第一篇：向量空間證明

向量空間證明

解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當(dāng)?shù)狞c和直線方向建立空間直角坐標系中

2)若問題中沒有給出坐標計算單位，可選擇合適的線段設(shè)置長度單位;

3)計算有關(guān)點的坐標值，求出相關(guān)向量的坐標;

4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數(shù)積，只要分別為零，即可說明結(jié)論。

證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉(zhuǎn)化為證明二個向量平行的問題，只要說明一個向量是另一向量的m(實數(shù))倍，即可

只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經(jīng)驗和方法

2

解：

因為x+y+z=0

x=-y-z

y=y+0*z

z=0*y+z

(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z

y,z為任意實數(shù)

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數(shù)為2(不用寫為什么是2)

步驟1

記向量i，使i垂直于ac于c，△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△abc中，設(shè)bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理，在△abc中，

b/sinb=c/sinc

步驟3.

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o于d.連接da.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

2

設(shè)向量ab=a,向量ac=b，向量am=c向量bm=d,延長am到d使am=dm，連接bd,cd,則abcd為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

am^2=1/2(ab^2+ac^2)-bm^2

3

已知ef是梯形abcd的中位線，且ad//bc，用向量法證明梯形的中位線定理

過a做ag‖dc交ef于p點

由三角形中位線定理有：

向量ep=½向量bg

又∵ad‖pf‖gc且ag‖dc∴向量pf=向量ad=向量gc(平行四邊形性質(zhì))

∴向量pf=½(向量ad+向量gc)

∴向量ep+向量pf=½(向量bg+向量ad+向量gc)

∴向量ef=½(向量ad+向量bc)

∴ef‖ad‖bc且ef=(ad+bc)

得證

4

先假設(shè)兩條中線ad,be交與p點

連接cp,取ab中點f連接pf

pa+pc=2pe=bp

pb+pc=2pd=ap

pa+pb=2pf

三式相加

2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf

3pa+3pb+2pc=2pf

6pf+2pc=2pf

pc=-2pf

所以pc,pf共線，pf就是中線

所以abc的三條中線交于一點p

連接od,oe,of

oa+ob=2of

oc+ob=2od

oc+oc=2oe

三式相加

oa+ob+oc=od+oe+of

od=op+pd

oe=op+pe

of=op+pf

oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp

由第一問結(jié)論

2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp

2pa+2pb+2pc=0

1/2ap+1/2bp+1/2cp

所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op

向量op=1/3(向量oa+向量ob+oc向量)

第二篇：201*年高考數(shù)學(xué)空間向量證明平行問題

4.2 直線的方向向量、平面的法向量及其應(yīng)用

一、直線的方向向量及其應(yīng)用

1、直線的方向向量

直線的方向向量就是指和這條直線所對應(yīng)向量平行（或共線）的向量，顯然一條直線的方向向量可以有無數(shù)個．

2、直線方向向量的應(yīng)用

利用直線的方向向量，可以確定空間中的直線和平面．

?（1）若有直線l, 點a是直線l上一點，向量a是l的方向向量，在直線l

?????????????上取ab?a，則對于直線l上任意一點p，一定存在實數(shù)t，使得ap?tab，這

?樣，點a和向量a不僅可以確定l的位置，還可具體表示出l上的任意點．

（2）空間中平面α的位置可以由α上兩條相交直線確定，若設(shè)這兩條直線

??交于點o,它們的方向向量分別是a和b，p為平面α上任意一點，由平面向量基

??????本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)對（x，y），使得op?xa?yb，這樣，點o與方向

??向量a、b不僅可以確定平面α的位置，還可以具體表示出α上的任意點．

1．若a(－1,0,1)，b(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為()

a．(1,2,3)b．(1,3,2)

c．(2,1,3)d．(3,2,1)

2. 從點a(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長ab＝34，則b點的坐標為()

a．(－9，－7,7)b．(18,17，－17)

c．(9,7，－7)d．(－14，－19,31)

二、平面的法向量

1、所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也有無數(shù)個，它們是共線向量．

??2、在空間中，給定一個點a和一個向量a，那么以向量a為法向量且經(jīng)過點

a的平面是唯一確定的．

三、直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關(guān)系中的應(yīng)用

????????????

1、若兩直線l1、l2的方向向量分別是u1、u2，則有l(wèi)1// l2?u1//u2，l1⊥l2?u1???

⊥u2．

????????????

2、若兩平面α、β的法向量分別是v1、v2，則有α//β?v1//v2，α⊥β?v1???

⊥v2．

????若直線l的方向向量是u，平面的法向量是v，則有l(wèi)//α?u⊥v，l⊥α

???u//v

b分別是直線l1、l2的方向向量，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)1與l2的位置關(guān)系。1. 設(shè)a、

?

?

（1）a=（2，3，－1），b=（－6，－9，3）； （2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）； （3）a=（－2，1，4），b=（6，3，3）

?

?

?

?

??

四、平面法向量的求法

若要求出一個平面的法向量的坐標，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：

?

1、設(shè)出平面的法向量為n?(x,y,z)．

??

2、找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2)

????n?a?0????n?b?0 3、根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組?

4、解方程組，取其中一個解，即得法向量

v分別是平面α、β的法向量，根據(jù)下列條件判斷α、β的位置關(guān)系： 1. 設(shè)u、

?

?

??

（1）u=（1，－1，2），v=（3，2，

?

?

?

2）；

（2）u=（0，3，0），v=（0，－5，0）； （3）u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）。

?

?

2. 已知點a（3，0，0），b（0，4，0），c（0，0，5），求平面abc的一個單位法向量。

??

3. 若直線l的方向向量是a=（1，2，2），平面α的法向量是n=（－1，3，0），

試求直線l與平面α所成角的余弦值。

4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一個法向量，則下列向量能作為平面α的一個法向量的是()

a．(0，－3,1)b．(2,0,1)

c．(－2，－3,1)d．(－2,3，－1)

5．已知平面α上的兩個向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，則平面α的一個法向量為()

a．(1，－1,1)b．(2，－1,1) c．(－2,1,1)d．(－1,1，－1)

五、用向量方法證明空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系 （一）用向量方法證明空間中的平行關(guān)系

空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．1、線線平行

設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，則

l∥m??_?_______. 1．在正方體abcd－a1b1c1d1中，p為正方形a1b1c1d1四邊上的動點，o為底面正方形abcd的中心，m，n分別為ab，bc的中點，點q為平面abcd內(nèi)

??????????

一點，線段d1q與op互相平分，則滿足mq＝λmn的實數(shù)λ的值有()

a．0個c．2個

b．1個 d．3個

2、線面平行

設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則

l∥α??_______?1??

1．已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為?1，2，2?，且l∥α，

??

則m＝________.

(更多好文章請關(guān)注www.weilaioem.com)2．已知線段ab的兩端點的坐標為a(9，－3,4)，b(9,2,1)，則與線段ab平行的坐標平面是()

a．xoyb．xoz

c．yozd．xoy或yoz

3．如圖所示，在空間圖形p—abcd中，pc⊥平面abcd，pc＝2，在四邊形abcd中，cd∥ab，∠abc＝∠bcd＝90°，ab＝4，cd＝1，點m在pb上，且pb＝4pm，∠pbc＝30°，求證：cm∥平面pad

.

4. 如圖，在底面是菱形的四棱錐p—abcd中，∠abc＝60°，pa⊥平面abcd，pa＝ac＝a，點e在pd上，且pe∶ed＝2∶1.在棱pc上是否存在一點f，使bf∥平面aec？證明你的結(jié)論．

5. 如圖, 在直三棱柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，aa1＝4，點d是ab的中點，（i）求證：ac⊥bc1；（ii）求證：ac 1//平面cdb1；

3、面面平行(3)面面平行 設(shè)平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?

abc?__?________a＝bc (a2b2c2≠0)_______.

222

1．如圖，在平行六面體abcd—a1b1c1d1中，m、p、q分別為棱ab、cd、bc的中點，若平行六面體的各棱長均相等，則 ①a1m∥d1p； ②a1m∥b1q；

③a1m∥面dcc1d1；

④a1m∥面d1pqb1.

以上結(jié)論中正確的是________．(填寫正確的序號

)

2. 如圖所示，在正方體abcd?a1b1c1d1中，m、n分別是c1c、b1c1的中點。

求證：（1）mn//平面a1bd；（2）平面a1bd//平面b1d1c。

第三篇：第二節(jié)用空間向量證明線線垂直與線面垂直

第二節(jié)用空間向量證明線線垂直與線面垂直

一、空間向量及其數(shù)量積

1、 在空間，既有大小又有方向的量稱為空間向量。用ab或a表示，其中向量的大小稱為向量的長度或

或a。正如平面向量可用坐標(x,y.)表示，空間向量也可用坐標(x,y,z)表示。若已知點a坐標為（x1，y1，z1）,點b坐標為（x2，y2，z2） 則向量ab=（x2 -x1，y2- y1，z2 -z1）即是終點坐標減起點坐標。 222在空間，知道向量=（x，y，z

x?y?z ?2、 空間向量數(shù)量積

① 已知兩個非零向量a、b，在空間任取一點o，作oa=a，ob=b，則角∠aob叫向量a與b的夾角，記作＜a，b＞規(guī)定，若0≤＜a，b＞≤?，若＜a，b＞=

⊥。

② 已知空間兩個向量a、b

cos＜a，b＞叫向量a、b的數(shù)量積，記作a?b

cos＜，＞若⊥?a?＝０

③ 若已知空間向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2） 則a?b＝x1x2+y1y2+z1z2 ，

cos＜a，

?，稱a與b垂直，記作a2?

??x1x2?y1y2?z1z2

x1?y1?z1?x2?y2?z2222222

例１ 如圖，已知直三棱柱abc-a1b1c1中，∠bca=900,d1、e1分別為a1b1、a1c1中點，若bc=ca=cc1，求向bd1與ae1所成角的余弦值。

b

d1 1ｃ

6

練習(xí)：已知正方體abcd—a1b1c1d1中，b1e1=d1f1=

f

c1b1

c

db

二 、利用向量證線線垂直與線面垂直

a1b1

，求向量be1與df1所成角的余弦值。 4

例2 在正方體abcd—a1b1c1d1中，求證a1c⊥平面ab1d1

cc

練習(xí)：在正方體abcd—a1b1c1d1中，o為底面abcd的中心，p為dd1的中點， 求證：b1o⊥平面pac。

a

例3 如圖，pa⊥矩形abcd所在平面，m, n分別是ab ,pc中點 （1）求證：mn⊥cd

（2）若∠pda=45，求證：mn⊥平面pcd

6

n m

b

c

練習(xí)：正方體abcd—a1b1c1d1中，m是棱d1d中點，n是ad中點， p為棱a1b1上任一點。求證：np⊥am

作業(yè)：

a1

c1

m c 1.如圖，正方體abcd—a1b1c1d1中，e是bb1中點，o是底面abcd中心，

求證：oe⊥平面d1ac.

2.如圖，正方體abcd—a1b1c1d1中，o ,m分別是bd1, aa1中點，求證：om是異面直線aa1和bd1的公垂線.

da1

3、如圖，直三棱柱abc-—a1b1c1中，∠acb=90，ac=1，cb=2，側(cè)棱aa1=1，，側(cè)面aa1b1b的兩

條對角線交點為d，b1c1的中點為m。求證：cd⊥平面bdm

6

a1

1 b b1

4在棱長為a的正方體abcd—a1b1c1d1中，e， f分別為棱ab和bc的中點，m為棱b1b

上任一點，當(dāng)

b1m

值為多少時能使d1m⊥平面efb1 mb

a

e

5、如圖，?abc為正三角形，ae和cd都垂直于平面abc，且ae=ab=2a， cd=a，f為be中點，求證：af⊥bd

c

a

6、如圖，已知直三棱柱abc-a1b1c1中b1c1=a1c1，a1b⊥ac1。 求證：a1b⊥b1c

6

ａ

ａ111

第四篇：用向量方法證明空間中的平行與垂直

用向量方法證明空間中的平行與垂直

1.已知直線a的方向向量為a，平面α的法向量為n，下列結(jié)論成立的是( c )

a．若a∥n，則a∥αb．若a·n＝0，則a⊥α

c．若a∥n，則a⊥αd．若a·n＝0，則a∥α

解析：由方向向量和平面法向量的定義可知應(yīng)選c.對于選項d，直線a?平面α也滿足a·n＝0.

2.已知α，β是兩個不重合的平面，其法向量分別為n1，n2，給出下列結(jié)論：

①若n1∥n2，則α∥β；②若n1∥n2，則α⊥β；

③若n1·n2＝0，則α⊥β；④若n1·n2＝0，則α∥β.

其中正確的是( a )

a．①③b．①④

c．②③d．②④

→平行的一個向量的坐 3.(原創(chuàng))已知a(3，－2,1)，b(4，－5,3)，則與向量ab

標是( c )

1a．(3，1,1)b． (－1，－3,2)

13c．(－2，2，－1)d．(2，－3，－ 2)

→＝(1，－3,2)＝－2(－131)， 解析：ab22

13→所以與向量ab平行的一個向量的坐標是(－2，2，－1)，故選c.

4.設(shè)l1的方向向量為a＝(1,2，－2)，l2的方向向量為b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，則m等于 2 .

5.設(shè)平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝ 4 .

解析：因為α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－ 2)，

所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.

→＝(1,5，－2)，bc→＝(3,1，z)．若ab→⊥bc→，bp→＝(x－1，y，－3)， 6.已知ab

4015且bp⊥平面abc，則實數(shù)x＝ 7，y＝ －7，z＝ 4 .

?→·→＝x－1＋5y＋6＝0解析：由已知?bpab

→·→＝3?x－1?＋y－3z＝0?bpbc

4015解得x＝7，y＝－7z＝4. →·→＝3＋5－2z＝0abbc ，

7.(原創(chuàng))若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為 58 .

解析：因為a·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，

所以a⊥b，又|a|＝22，|b|29，

所以以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為

|a|·|b|＝22×29＝258.

8.如圖，平面pac⊥平面abc，△abc是以ac為斜邊的等腰直角三角形，e，f，o分別為pa，pb，ac的中點，ac＝16，pa＝pc＝10.設(shè)g是oc的中點，證明：fg∥平面boe

.

證明：如圖，連接op，因為pa＝pc，ab＝bc，所以po⊥ac，bo⊥ac，

又平面pac⊥平面abc，所以可以以點o為坐標原點，分別以ob，oc，op所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系o-xyz

.

則o(0,0,0)，a(0，－8,0)，b(8,0,0)，c(0,8,0)，p(0,0,6)，e(0，－4,3)，f(4, 0,3)．由題意，得g(0,4,0)．

→＝(8,0,0)，oe→＝(0，－4,3)， 因為ob

設(shè)平面boe的一個法向量為n＝(x，y，z)，

→??n·ob＝0?x＝0則?，即?， →＝0?－4y＋3z＝0?oe?n·

取y＝3，則z＝4，所以n＝(0,3,4)．

→＝(－4,4，－3)，得n·→＝0. 由fgfg

又直線fg不在平面boe內(nèi)，所以fg∥平面boe

.

9.如圖，四棱錐p-abcd的底面為正方形，側(cè)棱pa⊥底面abcd，且pa

＝ad＝2，e，f，h分別是線段pa，pd，ab的中點．

(1)求證：pb∥平面efh；

(2)求證：pd⊥平面ahf

.

證明：建立如圖所示的空間直角坐標系a-xyz，

所以a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)，e(0,0,1)，f(0,1,1)，h(1，0,0)．

→＝(2,0，－2)，eh→＝(1,0，－1)， (1)因為pb

→＝2eh→， 所以pb

因為pb?平面efh，且eh?平面efh，

所以pb∥平面efh.

→＝(0,2，－2)，ah→＝(1,0,0)，af→＝(0,1,1)， (2)因為pd

→·→＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， 所以pdaf

→·→＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0， pdah

所以pd⊥af，pd⊥ah，

又因為af∩ah＝a，所以pd⊥平面ahf.

第五篇：第四節(jié) 利用空間向量求二面角及證明面面垂直

第四節(jié) 利用空間向量求二面角及證明面面垂直

一、二面角

二面角??l??，若?的一個法向量為m，?的一個法向量為n，則cos?,??，二面角的大小為?m,n?或???m,n?

例1．如圖，正三棱柱abc?a1b1c1中，e為bb1的中點，aa1?a1b1，求平面a1ec與平面a1b1c1所成銳角的大小。

例2．（05年全國）如圖，在四棱錐v-abcd

vad是正三角形,平面vad⊥底面abcd． （1）證明ab⊥平面vad；

（2）求面vad與面vbd所成的二面角的大�。�

練習(xí)：如圖，棱長為1的正方體 abcd?a1b1c1d1中，e是cc1的中點，

求二面角b?b

1e?d的余弦值。

12

二．證面面垂直

若平面?的一個法向量為，平面?的一個法向量為，且?，則???。

例3．在四棱錐p-abcd中，側(cè)面pcd是正三角形，且與底面abcd垂直，已知底面是面積為23的菱形，

?adc?600，m是pb的中點。

（1）求證：pa?cd

（2）求二面角p?ab?d的度數(shù)； （3）求證：平面pab?平面cdm。

練習(xí)：（04年遼寧）已知四棱錐p-abcd中，底面abcd是菱形，?dab?60?,pd?平面abcd，pd=ad，點e為ab的中點，點f為 pd的中點。

（1）證明平面ped⊥平面pab；

（2）求二面角p-ab-f的平面角的余弦值.

作業(yè)：

1．（04年廣東）如圖，在長方體abcd?a1b1c1d1中，

已知ab?4,ad?3,aa1?2,e,f分別是線段ab,bc上的點，且eb?fb?1。 （�。┣蠖�面角c-de-c1的正切值；

（ⅱ）求直線ec1與fd1所成角的余弦值。

13

2．（05年全國）已知四棱錐p-abcd的底面為直角梯形，ab∥dc，?dab?90?,pa?底面abcd，且pa=ad=dc=

ab=1，m是pb的中點。 2

（1）證明：面pad⊥面pcd； （2）求ac與pb所成的角；

（3）求面amc與面bmc所成二面角的大小。

3．已知四棱錐p-abcd的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱pa?底面abcd，pa＝2，m、n分別是ad、bc的中點，mq?pd于q

（1）求證：平面pmn?平面pad；

（2）求pm與平面pcd所成角的正弦值； （3）求二面角p?mn?q的余弦值。

4．（06年全國）如圖，在直三棱柱abc－a1b1c1中，ab＝bc， d、e分別為bb1、ac1的中點．

（1）證明：ed為異面直線bb1與ac1的公垂線； （2）設(shè)aa1＝ac＝2ab，求二面角a1－ad－c1的大�。�

14

c

b1 d

e

c

a

b

5． （04年浙江）如圖，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互

相垂直，ab=，af=1，m是線段ef的中點。

（1）求證：am//平面bde； （2）求二面角a?df?b的大��；

（3）試在線段ac上確定一點p，使得pf與bc所成的角是60?。

6．（05年湖南）如圖1，已知abcd是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸oo1折成直二面角，如圖2.

（1）證明：ac⊥bo1；

（2）求二面角o-ac-o1的大小。

7．（06年山東）如圖，已知四棱錐p-abcd的底面abcd為 等腰梯形，ab∥dc,ac⊥bd,ac與bd相交于點o，且頂點 p在底面上的射影恰為點o，又bo=2,po=,pb⊥pd. (1)求異面直線pd與bc所成角的余弦值； (2)求二面角p-ab-c的大��； (3)設(shè)點m在棱pc上，且pc⊥平面bmd.

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??,問?為何值時， mc

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