第一篇：怎么證明兩條線平行

怎么證明兩條線平行

假如不平行，就會(huì)有一個(gè)焦點(diǎn)，那么這個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)垂足會(huì)構(gòu)成一個(gè)三角形，這個(gè)三角形的內(nèi)角有2個(gè)90度，那么內(nèi)角和就比180度大了，所以是錯(cuò)的，所以……

設(shè)線段為ab，垂直于ab的兩條線為cd，ef，分別交ab于g，h點(diǎn)

假設(shè)cd，ef不平行，則他們會(huì)有交點(diǎn)，設(shè)為o點(diǎn)，

則圖中有三角形ogh出現(xiàn)，又og和oh都垂直于ab，所以〈ogh=90度，〈ohg=90度，〈ogh+〈ohg+〈goh必定大于180度，而三角形內(nèi)角和卻是180度，于事實(shí)矛盾，所以垂直于同一條線段的兩條線相互平行.

假設(shè)，垂直于直線l的兩條直線a,b相交于直線l外一點(diǎn)a。

直線a在直線l上的垂足為m,直線b在直線l上的垂足為n，則點(diǎn)a,m,n組成三角形。

因?yàn)橹本�a,b垂直于直線l，所以，角amn與角anm為90度，

這與三角形定義相矛盾

所以，垂直于同一條線段的兩條線相互平行.

不妨設(shè)：垂直于同一條線段的兩條線不平行，那么，這兩條直線必定有一個(gè)交點(diǎn)o，所以，這三條直線必定會(huì)組成一個(gè)三角形，那么角o必定是一個(gè)存在的角(即角o有實(shí)際度數(shù))那么根據(jù)在三角形中一個(gè)外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和，(因?yàn)閮蓷l直線垂直于同一條直線，所以)外角=90°，其中不相鄰的一個(gè)內(nèi)角也為90°，那么90°+角o(存在的角度)=90°，是不成立的，因此：垂直于同一條線段的兩條線相互平行

假設(shè)是ab和cd，不妨令ab

把他們放在平行的位置

連接ac和bd并延長交于e

則在ab上任取1點(diǎn)f，連接ef和cd都有唯一的交點(diǎn)

反之，在cd上任取1點(diǎn)g，連接eg和ab都有唯一的交點(diǎn)

即兩線段上的點(diǎn)可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系

所以點(diǎn)數(shù)相同

用兩條直線將一個(gè)平行四邊形分成面積相等的4份有無數(shù)種分法。

最常用的兩種用尺規(guī)法分割的方法是：

(1)、連接兩條對(duì)角線。兩條對(duì)角線分割成的4部分就是面積相等的4部分。

(2)、找出四條邊的中點(diǎn)，分別連接相對(duì)兩邊的中點(diǎn)。這兩條相交直線分割成的4部分就是面積相等的4部分。

以上兩種方法是用尺規(guī)法可以完成的，還有無數(shù)種分割法比較復(fù)雜，原理是這樣的：

連接兩條對(duì)角線后找到它們的交點(diǎn)o，過o作任意直線分平行四邊形為兩份。

不難發(fā)現(xiàn)這兩部分是面積、形狀完全相等的兩個(gè)梯形。

過o作其中一個(gè)梯形的中位線，那么梯形被分成面積不相等的兩份(注意，是不相等的兩份)。

假設(shè)中位線與梯形另一邊(即原平行四邊形的一邊)的交點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，那么當(dāng)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)在向梯形較長底邊運(yùn)動(dòng)的過程中，原本面積較大的部分面積逐漸減小，而原本面積較小的部分面積逐漸變大。當(dāng)運(yùn)動(dòng)到某一點(diǎn)的時(shí)候，存在兩部分面積相等的情況。

根據(jù)對(duì)稱性，這個(gè)平行四邊形被分成了面積相等的4份。

但是，第二條直線的位置的確定，需要根據(jù)平行四邊形的實(shí)際情況和先作出的那條任意直線的情況不同而定，所以我還沒找出一個(gè)通用的公式。

第二篇：平行的證明

高中立體幾何證明平行的專題訓(xùn)練

立體幾何中證明線面平行或面面平行都可轉(zhuǎn)化為線線平行，而證明線線平行一般有以下的一些方法：

?1?通過平移;

?2?利用三角形中位線的性質(zhì)；

?3?利用平行四邊形的性質(zhì)；

?4?利用對(duì)應(yīng)線段成比例；

?5?利用面面平行，等等

一．通過“平移”再利用平行四邊形的性質(zhì)

1.如圖，四棱錐p－abcd的底面是平行四邊形，點(diǎn)e、f 分別為棱ab、pd的中點(diǎn)．求證：af?平面pce

第1題圖

2、如圖，已知直角梯形abcd中，ab?cd，ab?bc，ab＝1，bc＝2，cd＝1a作ae?cd，垂足為e，g、f分別為ad、ce的中點(diǎn)，現(xiàn)將?ade沿ae折疊，使得de?ec.

?ⅰ?求證：bc?面cde；

?ⅱ?求證：fg?面bcd；

3.已知直三棱柱abc－a1b1c1中，d, e, f分別為aa1, cc1, ab的中點(diǎn)，m為be

的中點(diǎn),ac?be.求證：

?ⅰ?c1d?bc；

?ⅱ?c1d?平面b1fm.

4、如圖所示,四棱錐pabcd底面是直角梯形,cd?2ab,e為pc的中點(diǎn),

證明:eb?面pad

二．利用三角形中位線的性質(zhì)

5、如圖，已知e、f、g、m分別是四面體的棱ad、cd、bd、bc的中點(diǎn)，求證：am∥平面efg。

6.如圖，abcd是正方形，o是正方形的中心，e是pc的中點(diǎn)。求證：pa?平面bde

7.如圖，三棱柱abc—a1bc中，d為ac的中點(diǎn). 求證：ab1//面bdc1；11

8.如圖，平面abef?平面abcd，四邊形abef與abcd都是直角梯形，?bad??fab?90?，

11bc?ad，be?af,g,h分別為fa,fd的中點(diǎn)

?2?2

?ⅰ?證明：四邊形是平行四邊形；

?ⅱ?四點(diǎn)是否共面？為什么？

e

三．利用平行四邊形的性質(zhì)

9.正方體abcd a1b1c1d1中o為正方形abcd的中心，m為bb1的中點(diǎn)， 求證：d1o//平面a1bc1;

a

10.在四棱錐p?abcd中，ab?cd，ab?dc，為.epd的中點(diǎn)，求證：ae?平面pbc；

11.在如圖所示的幾何體中，四邊形abcd為平行四邊形，?acb?90?ea?平面abcdef//ab,fg//bc,eg//ac,ab?2ef

?1?若m是線段ad的中點(diǎn)，求證：gm//平面abfe;

?2?若ac?bc?2ae，求二面角a-bf-c的大小。

四．利用對(duì)應(yīng)線段成比例

12.如圖：s是平行四邊形abcd平面外一點(diǎn)，m、n分別是sa、bd上的點(diǎn)，且ambn=，求證：mn//平面sdc smnd

13.如圖正方形abcd與abef交于ab，m，n分別為ac和bf上的點(diǎn)且am?fn求證：mn?平面bec

五。利用面面平行

14.如圖，三棱錐p?abc中，pb?底面abc，?bca?90，pb?bc?ca，e為pc的中點(diǎn)，m為ab的中點(diǎn)，點(diǎn)f在pa上，且af?2fp.

（1）求證：be?平面pac；

（2）求證：cm

//平面bef； ?

c

第三篇：平行證明

北師版 八上7單元測(cè)試

一、填空題

1、如圖1，直線ab、cd被直線ef所截①量得∠3=100°，∠4=100°,則ab與cd的關(guān)系是_______，根據(jù)是_____________

②量得∠1=80°,∠3=100°,則ab與cd的關(guān)系是_______，根據(jù)是________________

2、如圖2，be是ab的延長線，量得∠cbe=∠a=∠c ①從∠cbe=∠a，可以判定直線_______與直線_______平行，它的根據(jù)是___________

②從∠cbe=∠c，可以判定直線_______和直線_______平行，它的根據(jù)是___________

圖

1圖2

圖3圖4

3、如圖3，∠α=125°,∠1=50°，則∠β的度數(shù)是_______.

4、如圖4，ad、be、cf為△abc的三條角平分線，則：∠1+∠2+∠3=________.

5、已知，如圖5，ab∥cd，bc∥de，那么∠b+∠

d=__________.

6、已知，如圖6，ab∥cd，若∠abe=130°,∠cde=152°,

則∠bed

=__________.

圖

5圖6

7、在△abc中，若∠a∶∠b∶∠c=1∶2∶3，則∠a=____，

∠b=____， ∠c=____.

8、在△abc中，若∠a=65°,∠b=∠c，則∠b=_______.

9、命題“任意兩個(gè)直角都相等”的條件是_____，結(jié)論是

_____，它是____（真或假）命題.

10、如圖7，根據(jù)圖形及上下文的含義推理并填空：

（1）∵∠a=_______（已知）∴ac∥ed（）

（2）∵∠2=_______（已知）

∴ac∥ed（）

（3）∵∠a+_______=180°（已知）∴ab∥fd（）

圖7圖8

二、選擇題

1.下列語言是命題的是 ()

a.畫兩條相等的線段 b.等于同一個(gè)角的兩個(gè)角相等嗎？

c.延長線段ao到c使oc=oa d.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

2.如圖8，△abc中，∠b=55°,∠c=63°,de∥ab,則∠dec

等于a.63°b.62°c.55°d.118°

3.下列語句錯(cuò)誤的是()

a.同角的補(bǔ)角相等b.同位角相等c.同垂直于一條直線的

兩直線平行d.兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)

4、在△abc中，∠a=50°，∠b、∠c的平分線交于o點(diǎn)，

則∠boc等于（）a.65°b.115°c.80° d.50

5、兩條平行線被第三條直線所截，那么一組同旁內(nèi)角的平分線

a.相互重合b.互相平行c.相互垂直d.無法確定相互關(guān)系

6、如圖9，ab∥cd，∠a=35°,∠c=80°,那么∠e等于（）

a.35b.45°c.55°d.75°

三、判斷下列命題是真命題還是假命題.

（）（1）若|a|=|b|，則a=b;（）（2）若a=b，則a3=b3;

（）（3）若x=a，則x2－(a+b)x+ab=0; （4）如果a2=ab,則a=b; （）（5） 若x＞3，則x＞2.

四、把下列命題寫成“如果??，那么??”的形式，并指出條件和結(jié)論.

（1） 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等； （2）等角的補(bǔ)角相等；

（3）同圓或等圓的半徑相等；（4）自然數(shù)必為有理數(shù)；

（5）同角的余角相等；（6）兩直線平行，同位角相等；

五、解答下列問題

1、如圖，一個(gè)彎形管道abcd的拐角∠abc=120°,∠bcd=60°,這時(shí)說管道ab∥cd對(duì)嗎？為什么？

2、如圖 ，已知∠1與∠2互補(bǔ)，問∠3和∠4互補(bǔ)嗎？為什么？

六、在橫線或括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)姆��?hào)和理由，完成下面的證明過

（1）如圖10 ，已知ef∥ab，∠a+∠aec+∠c=360°求證：ab∥cd

證明：∵ef∥ab（已知）∴∠a+_______=180°又∵∠a+∠aec+∠c=360°()∴∠c+∠cef=_______()

∴_______∥cd()∴ab∥cd()

(2)如圖11，已知∠ade=∠b，∠1=∠2，fg⊥ab，

求證：cd⊥ab

證明：∠ade=∠b（）

∴de∥_______()

∠1=_______()

∵∠1=∠2(

∴∠2=∠3(

cd∥_______(

∠bgf=_______(

又∵fg⊥ab(

∴∠bgf=_______(

∴∠bdc=_______(

∴cd⊥ab(

圖10圖11 ))))))))

七、證明題

1.已知，如圖 ，ad⊥bc，ef⊥bc，∠4=∠c.

求證：∠1=∠2.

2、已知，如圖 ，∠ace是△abc的外角，∠abc與∠ace的角平分線bp、cp交于點(diǎn)p.。求證：∠p=1∠a.2

第四篇：平行四邊形的應(yīng)用證明

初二平行四邊形的應(yīng)用

1.如圖，□abcd中，ae、cf分別與直線db 相交于e和f,且ae//cf, 求證：ce//af.

c

a

2..如圖，□abcd中，bm垂直ac于m,dn垂直ac于n, 求證：四邊形bmdn是平行四邊形。

c

a

3.如圖，□abcd中，點(diǎn)m、n是對(duì)角線ac上的點(diǎn)，且am=cn,de=bf,求證：四邊形mfne是平行四邊形。

e

c

a

4.如圖，ab、cd相交于點(diǎn)o,ac//db,ao=bo,e、f分別為oc、od的中點(diǎn)，連接af、be,求證：af//be.

a

c

d

5.在四邊形abcd中，ab//cd,對(duì)角線ac、bd交于點(diǎn)o，ef過o交ab于e，交cd于f，且oe=of，求證，abcd是平行四邊形。

d

b

6.如圖，過□abcd對(duì)角線的交點(diǎn)o作直線ef交ad、bc分別于e、f，又g、h分別為ob、od的中點(diǎn)， 求證：四邊形ehfg為平行四邊形。

ae

d

b

7.如圖，在□abcd中，e、f、g、h分別是四條邊上的點(diǎn)，且滿足be=df,cg=ah,連接ef、gh。求證：ef與gh互相平分。

af

db

e

8.如圖，以△abc的三條邊為邊向bc的同一側(cè)作等邊△abp、等邊△acq，等邊△bcr，求證：四邊形paqr為平行四邊形。

p

q

9.如圖所示，平行四邊形abcd中，bc=2ab，af=ab=be，且點(diǎn)e、f在直線ab上，求?(推薦訪問公文素材庫：www.weilaioem.com)eof的度數(shù)．c

f

a b

e

第五篇：證明平行的方法

證明平行的方法

高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。

2

方法1：

兩組對(duì)邊分別平行方法2：對(duì)角線互相平分方法3：一組對(duì)邊平行且相等樓上的：試問

兩組對(duì)邊相等

3

證明兩直線平行1.垂直于同一直線的各直線平行。2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。3.平行四邊形的對(duì)邊平行。4.三角形的中位線平行于第三邊。5.梯形的中位線平行于兩底。6.平行于同一直線的兩直線平行。7.一條直線截三角形的兩邊(或延長線)所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。*10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直于弦。*11.利用半圓上的圓周角是直角。

在空間中一定是平行四邊形嗎?

4

證明兩直線平行1.垂直于同一直線的各直線平行。2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。3.平行四邊形的對(duì)邊平行。4.三角形的中位線平行于第三邊。5.梯形的中位線平行于兩底。6.平行于同一直線的兩直線平行。7.一條直線截三角形的兩邊(或延長線)所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。*10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直于弦。

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