第一篇：向量法證明正弦定理

向量法證明正弦定理

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o于d.連接da.

因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠dab=90度

因?yàn)橥�弧所�?duì)的圓周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

2

如圖1，△abc為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)a作單位向量j垂直于向量ac，則j與向量ab的夾角為90°-a，j與向量cb的夾角為90°-c

由圖1，ac+cb=ab(向量符號(hào)打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·ac+cb=j·ab

∴│j││ac│co(更多請(qǐng)搜索www.weilaioem.com，解三角形。

評(píng)述：此類問(wèn)題結(jié)果為唯一解，學(xué)生較易掌握，先利用內(nèi)角和180°求出

第三角，再利用正弦定理.

7.能力提升

例2：在△abc中，

°，a=2,求b,b,c。

評(píng)述：此類問(wèn)題結(jié)果為多解，學(xué)生容易產(chǎn)生漏解的情況，在此題的解題過(guò)程

中，讓學(xué)生自主練習(xí)，然后在課堂上討論，通過(guò)相互交流，總結(jié)出存在多解的情況，應(yīng)與大邊對(duì)大角結(jié)合分情況討論，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想。

8.課堂總結(jié)

總結(jié)本堂課的內(nèi)容：正弦定理、正弦定理適用范圍、正弦定理應(yīng)該注意的問(wèn)題

9.課后作業(yè)

（1）在?abc中，已知角

?b?45?，c?22,b???43，則角a的值是 ??a.15b.75c.105d.75或15

（2）在△abc中,若a?30?,b?60?,則a:b:c?

?b?60，b?76,a?14，則a=?abc （3）在中，若

?a?,b?2,b?45?abc （4）在中，已知，解三角形。

第三篇：向量證明正弦定理

向量證明正弦定理

表述：設(shè)三面角∠p-abc的三個(gè)面角∠bpc，∠cpa，∠apb所對(duì)的二面角依次為∠pa，∠pb，∠pc，則sin∠pa/sin∠bpc=sin∠pb/sin∠cpa=sin∠pc/sin∠apb。

目錄

1證明2全向量證明

證明

過(guò)a做oa⊥平面bpc于o。過(guò)o分別做om⊥bp于m與on⊥pc于n。連結(jié)am、an。顯然，∠pb=∠amo，sin∠pb=ao/am;∠pc=∠ano，sin∠pc=ao/an。另外，sin∠cpa=an/ap，sin∠apb=am/ap。則sin∠pb/sin∠cpa=ao×ap/(am×an)=sin∠pc/sin∠apb。同理可證sin∠pa/sin∠bpc=sin∠pb/sin∠cpa。即可得證三面角正弦定理。

全向量證明

如圖1，△abc為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)a作單位向量j垂直于向量ac，則j與向量ab的夾角為90°-a，j與向量cb的夾角為90°-c

由圖1，ac+cb=ab(向量符號(hào)打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·ac+cb=j·ab

∴│j││ac│cos90°+│j││cb│cos(90°-c)

=│j││ab│cos(90°-a)

∴asinc=csina

∴a/sina=c/sinc

同理，過(guò)點(diǎn)c作與向量cb垂直的單位向量j，可得

c/sinc=b/sinb

∴a/sina=b/sinb=c/sinc

2步驟1

記向量i，使i垂直于ac于c，△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△abc中，設(shè)bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點(diǎn)h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理，在△abc中，

b/sinb=c/sinc

步驟3.

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o于d.連接da.

因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠dab=90度

因?yàn)橥�弧所�?duì)的圓周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

類似可證其余兩個(gè)等式。

3

用向量叉乘表示面積則s=cb叉乘ca=ac叉乘ab

=>absinc=bcsina(這部可以直接出來(lái)哈哈，不過(guò)為了符合向量的做法)

=>a/sina=c/sinc

201*-7-1817:16jinren92|三級(jí)

記向量i，使i垂直于ac于c，△abc三邊ab,bc,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△abc中，證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,

4

過(guò)三角形abc的頂點(diǎn)a作bc邊上的高，垂足為d.(1)當(dāng)d落在邊bc上時(shí)，向量ab與向量ad的夾角為90°-b，向量ac與向量ad的夾角為90°-c，由于向量ab、向量ac在向量ad方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量ab*向量ad=向量ac*向量ad即向量ab的絕對(duì)值*向量ad的絕對(duì)值*cos(90°-b)=向量的ac絕對(duì)值*向量ad的絕對(duì)值*cos(90°-c)所以csinb=bsinc即b/sinb=c/sinc(2)當(dāng)d落在bc的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣可以證得

第四篇：用向量證明正弦定理

用向量證明正弦定理

如圖1，△abc為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)a作單位向量j垂直于向量ac，則j與向量ab的夾角為90°-a，j與向量cb的夾角為90°-c

由圖1，ac+cb=ab(向量符號(hào)打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·ac+cb=j·ab

∴│j││ac│cos90°+│j││cb│cos(90°-c)

=│j││ab│cos(90°-a)

∴asinc=csina

∴a/sina=c/sinc

同理，過(guò)點(diǎn)c作與向量cb垂直的單位向量j，可得

c/sinc=b/sinb

∴a/sina=b/sinb=c/sinc

2步驟1

記向量i，使i垂直于ac于c，△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△abc中，設(shè)bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點(diǎn)h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理，在△abc中，

b/sinb=c/sinc

步驟3.

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o于d.連接da.

因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠dab=90度

因?yàn)橥�弧所�?duì)的圓周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

類似可證其余兩個(gè)等式。

3

用向量叉乘表示面積則s=cb叉乘ca=ac叉乘ab

=>absinc=bcsina(這部可以直接出來(lái)哈哈，不過(guò)為了符合向量的做法)

=>a/sina=c/sinc

201*-7-1817:16jinren92|三級(jí)

記向量i，使i垂直于ac于c，△abc三邊ab,bc,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△abc中，證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,

4

過(guò)三角形abc的頂點(diǎn)a作bc邊上的高，垂足為d.(1)當(dāng)d落在邊bc上時(shí)，向量ab與向量ad的夾角為90°-b，向量ac與向量ad的夾角為90°-c，由于向量ab、向量ac在向量ad方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量ab*向量ad=向量ac*向量ad即向量ab的絕對(duì)值*向量ad的絕對(duì)值*cos(90°-b)=向量的ac絕對(duì)值*向量ad的絕對(duì)值*cos(90°-c)所以csinb=bsinc即b/sinb=c/sinc(2)當(dāng)d落在bc的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣可以證得

第五篇：用正弦定理證明三重向量積

用正弦定理證明三重向量積

作者：光信1002班 李立

內(nèi)容：通過(guò)對(duì)問(wèn)題的討論和轉(zhuǎn)化，最后用正弦定理來(lái)證明三重向量積的公式——(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b。

首先，根據(jù)叉乘的定義，a、b、a?b可以構(gòu)成一個(gè)右手系，而且對(duì)公式的觀察與分析我們發(fā)現(xiàn)，在公式中，a與b是等價(jià)的，所以我們不妨把a(bǔ)、b、a?b放在一個(gè)空間直角坐標(biāo)系中，讓a與b處于oxy面上，a?b與z軸同向。如草圖所示：

其中，向量c可以沿著z軸方向與平行于oxy平面的方向分解，即：

c?cz?cxy

將式子帶入三重向量積的公式中，發(fā)現(xiàn)，化簡(jiǎn)得：

（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b這兩個(gè)式子等價(jià)

現(xiàn)在我們考慮(a?b)?c剛好被a與b反向夾住的情況，其他的角度情況以此類推。

由圖易得，(a?b)?c與a、b共面，a與b不共線，不妨設(shè)(

a?b)?c?xa?yb，

a,cxy

?(

?

,?),b,cxy

?(0,

?

)，所以：

在三角形中使用正弦定理，得

a?b）?csin[?-a,b]

?sin[

xa

?

yb

sin[a,cxy?

?k]

?

?b,cxy?

又因?yàn)閍?b）?c?abcsina,b

所以，解得k=abc， 于是解得：

x= bcxycosb,cxyy??acxycosa,cxy

?b?cxy ??a?cxy

由圖示和假定的條件，(a?b)?c在a和b方向上的投影皆為負(fù)值，所以x，y都取負(fù)值，

所以，

（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b

其他的相對(duì)角度關(guān)系，以此類推，也能得到相同的答案，所以：

(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b，命題得證。

小結(jié)論：當(dāng)直觀解答有困難時(shí)，可以通過(guò)分析轉(zhuǎn)化的方法來(lái)輕松地解決。

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