長(zhǎng)。

圖1

c

海倫公式又譯希倫公式，傳說是古代的敘拉古國(guó)王希倫二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長(zhǎng)來求取三角形面積。但根據(jù)morris kline在1908年出版的著作考證，這條公式其實(shí)是阿基米德所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表。由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個(gè)三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測(cè)量土地的面積的時(shí)候，不用測(cè)三角形的高，只需測(cè)兩點(diǎn)間的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案。海倫公式形式漂亮，結(jié)構(gòu)工整，有多種變形，如：s=

p(p?a)(p?b)(p?c)

2

2

2

===

141414

(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)(a

2

=

14

[(a?b)?c][c14

4ab

2

2

?(a?b)]

2

2

?b

2

2

?c

2

?2ab)[?(a

2

2

?b

4

2

?c

4

2

?2ab)]

4

=

?(a

2

?b?c)

22

2ab

2

?2ac

2

?2bc

22

?a?b?c

12

absinc和余弦定理

教課書中并以習(xí)題形式出現(xiàn)，給出的參考答案是利用三角形面積計(jì)算公式s?

12

12

12

c

2

?a

2

?b

2

?2abcosc的證明過程：s?absinc=ab1?cosnc=

2

ab1?(

a

2

?b

2

?c

2

2ab

)

2

下略。我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶也發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價(jià)的“三斜求積”公式，中國(guó)古代的天元術(shù)發(fā)展水平非常高，筆者猜想秦九韶在獨(dú)立推出“三斜求積”公式過程中，利用了解方程的方法，因此海倫公式可以作如下推證，從三角形最基本的面積公式s?abc?

12

aha入手，利用勾股定理，布列方程組求高。

如圖2，

b

圖2

c

?x2?y2?c2

222

?2a?c?b22

在△abc中，ad為邊bc上的高，根據(jù)勾股定理，有?x?z?b解方程，得y?，

2a

?y?z?a?z?

a

?b

?c

2a

，x?c

?y

?c

?(

a

?c

?b

2a

)

?

12a

4ac

22

?(a

?c

?b)下略。在求

22

高的方法上，我們也可以用斯特瓦爾特定理，根據(jù)斯氏定理，△abc頂點(diǎn)a于對(duì)邊bc上任一點(diǎn)d間的距離ad有下列等式確定：ab

ad

?dc?ac

?bd?ad

?bc?bd?dc?bc，等式改寫為

?ab

?

dcbc

?ac

?

bdbc

?bc

?

dcbc

?

bdbc

aa

22

而當(dāng)點(diǎn)d是頂點(diǎn)a的正射影時(shí),有

bddc

?

abcosbaccosc

?

?c?b

22

?b?c

22

，利用比例的性質(zhì)，變形得

bdbc

?

a

?c

22

?b

2a

，

dcbc

?

a

?b

22

?c

2a

，代入即求出高ad。推證海倫公式也可以考慮應(yīng)用三角函數(shù)

的恒等式，容易證明下列三角恒等式：若∠a+∠b+∠c =180°那么

abacbcta?ta+tan?tan?tan+tan=1，

222222

zz

c

圖3

如圖3,在△abc中，內(nèi)切圓⊙o的半徑是r,則tan

a2

?

rx

, tan

b2

?

ry

,tan

c2

?

rz

,代入恒等式

tan

a2

?tan

b2

+tan

a2

?tan

c2

+tan

b2

?tan

c2

=1，得

r

xy

?

r

xz

?

r

yz

?1，兩邊同乘xyz，有等式

r(x?y?z)?xyz???①

又，b?c?a?(x?z)?(x?y)?(y?z)?2x ，所以，x?

z?

a?b?c

b?c?a

，同理y?

a?c?b

，

。???②于是△abc的面積s?

12

(a?b?c)r=

12

(y?z?x?z?x?y)r=(x?y?z)r

=(x?y?z)r=

14

，把①、②式代入，即得s?(x?y?z)xyz

(a?b?c)(a?b?c)(b?c?a)(a?c?b)

三角形的面積和三邊有如此優(yōu)美和諧的關(guān)系，我們不禁會(huì)類比猜想(更多請(qǐng)關(guān)注www.weilaioem.com]．北京：生活·讀書·新知三聯(lián)書店，201*：14～

２６．

［2］ 王林全．初等幾何研究教程[m]．廣州：暨南大學(xué)出版社，１９９６．

第三篇：海倫公式

海倫公式

與海倫在他的著作"metrica"(《度量論》）中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對(duì)角分別為a、b、c，則余弦定理為下述推導(dǎo)[1]

cosc = (a^2+b^2-c^2）/2ab

s=1/2*ab*sinc

=1/2*ab*√（1-cos^2 c)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]

=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

設(shè)p=(a+b+c)/2

則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形abc面積s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

證明⑵

中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年也提出了“三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實(shí)在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實(shí)際丈量土地面積時(shí)，由于土地的面積并不是三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長(zhǎng)度來求三角形的面積？直到南宋，中國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”。

秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜�！靶g(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個(gè)數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)。相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實(shí)”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。

所謂“實(shí)”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實(shí)”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}

當(dāng)p=1時(shí)，△ 2=q,

△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}

因式分解得

△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]

=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：

s△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。

s=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2} .其中c>b>a.

根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運(yùn)算。如下題：

已知四邊形abcd為圓的內(nèi)接四邊形，且ab=bc=4,cd=2,da=6，求四邊形abcd的面積

這里用海倫公式的推廣

s圓內(nèi)接四邊形= 根號(hào)下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p為周長(zhǎng)一半，a,b,c,d，為4邊）

代入解得s=8√ 3

證明⑶

在△abc中∠a、∠b、∠c對(duì)應(yīng)邊a、b、c

o為其內(nèi)切圓圓心，r為其內(nèi)切圓半徑，p為其半周長(zhǎng)

有tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2=1

r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2）=r

∵r=(p-a)tana/2=(p-b)tanb/2=(p-c)tanc/2

∴ r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2）

=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tana/2tanb/2tanc/2

=ptana/2tanb/2tanc/2

=r

∴p^2r^2tana/2tanb/2tanc/2=pr^3

∴s^2=p^2r^2=(pr^3）/(tana/2tanb/2tanc/2）

=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴s=√p(p-a)(p-b)(p-c)

第四篇：求三角形面積——海倫公式

證明：海倫公式：若δabc的三邊長(zhǎng)為a、b、c，則

sδabc=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(這是海倫公式的變形，“負(fù)號(hào)“－”從a左則向右經(jīng)過a、b、c”，負(fù)號(hào)從x軸負(fù)軸向正軸掃描一個(gè)周期！我覺得這么記更簡(jiǎn)單，還設(shè)個(gè)什么l=(a+b=c)/2啊，多此一舉！)

證明：設(shè)邊c上的高為 h,則有

√(a^2－h(huán)^2)＋√(b^2－h(huán)^2)=c

√(a^2－h(huán)^2)=c－√(b^2－h(huán)^2)

兩邊平方，化簡(jiǎn)得：

2c√(b^2－h(huán)^2)=b^2+c^2-a^2

兩邊平方，化簡(jiǎn)得：

h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))

sδabc=ch/2

=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2

仔細(xì)化簡(jiǎn)一下，得：

sδabc=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

用三角函數(shù)證明！

證明：

sδabc=absinc/2

=ab√(1-(cosc)^2)/2————（1）

∵cosc=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

∴代入（1）式，（仔細(xì)）化簡(jiǎn)得：

sδabc=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

第五篇：公式及證明

初中數(shù)學(xué)幾何定理

1。同角（或等角）的余角相等。 2。對(duì)頂角相等。 3。三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。 4。在同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線是平行線。

5。同位角相等，兩直線平行。 6。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。 7。直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

8。在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等。及其逆定理。

9。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。

10。一組對(duì)邊平行且相等、或兩組對(duì)邊分別相等、或?qū)�角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

11。有三個(gè)角是直角的四邊形、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

12。菱形性質(zhì)：四條邊相等、對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

13。正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等。兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

14。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量都相等。 15。垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)弧。平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。 16。直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。

17。相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。

18．圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

19。切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

20。切線的性質(zhì)定理①經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。 ②圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。 ③經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

21。切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等。連結(jié)圓外一點(diǎn)和圓心的直線，平分從這點(diǎn)向圓所作的兩條切線所夾的角。

22。弦切角定理 弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。

23。相交弦定理； 切割線定理； 割線定理；

初中數(shù)學(xué)幾何一般證題途徑：證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等 2.同一三角形中等角對(duì)等邊

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊

4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)�角線被交點(diǎn)分成的兩段相等

5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等

6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等

7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等

8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等

9.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等

10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等

11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等

12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長(zhǎng)相等 13.等于同一線段的兩條線段相等

證明兩個(gè)角相等

1.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 2.同一三角形中等邊對(duì)等角

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等

5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等 6.同圓（或等圓）中，等弦（或同�。┧鶎�(duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角

8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角

10.等于同一角的兩個(gè)角相等

證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行 2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行

3.平行四邊形的對(duì)邊平行 4.三角形的中位線平行于第三邊

5.梯形的中位線平行于兩底 6.平行于同一直線的兩直線平行 7.一條直線截三角形的兩邊（或延長(zhǎng)線）所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平等行于第三邊

證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角

3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角

4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直 5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直

7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上

8.利用勾股定理的逆定理 9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直

10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦 11.利用半圓上的圓周角是直角

證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段

3.延長(zhǎng)短線段為其二倍，再證明它與較長(zhǎng)的線段相等

4.取長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）

證明角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同 2.利用角平分線的定義

3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

證明線段不等

1.同一三角形中，大角對(duì)大邊 2.垂線段最短

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

4.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大

5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小 6.全量大于它的任何一部分

證明兩角的不等

1.同一三角形中，大邊對(duì)大角 2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角

3.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大

4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大 5.全量大于它的任何一部分

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例 2.利用內(nèi)外角平分線定理

3.平行線截線段成比例 4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理

5.與圓有關(guān)的比例定理：相交弦定理、切割線定理及其推論

6.利用比利式或等積式化得

證明四點(diǎn)共圓

1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓 2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓

3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）

4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓 5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓

二、空間與圖形

a：圖形的認(rèn)識(shí)：

1：點(diǎn)，線，面

點(diǎn)，線，面：①圖形是由點(diǎn)，線，面構(gòu)成的。②面與面相交得線，線與線相交得點(diǎn)。③點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。

展開與折疊：①在棱柱中，任何相鄰的兩個(gè)面的交線叫做棱，側(cè)棱是相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線，棱柱的所有側(cè)棱長(zhǎng)相等，棱柱的上下底面的形狀相同，側(cè)面的形狀都是長(zhǎng)方體。②n棱柱就是底面圖形有n條邊的棱柱。

一個(gè)幾何體：用一個(gè)平面去截一個(gè)圖形，截出的面叫做截面。

3視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。

多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形。

弧，扇形：①由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫扇形。②圓可以分割成若干個(gè)扇形。

2：角

線：①線段有兩個(gè)端點(diǎn)。②將線段向一個(gè)方向無限延長(zhǎng)就形成了射線。射線只有一個(gè)端點(diǎn)。③將線段的兩端無限延長(zhǎng)就形成了直線。直線沒有端點(diǎn)。④經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線。比較長(zhǎng)短：①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。②兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離。

角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成，兩條射線的公共端點(diǎn)是這個(gè)角的頂點(diǎn)。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。②一條射線繞著他的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所成的角叫做平角。始邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)他又和始邊重合時(shí)，所成的角叫做周角。③從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。

平行：①同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。②經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。③如果兩條直線都與第3條直線平行，那么這兩條直線互相平行。垂直：①如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。②互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。③平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

3：相交線與平行線

角：①如果兩個(gè)角的和是直角,那么稱和兩個(gè)角互為余角；如果兩個(gè)角的和是平角，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。②同角或等角的余角/補(bǔ)角相等。③對(duì)頂角相等。④同位角相等/內(nèi)錯(cuò)角相等/同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，反之亦然。

4：三角形

三角形：①由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。②三角形任意兩邊之和大于第三邊。三角形任意兩邊之差小于第三邊。③三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度。④三角形分銳角三角形/直角三角形/鈍角三角形。⑤直角三角形的兩個(gè)銳角互余。⑥三角形中一個(gè)內(nèi)角的角平分線與他的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。⑦三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與他對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做這個(gè)三角形的中線。⑧三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，三條中線交于一點(diǎn)。⑨從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向他的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。⑩三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)。

圖形的全等：全等圖形的形狀和大小都相同。兩個(gè)能夠重合的圖形叫全等圖形。全等三角形：①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊/角相等。②條件：sss/aas/asa/sas/hl。勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，反之亦然。

5：四邊形

平行四邊形的性質(zhì)：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。②平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線段叫他的對(duì)角線。③平行四邊形的對(duì)邊/對(duì)角相等。④平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

平行四邊形的判定條件：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形/一組對(duì)邊平行且相等的四邊形/兩組對(duì)邊分別相等的四邊形/定義。

菱形：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。②領(lǐng)心的四條邊相等，兩條對(duì)角線互相垂直平分，每一組對(duì)角線平分一組對(duì)角。③判定條件：定義/對(duì)角線互相垂直的平行四邊形/四條邊都相等的四邊形。

矩形與正方形：①有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形。②矩形的對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。④正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質(zhì)。⑤一組鄰邊相等的矩形是正方形。

梯形：①一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形。②兩條腰相等的梯形叫等腰梯形。③一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等，對(duì)角線星等，反之亦然。

多邊形：①n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180度。②多邊心內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做這個(gè)多邊形的外角，在每個(gè)頂點(diǎn)處取這個(gè)多邊形的一個(gè)外角，他們的和叫做這個(gè)多邊形的內(nèi)角和（都等于360度）

平面圖形的密鋪：三角形，四邊形和正六邊形可以密鋪。

中心對(duì)稱圖形：①在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做他的對(duì)稱中心。②中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分。

b：圖形與變換：

1：圖形的軸對(duì)稱

軸對(duì)稱：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。

軸對(duì)稱圖形：①角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。②線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。③等腰三角形的“三線合一”。

軸對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段/對(duì)應(yīng)角相等。

2:圖形的平移和旋轉(zhuǎn)

平移：①在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移。②經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等。

旋轉(zhuǎn)：①在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)。②經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形商店每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。3：圖形的相似

比：①a/b=c/d，那么ad=bc，反之亦然。②a/b=c/d，那么a土b/b=c土d/d。③a/b=c/d=。。。=m/n， 那么a+c+。。。+m/b+d+。。。n=a/b。

黃金分割：點(diǎn)c把線段ab分成兩條線段ac與bc，如果ac/ab=bc/ac，那么稱線段ab被點(diǎn)c黃金分割，點(diǎn)c叫做線段ab的黃金分割點(diǎn)，ac與ab的比叫做黃金比（根號(hào)5-1/2）。相似：①各角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。②相似多邊形對(duì)應(yīng)

邊的比叫做相似比。

相似三角形：①三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。②條件：aa/sss/sas。

相似多邊形的性質(zhì)：①相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)角平分線，對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比。②相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

圖形的放大與縮小：①如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。②位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。

d：證明

定義與命題：①對(duì)名稱與術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出他們的定義。②對(duì)事情進(jìn)行判斷的句子叫做命題（分真命題與假命題）。③每個(gè)命題是由條件和結(jié)論兩部分組成。④要說明一個(gè)命題是假命題，通常舉出一個(gè)離子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子叫做反例。

公理：①公認(rèn)的真命題叫做公理。②其他真命題的正確性都通過推理的方法證實(shí)，經(jīng)過證明的真命題稱為定理。③同位角相等，兩直線平行，反之亦然；sas/asa/sss，反之亦然；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線；平行，反之亦然；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，反之亦然；三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度；三角形的一個(gè)外交等于和他不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角心的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和他不相鄰的內(nèi)角。④由一個(gè)公理或定理直接推出的定理，叫做這個(gè)公理或定理的推論。

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