第一篇：如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設(shè)p是三角形abc所在平面外的一點(diǎn)，p到a,b,c三點(diǎn)的距離相等,角bac為直角，求證：平面pcb垂直平面abc

過p作pq⊥面abc于q，則q為p在面abc的投影，因?yàn)閜到a，b，c的距離相等，所以有qa=qb=qc，即q為三角形abc的中心，因?yàn)榻莃ac為直，所以q在線段bc上，所以在面pcb上有線段pq⊥平面abc，故平面pcb⊥平面abc

2

證明一個(gè)面上的一條線垂直另一個(gè)面;首先可以轉(zhuǎn)化成

一個(gè)平面的垂線在另一個(gè)平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個(gè)平面

然后轉(zhuǎn)化成

一條直線垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運(yùn)用兩個(gè)面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2

一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。

第二篇：怎樣證明面面垂直

怎樣證明面面垂直

如果一平面經(jīng)過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。(面面垂直判定定理)

為方便，下面#后的代表向量。

#cd=#bd-#bc,#ac=#bc-#ba,#ad=#bd-#ba.

對(duì)角線的點(diǎn)積：#ac·#bd=(#bc-#ba)·#bd=#bc·#bd-#ba·#bd

兩組對(duì)邊平方和分別為：

ab2+cd2=ab2+(#bd-#bc)2=ab2+bd2+bc2-2#bd·#bc

ad2+bc2=(#bd-#ba)2+bc2=bd2+ba2+bc2-2#bd·#ba

則ab2+cd2=ad2+bc2等價(jià)于#bd·#bc=#bd·#ba等價(jià)于#ac·#bd=0

所以原命題成立，空間四邊形對(duì)角線垂直的充要條件是兩組對(duì)邊的平方和相等

證明一個(gè)面上的一條線垂直另一個(gè)面;首先可以轉(zhuǎn)化成

一個(gè)平面的垂線在另一個(gè)平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個(gè)平面

然后轉(zhuǎn)化成

一條直線垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運(yùn)用兩個(gè)面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2

一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

如果一平面經(jīng)過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。(面面垂直判定定理)

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4(更多請(qǐng)關(guān)注：www.weilaioem.com).面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。

第三篇：第四節(jié) 利用空間向量求二面角及證明面面垂直

第四節(jié) 利用空間向量求二面角及證明面面垂直

一、二面角

二面角??l??，若?的一個(gè)法向量為m，?的一個(gè)法向量為n，則cos?,??，二面角的大小為?m,n?或???m,n?

例1．如圖，正三棱柱abc?a1b1c1中，e為bb1的中點(diǎn)，aa1?a1b1，求平面a1ec與平面a1b1c1所成銳角的大小。

例2．（05年全國）如圖，在四棱錐v-abcd

vad是正三角形,平面vad⊥底面abcd． （1）證明ab⊥平面vad；

（2）求面vad與面vbd所成的二面角的大�。�

練習(xí)：如圖，棱長為1的正方體 abcd?a1b1c1d1中，e是cc1的中點(diǎn)，

求二面角b?b

1e?d的余弦值。

12

二．證面面垂直

若平面?的一個(gè)法向量為，平面?的一個(gè)法向量為，且?，則???。

例3．在四棱錐p-abcd中，側(cè)面pcd是正三角形，且與底面abcd垂直，已知底面是面積為23的菱形，

?adc?600，m是pb的中點(diǎn)。

（1）求證：pa?cd

（2）求二面角p?ab?d的度數(shù)； （3）求證：平面pab?平面cdm。

練習(xí)：（04年遼寧）已知四棱錐p-abcd中，底面abcd是菱形，?dab?60?,pd?平面abcd，pd=ad，點(diǎn)e為ab的中點(diǎn)，點(diǎn)f為 pd的中點(diǎn)。

（1）證明平面ped⊥平面pab；

（2）求二面角p-ab-f的平面角的余弦值.

作業(yè)：

1．（04年廣東）如圖，在長方體abcd?a1b1c1d1中，

已知ab?4,ad?3,aa1?2,e,f分別是線段ab,bc上的點(diǎn)，且eb?fb?1。 （�。┣蠖�面角c-de-c1的正切值；

（ⅱ）求直線ec1與fd1所成角的余弦值。

13

2．（05年全國）已知四棱錐p-abcd的底面為直角梯形，ab∥dc，?dab?90?,pa?底面abcd，且pa=ad=dc=

ab=1，m是pb的中點(diǎn)。 2

（1）證明：面pad⊥面pcd； （2）求ac與pb所成的角；

（3）求面amc與面bmc所成二面角的大小。

3．已知四棱錐p-abcd的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱pa?底面abcd，pa＝2，m、n分別是ad、bc的中點(diǎn)，mq?pd于q

（1）求證：平面pmn?平面pad；

（2）求pm與平面pcd所成角的正弦值； （3）求二面角p?mn?q的余弦值。

4．（06年全國）如圖，在直三棱柱abc－a1b1c1中，ab＝bc， d、e分別為bb1、ac1的中點(diǎn)．

（1）證明：ed為異面直線bb1與ac1的公垂線； （2）設(shè)aa1＝ac＝2ab，求二面角a1－ad－c1的大小．

14

c

b1 d

e

c

a

b

5． （04年浙江）如圖，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互

相垂直，ab=，af=1，m是線段ef的中點(diǎn)。

（1）求證：am//平面bde； （2）求二面角a?df?b的大�。�

（3）試在線段ac上確定一點(diǎn)p，使得pf與bc所成的角是60?。

6．（05年湖南）如圖1，已知abcd是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸oo1折成直二面角，如圖2.

（1）證明：ac⊥bo1；

（2）求二面角o-ac-o1的大小。

7．（06年山東）如圖，已知四棱錐p-abcd的底面abcd為 等腰梯形，ab∥dc,ac⊥bd,ac與bd相交于點(diǎn)o，且頂點(diǎn) p在底面上的射影恰為點(diǎn)o，又bo=2,po=,pb⊥pd. (1)求異面直線pd與bc所成角的余弦值； (2)求二面角p-ab-c的大小； (3)設(shè)點(diǎn)m在棱pc上，且pc⊥平面bmd.

15

pm

??,問?為何值時(shí)， mc

第四篇：面面垂直證明例題

數(shù)學(xué)面面垂直例題

例4答案：

例8答案：取ac的中點(diǎn)為o，連接op、ob。 ao=oc,pa=pc,故po垂直

ac

第五篇：本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是如何利用判定定理證明線面、面面垂直。障...

本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是如何利用判定定理證明線面、面面垂直。障礙點(diǎn)是線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化，并能靈活應(yīng)用相互轉(zhuǎn)化。因此本節(jié)課的重點(diǎn)是如何靈活應(yīng)用線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化完成垂直關(guān)系的證明

課題：垂直關(guān)系

教學(xué)分析

垂直關(guān)系是一種非常重要的位置關(guān)系，它不僅應(yīng)用較多，而且是平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化手段，可以說垂直關(guān)系是立體幾何的核心內(nèi)容之一，也是高考熱點(diǎn)內(nèi)容。

垂直的性質(zhì)定理在立體幾何中有著特殊的地位和作用。在鞏固線線垂直和面面垂直的基礎(chǔ)上，討論垂直的性質(zhì)定理及其應(yīng)用時(shí)，要注意是立體幾何最難的定理，往往是一個(gè)復(fù)雜問題的開端，先由面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，否則無法解決問題。

三維目標(biāo)

1.探究垂直的判定定理，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

2.掌握垂直的判定定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

3.探究垂直的性質(zhì)定理，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

4.垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

5.通過垂直的性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想。

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):(1)垂直關(guān)系的判定定理及其應(yīng)用 (2)垂直的性質(zhì)定理

教學(xué)難點(diǎn):(1)應(yīng)用判定定理解決問題(2）性質(zhì)定理的應(yīng)用

課時(shí)安排：1課時(shí).

教學(xué)手段：多媒體.

教學(xué)過程：

一、知識(shí)回顧

1、線面垂直的判定方法

(1)定義——如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線與平面垂直。

(2)判定定理——如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直。

?

?l?b?a???l???b??a?b?a?l?a

2線面垂直的性質(zhì)

(1)如果一條直線和一個(gè)平面垂直則這條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線。

(2)性質(zhì)定理——如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行。

3、面面垂直的判定方法

（1)定義-----如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則這兩個(gè)平面垂直。

（2)判定定理-----如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直α⊥β，α∩β＝l???m⊥β. 用符號(hào)表示為m�苔�，m⊥l?

4面面垂直的性質(zhì)

如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面

二、課堂演練

1．在三棱錐v－abc中，va＝vc，ab＝bc，則下列結(jié)論一定成立的是()

a．va⊥bcb．a(chǎn)b⊥vc

c．vb⊥acd．va⊥vb

2．設(shè)l、m、n均為直線，其中m、n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的()

a．充分不必要條件b．必要不充分條件

c．充要條件d．既不充分也不必要條件

3．關(guān)于直線m、n與平面α、β，有以下四個(gè)命題：

①若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n.

②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n；

③若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；

④若m∥α，n∥β且α⊥β，則m∥n；

其中真命題的序號(hào)是()

a．①②

c．①④b．③④ d．②③第4題圖

4．△abc，∠abc＝90°，pa⊥平面 abc，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是________．

三、典例精析

例1如圖，ab是圓o的直徑，c是異于a，b的圓周上的任意一點(diǎn)，pa垂直于圓o所在的平面。求證：（1）bc⊥面pac（2)若ah⊥pc,則ah⊥面pbc

?c b 例2如圖，已知pa┴ 矩形abcd所在平面，m、n分別是ab、pc的中點(diǎn) 求證： （1）mn┴cd(2） 若?pda?

p 45，求證：mn面pcd

四、小結(jié)：三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

m d c

五、作業(yè)：課時(shí)作業(yè)

六、教學(xué)反思：本節(jié)課重點(diǎn)是利用判定定理證明線面、面面垂直，及三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

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