第一篇：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式

常澤武指導(dǎo)教師：任天勝

（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數(shù)學(xué)和高等代數(shù)中有廣泛的應(yīng)用，證明方法很多，本文以函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)不等式，以導(dǎo)數(shù)為工具來(lái)證明不等式。

關(guān)鍵字： 導(dǎo)數(shù) 不等式最值中值定理單調(diào)性泰勒公式

中圖分類號(hào)： o13

application derivative to testify inequality

changzewww.weilaioem.com monotonicity taylor formula

1.利用微分中值定理來(lái)證明不等式

在數(shù)學(xué)分析中，我們學(xué)到了拉格朗日中值定理，其內(nèi)容為：

定理1.如果函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間?a,b?上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得f"(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數(shù)的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據(jù)以下兩種方法來(lái)證明。

（1）首先，分析不等式通過(guò)變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數(shù)和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最大值和最小值。

（2）我們可根據(jù)其兩種等價(jià)表述方式

①f(b)?f(a)?f"(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f"?a??h?h,0???1

我們可以?的范圍來(lái)證明不等式。 f(b)?f(a)。 b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x) x

第二步選取合適的函數(shù)和范圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應(yīng)用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f"(?)?f(1?x)?f(x) (1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln( x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f"(?h)h?

當(dāng)h>0時(shí)有

1??h?1?1?h,

當(dāng)?1?h?0時(shí)有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

我們?cè)诔醯葦?shù)學(xué)當(dāng)中學(xué)習(xí)不等式的證明時(shí)用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負(fù)，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的思想來(lái)判斷大小。

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?可導(dǎo)，那么

（1） 若在?a,b?內(nèi)f"(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞增。

（2） 若在?a,b?內(nèi)f"(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞減。

使用定理：要證明區(qū)間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令f(x)?f(?x)。 g使在(x)?a,b?上f"(x)>0（f"(x)<0）且f(a)=0或（f(b)=0）例2.1 設(shè)x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令f(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然f(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0） f"(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現(xiàn)在來(lái)證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當(dāng)x?0時(shí)f"(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上遞增

故對(duì)x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以f"(x)?0故f(x)遞增

又因?yàn)閒(0)?0

所以f(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數(shù)的最大值和最小值證明不等式

當(dāng)?shù)仁街泻�有�?”號(hào)時(shí)，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價(jià)于函數(shù)g(x)?g(x)?f(x)有最小值或f(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出極值并判斷時(shí)極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對(duì)于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f"(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f"(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?0,1?上連續(xù)，因而在閉區(qū)間?0,1?上有最小值和最大值。

由于函數(shù)f(x)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，沒(méi)有不可導(dǎo)點(diǎn)，又函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區(qū)間端點(diǎn)(x?0和x?1)的函數(shù)值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對(duì)于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。 ，既有p?1p?122

4．利用函數(shù)的泰勒展式證明不等式

若函數(shù)f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導(dǎo)數(shù)，又在x0處有n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x0)，則有展式： f"(x0)f""(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止��?/p>

f"(0)f""(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?rn(x) 1!2!n!

在上述公式中若rn(x)?0(或?0)則可得

f"(0)f""(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)， 1!2!n!

f"(0)f""(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)。 或f(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的實(shí)質(zhì)是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個(gè)定量估計(jì)式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復(fù)雜的極限計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡(jiǎn)，其中函數(shù)用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數(shù)f(x)滿足：（1）在區(qū)間?a,b?上有二階導(dǎo)函數(shù)f""(x)，（2）

f"(a)?f"(b)?0，則在區(qū)間?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使

f""(c)?4f(b)?f(a)。 2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f"(a)?f"(b)?0，

得f(x)?f(a)?f""(?)(x?a)2

2! f""(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!

a?bf""(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf""(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f""(?)?f""(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f""(?)?f(?)?,(b?a)224

當(dāng)f""(?)?f""(?)時(shí)，記c??否則記c=?,那么

f""(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻(xiàn)

《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，高等教育出版社，1990. ?1?鄭英元，毛羽輝，宋國(guó)棟編，

?2?趙煥光，林長(zhǎng)勝編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，四川大學(xué)出版社，201*。 ?3?歐陽(yáng)光中，姚允龍，周淵編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，復(fù)旦大學(xué)出版社，201*. ?4?華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，第三版，高等教育出版社201*.

第二篇：導(dǎo)數(shù)證明不等式

導(dǎo)數(shù)證明不等式

一、

當(dāng)x>1時(shí),證明不等式x>ln(x+1)

f(x)=x-ln(x+1)

f"(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)

x>1,所以f"(x)>0,增函數(shù)

所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0

f(x)>0

所以x>0時(shí)，x>ln(x+1)

二、

導(dǎo)數(shù)是近些年來(lái)高中課程加入的新內(nèi)容，是一元微分學(xué)的核心部分。本文就談?wù)剬?dǎo)數(shù)在一元不等式中的應(yīng)用。

例1.已知x∈(0，)，

求證:sinx

第三篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

沒(méi)分都沒(méi)人答埃。。覺(jué)得可以就給個(gè)好評(píng)!

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個(gè)式子令為一個(gè)函數(shù)f(x).對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，判斷這個(gè)函數(shù)這各個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說(shuō)明原不等式了成立了!

1.當(dāng)x>1時(shí),證明不等式x>ln(x+1)

設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)

求導(dǎo)，f(x)"=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無(wú)窮大)上為增函數(shù)

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+1

2..證明：a-a^2>0其中0

f(a)=a-a^2

f"(a)=1-2a

當(dāng)00;當(dāng)1/2

因此，f(a)min=f(1/2)=1/4>0

即有當(dāng)00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，sinx-x=0

如果當(dāng)函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定<在0點(diǎn)的值0，

求導(dǎo)數(shù)有sinx-x的導(dǎo)數(shù)是cosx-1

因?yàn)閏osx-1≤0

所以sinx-x是減函數(shù)，它在0點(diǎn)有最大值0，

知sinx

再證x-x³/6

對(duì)于函數(shù)x-x³/6-sinx

當(dāng)x=0時(shí)，它的值為0

對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得

1-x²/2-cosx如果它<0那么這個(gè)函數(shù)就是減函數(shù)，它在0點(diǎn)的值是最大值了。

要證x²/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時(shí)，x²/2+cosx-1值為0

再次對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得x-sinx

根據(jù)剛才證明的當(dāng)x>0sinx

x²/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0

x²/2-cosx-1<0x>0

所以x-x³/6-sinx是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0

得x-x³/6

利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式x-x²>0，x∈(0,1)成立

令f(x)=x-x²x∈

則f"(x)=1-2x

當(dāng)x∈時(shí),f"(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當(dāng)x∈時(shí),f"(x)<0,f(x)單調(diào)遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當(dāng)x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。

i、m、n為正整數(shù)，且1

第四篇：用導(dǎo)數(shù)證明不等式

用導(dǎo)數(shù)證明不等式

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個(gè)式子令為一個(gè)函數(shù)f(x).對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，判斷這個(gè)函數(shù)這各個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說(shuō)明原不等式了成立了!

1.當(dāng)x>1時(shí),證明不等式x>ln(x+1)

設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)

求導(dǎo)，f(x)\"=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無(wú)窮大)上為增函數(shù)

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+1

2..證明：a-a^2>0其中0

f(a)=a-a^2

f\"(a)=1-2a

當(dāng)00;當(dāng)1/2

因此，f(a)min=f(1/2)=1/4>0

即有當(dāng)00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，sinx-x=0

如果當(dāng)函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定<在0點(diǎn)的值0，

求導(dǎo)數(shù)有sinx-x的導(dǎo)數(shù)是cosx-1

因?yàn)閏osx-1≤0

所以sinx-x是減函數(shù)，它在0點(diǎn)有最大值0，

知sinx

再證x-x³/6

對(duì)于函數(shù)x-x³/6-sinx

當(dāng)x=0時(shí)，它的值為0

對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得

1-x²/2-cosx如果它<0那么這個(gè)函數(shù)就是減函數(shù)，它在0點(diǎn)的值是最大值了。

要證x²/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時(shí)，x²/2+cosx-1值為0

再次對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得x-sinx

根據(jù)剛才證明的當(dāng)x>0sinx

x²/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0

x²/2-cosx-1<0x>0

所以x-x³/6-sinx是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0

得x-x³/6

利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式x-x²>0，x∈(0,1)成立

令f(x)=x-x²x∈

則f\"(x)=1-2x

當(dāng)x∈時(shí),f\"(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當(dāng)x∈時(shí),f\"(x)<0,f(x)單調(diào)遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當(dāng)x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。

i、m、n為正整數(shù)，且1

求證(1+m)^n>(1+n)^m

方法一：利用均值不等式

對(duì)于m+1個(gè)數(shù)，其中m個(gè)(2+m)，1個(gè)1,它們的算術(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)，即

/(m+1)>^

即1+m>(2+m)^

即(1+m)^(1/m)>^

由此說(shuō)明數(shù)列{(1+m)^(1/m)}是單調(diào)遞減的。

方法二：導(dǎo)數(shù)方法

令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0

求導(dǎo)數(shù)

f\"(x)=(1+x)^(1/x)*/x^2

為了考察f\"(x)的正負(fù)

令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0

g\"(x)=-x/(1+x)^2<0,x>0

因此g(x)0,亦即f\"(x)<0

因此f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

令a*b*c=k的3次方

求證(1+a)的-(1/2)次方加(1+b)的-(1/2)次方加(1+c)的-(1/2)次方>=(1+k)的-(1/2)次方

化成函數(shù)，f(x)，求導(dǎo)，可知其單調(diào)區(qū)間，然后求最大最小值即可。

理論上所有題目都可以用導(dǎo)數(shù)做，但有些技巧要求很高。

(1+a)^-1/2+(1+b)^-1/2+(1+c)^-1/2

=(1+a)^-1/2+(1+b)^-1/2+(1+k^3/ab)^-1/2=f(a,b)

對(duì)a求導(dǎo)，f"(a,b)a=0，可得一個(gè)方程，解出即得。

第五篇：導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用

1.【作 者】 楊建輝;布春霞【刊 名】中學(xué)生數(shù)理化(學(xué)研版)【出版日期】201*

【期 號(hào)】第11期【頁(yè) 碼】2-3【參考文獻(xiàn)格式】楊建輝,布春霞.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[j].中學(xué)生數(shù)理化(學(xué)研版),201*,(第11期).

2.【作 者】 趙京之【刊 名】中國(guó)新技術(shù)新產(chǎn)品【出版日期】201*【期 號(hào)】第14期【參考文獻(xiàn)格式】趙京之.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[j].中國(guó)新技術(shù)新產(chǎn)品,201*,(第14期).【摘 要】不等式與等式一樣,在數(shù)學(xué)問(wèn)題中都是非常重要的課題,不等式的研究范圍更廣,難度更大,以函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)不等式,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)為工具,不等式的證明將化難為易,迎刃而解,考慮的角度初步有:中值定理,taylor公式,函數(shù)的單調(diào)性,最值,以及jensen不等式。

3.【作 者】 劉偉【刊 名】電大理工【出版日期】201*【期 號(hào)】第3期【頁(yè) 碼】13-14【參考文獻(xiàn)格式】劉偉.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[j].電大理工,201*,(第3期).

4.【作 者】 顧慶菏【刊 名】邢臺(tái)師范高專學(xué)報(bào)【出版日期】1995【期 號(hào)】第1期【頁(yè) 碼】118-120【參考文獻(xiàn)格式】顧慶菏.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[j].邢臺(tái)師范高專學(xué)報(bào),1995,(第1期).

5.【作 者】 劉開(kāi)生;潘書(shū)林【刊 名】天水師范學(xué)院學(xué)報(bào)【出版日期】201*【期 號(hào)】第3期【頁(yè) 碼】115-116【參考文獻(xiàn)格式】劉開(kāi)生,潘書(shū)林.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[j].天水師范學(xué)院學(xué)報(bào),201*,(第3期).

6.【作 者】 陳萬(wàn)鵬;陳萬(wàn)超【刊 名】大學(xué)數(shù)學(xué)【出版日期】1990【期 號(hào)】第4期【頁(yè) 碼】67-71【參考文獻(xiàn)格式】陳萬(wàn)鵬,陳萬(wàn)超.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[j].大學(xué)數(shù)學(xué),1990,(第4期).

7.【作 者】 高燕【刊 名】考試周刊【出版日期】201*【期 號(hào)】第60期【頁(yè) 碼】69-70【參考文獻(xiàn)格式】高燕.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[j].考試周刊,201*,(第60期).

8.導(dǎo)數(shù)法在證明不等式中的應(yīng)用【作 者】 【刊 名】版)【出版日期】201*【期 號(hào)】第z1期【頁(yè) 碼】5

【參考文獻(xiàn)格式】郝文武.導(dǎo)數(shù)法在證明不等式中的應(yīng)用[j].中學(xué)生數(shù)理化(高二版),201*,(第z1期).

9. 導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的一些應(yīng)用【作 者】 甘啟才【刊 名】廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)【出版日期】201*【期 號(hào)】第s1期【頁(yè) 碼】73-75

【參考文獻(xiàn)格式】甘啟才.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的一些應(yīng)用[j].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),201*,(第s1期).

10.【作 者】 王莉聞【刊 名】考試周刊【出版日期】201*【期 號(hào)】第82期【參考文獻(xiàn)格式】王莉聞.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[j].考試周刊,201*,(第82期).

【摘 要】導(dǎo)數(shù)知識(shí)是高等數(shù)學(xué)中極其重要的部分,它的內(nèi)容、思想和應(yīng)用貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是一種行之有效的好方法,它能使不等式的證明化難為易,迎刃而解.在不等式證明的種種方法中,它占有重要的一席之地.本文將從利用函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的最值（或極值）

11.【作 者】 王翠麗【刊 名】數(shù)學(xué)之友【出版日期】201*【期 號(hào)】第6期【頁(yè) 碼】84，86【參考文獻(xiàn)格式】王翠麗.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[j].數(shù)學(xué)之友,201*,(第6期).

12.【作 者】 王強(qiáng);申玉芹【刊 名】中學(xué)數(shù)學(xué)【出版日期】201*【期 號(hào)】第9期【頁(yè) 碼】6【參考文獻(xiàn)格式】王強(qiáng),申玉芹.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[j].中學(xué)數(shù)學(xué),201*,(第9期).

13.【作 者】 朱帝【刊 名】數(shù)理化學(xué)習(xí)【出版日期】201*【期 號(hào)】第3期【頁(yè) 碼】2-4【參考文獻(xiàn)格式】朱帝.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[j].數(shù)理化學(xué)習(xí),201*,(第3期).

14.【作 者】 王偉珠【刊 名】佳木斯教育學(xué)院學(xué)報(bào)【出版日期】201*【期 號(hào)】第6期【參考文獻(xiàn)格式】王偉珠.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[j].佳木斯教育學(xué)院學(xué)報(bào),201*,(第6期).

15.【作 者】 張根榮;李連方【刊 名】中學(xué)數(shù)學(xué)研究【出版日期】201*【期 號(hào)】第11期【頁(yè) 碼】24-25【參考文獻(xiàn)格式】張根榮,李連方.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[j].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,201*,(第11期).【摘 要】“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心就應(yīng)該是培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．正如波利亞指出的：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題．”“中學(xué)數(shù)學(xué)首要的任務(wù)就是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練”．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，例題、習(xí)題的解答過(guò)程是學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的重要基礎(chǔ)，是學(xué)生學(xué)習(xí)不可缺少的重要組成部分．因此在課堂教學(xué)有限的45分鐘內(nèi)，如何發(fā)揮例題的功能，

16.【作 者】 張萍【刊 名】西部大開(kāi)發(fā)：中旬刊【出版日期】201*【期 號(hào)】第7期【頁(yè) 碼】176-177【參考文獻(xiàn)格式】張萍.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的有關(guān)應(yīng)用[j].西部大開(kāi)發(fā)：中旬刊,201*,(第7期).【摘 要】導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中最基本最重要的內(nèi)容之一，用導(dǎo)數(shù)的方法證明不等式是不等式證明重要的組成部分，具有較強(qiáng)的靈活性和技巧性。掌握導(dǎo)數(shù)在不等式中的證明方法和技巧對(duì)學(xué)好高等數(shù)學(xué)有很大幫助。本文將通過(guò)舉例和說(shuō)明的方式來(lái)闡述不等式證明中導(dǎo)數(shù)的一些方法和技巧，提高學(xué)生用導(dǎo)數(shù)證明不等式的能力．

17.【作 者】 李旭金【刊 名】新作文(教育教學(xué)研究)【出版日期】201*【期 號(hào)】第11期【頁(yè) 碼】31【參考文獻(xiàn)格式】李旭金.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[j].新作文(教育教學(xué)研究),201*,(第11期).

18.【作 者】 李晉【刊 名】大視野【出版日期】201*【期 號(hào)】第3期【頁(yè) 碼】241-243【參考文獻(xiàn)格式】李晉.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[j].大視野,201*,(第3期).

第5期【頁(yè) 碼】24-26【參考文獻(xiàn)格式】高芳.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[j].商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),201*,(第5期).

20.【作 者】 蔡金寶【刊 名】吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào)(學(xué)科版)【出版日期】201*

【期 號(hào)】第9期【頁(yè) 碼】85-86【參考文獻(xiàn)格式】蔡金寶.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[j].吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào)(學(xué)科版),201*,(第9期).

21. 淺談導(dǎo)數(shù)在不等式證明問(wèn)題中的應(yīng)用【作 者】 姜治國(guó)【刊 名】考試(高考 數(shù)學(xué)版)【出版日期】201*【期 號(hào)】第z5期【頁(yè) 碼】54-56【參考文獻(xiàn)格式】姜治國(guó).淺談導(dǎo)數(shù)在不等式證明問(wèn)題中的應(yīng)用[j].考試(高考 數(shù)學(xué)版),201*,(第z5期).

22.導(dǎo)數(shù)在不等式中的一些應(yīng)用【作 者】 陶毅翔【刊 名】寧德師專學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版【出版日期】201*【期 號(hào)】第2期【頁(yè) 碼】123-124，127【參考文獻(xiàn)格式】陶毅翔.導(dǎo)數(shù)在不等式中的一些應(yīng)用[j].寧德師專學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版,201*,(第2期).

23.【作 者】 陳海蘭【刊 名】科技信息【出版日期】201*【期 號(hào)】第8期【參考文獻(xiàn)格式】陳海蘭.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[j].科技信息,201*,(第8期).【摘 要】本文給出了幾種用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式的方法,通過(guò)這些方法,可以比較簡(jiǎn)潔,快速地解決一些不等式的證明問(wèn)題.

24.【作 者】 胡林【刊 名】科技咨詢導(dǎo)報(bào)【出版日期】201*【期 號(hào)】第5期

【頁(yè) 碼】95-96【參考文獻(xiàn)格式】胡林.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[j].科技咨詢導(dǎo)報(bào),201*,(第5期).

25.【作 者】 胡林【刊 名】科技資訊【出版日期】201*【期 號(hào)】第36期【頁(yè) 碼】148【參考文獻(xiàn)格式】胡林.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[j].科技資訊,201*,(第36期).

26.【作 者】 周曉農(nóng)【刊 名】貴陽(yáng)金筑大學(xué)學(xué)報(bào)【出版日期】201*【期 號(hào)】第3期【頁(yè) 碼】107-110+87【參考文獻(xiàn)格式】周曉農(nóng).導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[j].貴陽(yáng)金筑大學(xué)學(xué)報(bào),201*,(第3期).

27.【作 者】 葛江峰【刊 名】中學(xué)理科：綜合【出版日期】201*【期 號(hào)】第9期【頁(yè) 碼】52【參考文獻(xiàn)格式】葛江峰.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[j].中學(xué)理科：綜合,201*,(第9期).【摘 要】新課程試卷將導(dǎo)數(shù)與傳統(tǒng)的不等式證明有機(jī)結(jié)合在一起設(shè)問(wèn)，是一種新穎的命題模式，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)在分析和解決一些函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題的工具作用，以下介紹幾種應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，供大家參考。

28.【作 者】 梁俊平【刊 名】龍巖師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)【出版日期】1997

【期 號(hào)】第3期【頁(yè) 碼】167-170【作者單位】不詳【參考文獻(xiàn)格式】梁俊平.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[j].龍巖師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1997,(第3期).

期【頁(yè) 碼】48-53【參考文獻(xiàn)格式】楊耀池.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[j].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),1985,(第2期).

30. 例說(shuō)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式【作 者】 馮仕虎【刊 名】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版)【出版日期】201*【期 號(hào)】第11期【頁(yè) 碼】109-110【參考文獻(xiàn)格式】馮仕虎.例說(shuō)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式[j].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版),201*,(第11期).

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