第一篇：怎么證明垂直

怎么證明垂直

1、

利用勾股定理的逆定理證明

勾股定理的逆定理提供了用計(jì)算方法證明兩線(xiàn)垂直的方法，即證明三角形其中一個(gè)角等于，由于利用代數(shù)的方法，只要能計(jì)算出待證直角的對(duì)邊的平方和等于另兩邊的平方和即可。

2、

利用“三線(xiàn)合一”證明

要證二線(xiàn)垂直，若能證二線(xiàn)之一是等腰三角形的底邊，另一線(xiàn)是等腰三角形頂角的平分線(xiàn)或底邊上的中線(xiàn)，則二線(xiàn)互相垂直。

3、

利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

4、

圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線(xiàn)等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

5、

利用菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直證明

菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直。

6、

利用全等三角形證明

主要是找出兩線(xiàn)所成的角中有兩角是鄰補(bǔ)角,并且證明這兩角相等,于是就可知這兩角都為,從而直線(xiàn)垂直.

贊同

35

|評(píng)論

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線(xiàn)等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線(xiàn)線(xiàn)垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線(xiàn)經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱(chēng)兩條直線(xiàn)互相垂直。

1向量法兩條直線(xiàn)的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線(xiàn)斜率積為-1

3線(xiàn)面垂直，則這條直線(xiàn)垂直于該平面內(nèi)的所有直線(xiàn)

一條直線(xiàn)垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線(xiàn)定理在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直。

5三垂線(xiàn)定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線(xiàn)和平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么這條直線(xiàn)也垂直于這條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影。

2高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

ⅰ.平行關(guān)系：

線(xiàn)線(xiàn)平行：1.在同一平面內(nèi)無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)平行。2.公理4(平行公理)。3.線(xiàn)面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行。

線(xiàn)面平行：1.直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線(xiàn)與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關(guān)系：

線(xiàn)線(xiàn)垂直：1.直線(xiàn)所成角為90°。2.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直，(更多精彩內(nèi)容請(qǐng)?jiān)L問(wèn)首頁(yè)www.weilaioem.com)那么這條直線(xiàn)與平面內(nèi)的任一直線(xiàn)垂直。

線(xiàn)面垂直：1.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線(xiàn)垂直。2.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線(xiàn)也與此平面垂直。5.一條直線(xiàn)垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線(xiàn)也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面垂直

線(xiàn)線(xiàn)垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線(xiàn)經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱(chēng)兩條直線(xiàn)互相垂直。

1向量法兩條直線(xiàn)的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線(xiàn)斜率積為-1

3線(xiàn)面垂直，則這條直線(xiàn)垂直于該平面內(nèi)的所有直線(xiàn)

一條直線(xiàn)垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線(xiàn)定理在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直。

5三垂線(xiàn)定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線(xiàn)和平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么這條直線(xiàn)也垂直于這條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

。

第二篇：證明垂直習(xí)題

線(xiàn)面、面面垂直的判定及性質(zhì)

一、選擇題

1、已知兩個(gè)平面垂直，下列命題

①一個(gè)平面內(nèi)已知直線(xiàn)必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)． ②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線(xiàn)必垂直于另一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)． ③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)必垂直于另一個(gè)平面．

④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，則此垂線(xiàn)必垂直于另一個(gè)平面．

其中正確的個(gè)數(shù)是（） a．３ｂ．２ｃ．１

ｄ．０

2、已知直線(xiàn)l?平面?，有以下幾個(gè)判斷：①若m?l，則m//?；②若m??，則m//l；

③若m//?，則m?l；④若m//l，則m??．上述判斷中正確的是（）

ａ．①②③ｂ．②③④ｃ．①③④ｄ．①②④

3、直線(xiàn)a不垂直于平面?，則?內(nèi)與a垂直的直線(xiàn)有（）

ａ．0條 ｂ．1條ｃ．無(wú)數(shù)條ｄ．?內(nèi)所有直線(xiàn)

4、在空間四邊形abcd中，若ab?bc，ad?cd，e為對(duì)角線(xiàn)ac的中點(diǎn)，下列判斷正確的是（）

ａ．平面abd?平面bdcｂ．平面abc?平面abd ｃ．平面abc?平面adc

ｄ．平面abc?平面bed

二、填空題

1、已知直線(xiàn)a，b和平面?，且a?b，a??，則b與?的位置關(guān)系是．

2、?，?是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面?及?之外的兩條不同的直線(xiàn)，給出四個(gè)論斷：

①m?n；②???；③n??；④m??．以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作

為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題．

3、設(shè)o為平行四邊形abcd對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，p為平面ac外一點(diǎn)且有pa?pc，pb?pd，則po與平面abcd的關(guān)系是．

第 1 頁(yè)（共 6 頁(yè)三、解答題

1、如圖所示，abcd為正方形，sa?平面abcd，過(guò)a且垂直于sc的平面分別交sb，sc，sd于e，f，g．

求證：ae?sb，ag?sd．

s

2、如圖所示，四棱錐p?abcd的底面是正方形，pa?底面abcd，ae?pd，ef//cd，am?ef．

求證：mf⊥ab，mf⊥pc

p

a

）第 1 頁(yè)（共 6 頁(yè)）

3、如圖，直角△abc所在平面外一點(diǎn)s，且sa?sb?sc，點(diǎn)d為斜邊ac的中點(diǎn)． （1）求證：sd?平面abc；

（2）若ab?bc，求證：bd?面sac．

4、如圖，在正方體abcd—a1b1c1d1中，ef⊥a1d，ef⊥ac，求證：ef∥bd1.

c1

ac

a

5、已知：如圖所示，平面??平面?，????l，在l上取線(xiàn)段ab?4，ac，

bd分別在平面?和平面?內(nèi)，且ac?ab，db?ab，ac?3，bd?12，求cd長(zhǎng)．

6、如圖，在四棱錐p?abcd中平面pad⊥平面abcd，ab?ad，?dab?60?，e，f分別是ap,ab的中點(diǎn)，

求證：（1）ef∥平面pcd，（2）平面bef⊥平面pad

7、如圖，四棱錐p?abcd中，底面abcd是矩形，m，n分別為pa，bc的中點(diǎn)，

pd?平面abcd，pd?ab?

2,cd?1

（1）求證：mn∥平面pcd （2）求證：mc?bd

8、如圖，已知ab?面acd，de?面acd，ac?ad，de?2ab，f為cd中點(diǎn) （1）求證：af∥面bce （2）求證：面bce?

面cde

9、如圖，在四面體abcd中，cd?cb，ad?bd，e，f分別是ab,bd的中點(diǎn)， 求證：（1）ef∥面acd （2）面efc?

面bcd

a

10、如圖，在正方體abcd—a1b1c1d1中，e是dd1的中點(diǎn)， （1）求be和面abb1a1所成角的正弦值

（2）在棱c1d1是否存在一點(diǎn)f，使得b1f∥面a1be？并證明你的結(jié)論

c1

ac

第三篇：利用全等證明垂直問(wèn)題

利用全等證明垂直問(wèn)題

1. 如圖，ad⊥bc于d，ad=bd，de=dc。 猜想并證明be和ac有何關(guān)系？

圖19

2.如圖：在△abc中，be、cf分別是ac、ab兩邊上的高，在be上截取bd=ac，在cf的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取cg=ab，連結(jié)ad、ag。 猜想 ad與ag的關(guān)系，并證明。a g

fe

b

c

作業(yè)：1.如圖，ad是△abc的角平分線(xiàn)，de⊥ab，df⊥ac，垂足分別為e、f，連接ef，ef與ad交于g，ad與eg垂直嗎？證明你的結(jié)論。（6分）

2.如圖, 已知: 等腰rt△oab中,∠aob=900, 等腰rt△eof中,∠eof=900, 連結(jié)ae、bf. 求證: (1) ae=bf;(2) ae⊥bf.

3.兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，b，c，e在同一條直線(xiàn)上，連結(jié)dc．（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：dc⊥be．

c

圖1

圖2

利用全等證明線(xiàn)段的相等以及和、差、倍、分問(wèn)題

1.如圖，△abc中，ab=ac，d是ab上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，df⊥bc于點(diǎn)f，交ca延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)e，

（1）試判斷ad、ae的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)d在ba的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由。

f

備用圖

2.在△abc中，∠c=90°，ac=bc，過(guò)點(diǎn)c在△abc的外部作直線(xiàn)mn（如圖（1））， am⊥mn于m，bn⊥mn于n。（1）求證：mn=am+bn。（2）若將條件改為“過(guò)點(diǎn)c 在△abc內(nèi)作直線(xiàn)mn”，其它條件不變，問(wèn)結(jié)論（1）是否仍然成立？如不成立， 它們之間又滿(mǎn)足怎么的關(guān)系，請(qǐng)畫(huà)出圖形并證明。

m

c

n

a

b

3.如圖23，△abc中，d是bc的中點(diǎn)，過(guò)d點(diǎn)的直線(xiàn)gf交ac于f，交ac的平行線(xiàn)bg于g點(diǎn)，de⊥df，交ab于點(diǎn)e，連結(jié)eg、ef.⑴求證：bg=cf ⑵請(qǐng)你判斷be+cf與ef的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由。

4.如圖,ad⊥bc,bd=dc,點(diǎn)c在ae的垂直平分線(xiàn)上,ab+bd與de的長(zhǎng)度有什么關(guān)系?

并加以證明。（10分）a

bdce5. 已知：三角形abc中，∠a＝90°，ab＝ac，d為bc的中點(diǎn)，（1）如圖，e，

f分為ab,ac上的點(diǎn)，且be＝af，求證：△def為等腰直角三角形．（2）若e，f分別為ab,ca延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，仍有be＝af，其他條件不變，那么，△def是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．

4. 如圖在?afd和?ceb中，點(diǎn)a，e，f，c在同一條直線(xiàn)上

??d

有下面四個(gè)論斷：（1）ad =cb ， （2）ae =cf ， （3）?b

一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，并寫(xiě)出解答過(guò)程.

利用全等證明角的相等以及和、差、倍、分問(wèn)題

1.如圖22⑴，ab=cd，ad=bc，o為ac中點(diǎn)，過(guò)o點(diǎn)的直線(xiàn)分別與ad、bc相

交于點(diǎn)m、n，那么∠1與∠2有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。

若過(guò)o點(diǎn)的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)至圖⑵、⑶的情況，其余條件不變，那么圖⑴中的∠1與∠2的關(guān)系成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

，

（4）ad //bc .請(qǐng)用其中三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，編

2．（201*年綿陽(yáng)市）如圖，△abc中，e、f① ad平分∠bac，② de⊥ab，df⊥ac，

③ ad⊥ef．以此三個(gè)中的兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論，可構(gòu)成三個(gè)命題，

即：

①② ? ③，①③ ? ②，②③ ? ①．

（1）試判斷上述三個(gè)命題是否正確（直接作答）； （2）請(qǐng)證明你認(rèn)為正確的命題．

22．如圖，給出五個(gè)等量關(guān)系：①ad?bc ②ac?bd ③ce?de ④?d??c⑤?dab??cba．請(qǐng)你以其中兩個(gè)為條件，另三個(gè)中的一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)

正確

的結(jié)論（只需寫(xiě)出一種情況），并加以證明．

已知：

求證：證明：

22．如圖，給出五個(gè)等量關(guān)系：①ad?bc ②ac?bd ③c

e?de am④?d??c

17．本題9分，工人師傅要檢查人字梁的∠b和∠c是否相等，但他手邊沒(méi)有量角器，只有一個(gè)刻度尺．他是這樣操作的： ①分別在ba和ca上取be?cg； ②在bc上取bd?cf；

③量出de的長(zhǎng)a米，fg的長(zhǎng)b米．

如果a?b，則說(shuō)明∠b和∠c是相等的．他的這種做法合理嗎？為什么？ ⑤?dab??cba．請(qǐng)你以其中兩個(gè)為條件，另三個(gè)中的一個(gè)為結(jié)論， 推出一個(gè)正確的結(jié)論（只需寫(xiě)出一種情況），并加以證明．8

分 o n b

已知： e

求證：

證明：

b

16．如圖9所示，△abc是等腰直角三角形，∠acb＝90°，ad是bc邊上的中線(xiàn)，過(guò)c作ad的垂線(xiàn)，交ab于點(diǎn)e，交ad于點(diǎn)f，求證：∠adc＝∠．

a b

22. 如圖,有一池塘,要測(cè)池塘兩端a、b的距離,可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)e

和b的點(diǎn)c,連結(jié)ac并延長(zhǎng)到d,使cd=ca.連結(jié)bc并延長(zhǎng)到e,使ec=cb,圖9

a

連結(jié)de,量出de的長(zhǎng),就是a、b的距離.寫(xiě)出你的證明．

d

f

第四篇：證明垂直位置關(guān)系

第五課時(shí)學(xué)案垂直的證明方法

命題預(yù)測(cè)

從近幾年的高考試題來(lái)看，線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定與性質(zhì)等是高考的熱點(diǎn),題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高．客觀(guān)題突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性質(zhì)；主觀(guān)題考查較全面，在考查上述知識(shí)的同時(shí)，還注重考查空間想象、邏輯推理以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

預(yù)測(cè)201*年高考仍將以線(xiàn)面垂直、面面垂直為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象以及邏輯推理能力．

考點(diǎn)1 直線(xiàn)與平面垂直的判定與性質(zhì)

例1、（08天津）如圖，在四棱錐p?abcd中，底面abcd是矩形． 已知ab?3,ad?2,pa?2,pd?22,?pab?60?． （�。┳C明ad?平面pab；

（ⅱ）求異面直線(xiàn)pc與ad所成的角的大��； （ⅲ）求二面角p?bd?a的大小．

變式1：如圖，已知三棱錐a－bpc中,ap⊥pc,ac⊥bc，m為ab中點(diǎn)，d為pb中點(diǎn)，且△pmb為正三角形．求證：(1)md∥平面apc；(2)bc⊥平面apc.

變式2：（12全國(guó)理）如圖，四棱錐p-abcd中，底面abcd為菱形，pa⊥底面abcd，

ac=2pa=2，e是pc上的一點(diǎn)，pe=2ec.

（�。┳C明：pc⊥平面bed；

（ⅱ）設(shè)二面角a-pb-c為90°，求pd與平面pbc所成角的大小.

變式3：（06福建）如圖，四面體abcd中，o、e分別是bd、bc的中點(diǎn)

，

ca?cb?cd?bd?2,ab?ad?

（i）求證：ao?平面bcd；（ii）求異面直線(xiàn)ab與cd所成角的大��；（iii）求點(diǎn)e到平面acd的距離。

b

e

變式4：（11大綱理） 如圖，四棱錐s?abcd中， ab?cd,bc?cd，側(cè)面sab為等邊三角形，ab?bc?2,cd?sd?1．

（ⅰ）證明：sd?平面sab;（ⅱ）求ab與平面sbc所成角的大�。�

例2、（08二）如圖，正四棱柱abcd?a1b1c1d1中，aa1?2ab?4，點(diǎn)e在cc1上

ac1

且c1e?3ec．（ⅰ）證明：a1c?平面bed；（ⅱ）求二面角a1?de?b的大�。甧c

例3、（04湖北）在棱長(zhǎng)為1的正方體abcd－a1b1c1d1中，e 是棱bc的中點(diǎn)，點(diǎn)f是棱cd上的動(dòng)點(diǎn)。（1）試確定點(diǎn)f的位置，使得d1e⊥平面ab1f；

（2）當(dāng)d1e⊥平面ab1f時(shí)，求二面角c1―ef―a的大小。

例4、（12北京理）如圖1，在rt△abc中，∠c=90°，bc=3，ac=6，d，e分別是ac，ab上的點(diǎn)，且de∥bc，de=2，將△ade沿de折起到△a1de的位置，使a1c⊥cd,如圖2. (i)求證：a1c⊥平面bcde；

(ii)若m是a1d的中點(diǎn)，求cm與平面a1be所成角的大��；

(iii)線(xiàn)段bc上是否存在點(diǎn)p，使平面a1dp與平面a1be垂直？說(shuō)明理由

（�。┳C明：面pad⊥面pcd；

考點(diǎn)2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例1、(201*〃高考江蘇卷)如圖，在四棱錐p－abcd中，平面pad⊥平面abcd，ab＝ad， ∠bad＝60°，e，f分別是ap，ad的中點(diǎn)．求證：(1)直線(xiàn)ef∥平面pcd； (2)平面bef⊥平面pad

變式1：如圖，在直三棱柱:abc－a1b1c1中,aa1＝ab＝bc＝3，ac＝2，d是ac的中點(diǎn)． (1)求證：b1c∥平面a1bd；

(2)求證：平面a1bd⊥平面acc1a1； (3)求三棱錐a－a1bd的體積．

變式2：（08湖南）如圖，四棱錐p-abcd的底面abcd是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠bcd＝60°，e是cd的中點(diǎn)，pa⊥底面abcd，pa＝2.

（�。┳C明：平面pbe⊥平面pab;

（ⅱ）求平面pad和平面pbe所成二面角（銳角）的大小.

變式3：（09北京）如圖，四棱錐p?abcd的底面是正方形，

pd?底面abcd，點(diǎn)e在棱pb上.

（�。┣笞C：平面aec?平面pdb；

（ⅱ）當(dāng)pd?

且e為pb的中點(diǎn)時(shí)，求ae與平面pdb所成

的角的大小.

變式4：（05）已知四棱錐p-abcd的底面為直角梯形，ab∥dc，?dab?90?

,pa?底面abcd，

且pa=ad=dc=

12

ab=1，m是pb的中點(diǎn)。

（ⅱ）求ac與pb所成的角；

（ⅲ）求面amc與面bmc所成二面角的大小。

例2、（12高考江蘇）如圖，在直三棱柱abc?a1b1c1中，a1b1?a1c1，d，e分別是棱bc，cc1上的點(diǎn)（點(diǎn)d 不同于點(diǎn)c），且ad?de，f為b1c1的中點(diǎn)． 求證：（1）平面ade?平面bcc1b1；（2）直線(xiàn)a1f//平面ade．

變式：（11遼寧理） 如圖，四邊形abcd為正方形，pd⊥平面abcd，pd∥qa，qa=ab=2pd． （i）證明：平面pqc⊥平面dcq； （ii）求二面角q—bp—c的余弦值．

例3、如圖，四棱錐p－abcd中,底面abcd是∠dab＝60°的菱形,側(cè)面pad為正三角形,其所在平面垂直于底面abcd.(1)求證：ad⊥pb； (2)若e為bc邊的中點(diǎn)，能否在棱pc上找到一點(diǎn)f，使平面def⊥平面abcd？并證明你的結(jié)論．

第五篇：高中立體幾何證明垂直的專(zhuān)題訓(xùn)練

高中立體幾何證明垂直的專(zhuān)題訓(xùn)練

深圳龍崗區(qū)東升學(xué)校—— 羅虎勝

立體幾何中證明線(xiàn)面垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為 線(xiàn)線(xiàn)垂直，而證明線(xiàn)線(xiàn)垂直一般有以下的一些方法： （1） 通過(guò)“平移”。

（2） 利用等腰三角形底邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)。 （3） 利用勾股定理。

（4） 利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，等等。

(1)通過(guò)“平移”,根據(jù)若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐p-abcd中，△pbc為正三角形，ab⊥平面pbc，ab∥cd，ab=

dc，2

e為pd中點(diǎn).求證：ae⊥平面pdc.

分析：取pc的中點(diǎn)f，易證ae//bf，易證

bf⊥平面pdc

2．如圖，四棱錐p－abcdabcd，∠pda=45°，點(diǎn)e為棱ab的中點(diǎn)． 求證：平面pce⊥平面pcd；

分析：取pc的中點(diǎn)g，易證eg//af，又易證af于是eg⊥平面pcd,則平面pce⊥平面pcd

（第2題圖）

3、如圖所示，在四棱錐p?ab中，

a?b平面,pab//cd,pd?ad,e是pb的中點(diǎn)，f是cd上的點(diǎn)，且

df?

ab,ph為?pad中ad邊上的高。 2

（1）證明：ph?平面abcd；

（2

）若ph?1，ad?fc?1，求三棱錐e?bcf的體積； （3）證明：ef?平面pab.

分析：要證ef?平面pab，只要把fe平移到dg，也即是取ap的中點(diǎn)g，易證ef//gd, 易證dg⊥平面pab

4.如圖所示, 四棱錐p?abcd底面是直角梯形

ba?ad,cd?ad,cd?2ab,pa?底面abcd,

e為pc的中點(diǎn), pa＝ad。 證明: be?平面pdc;

分析：取pd的中點(diǎn)f，易證af//be, 易證af⊥平面pdc

（2）利用等腰三角形底邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)

5、在三棱錐p?abc中，ac?bc?2， ?acb?90?，pc?ac．a(chǎn)p?bp?ab，（�。┣笞C：pc?ab；

（ⅱ）求二面角b?ap?c的大��；

p

a

c

b

6、如圖，在三棱錐p?abc中，⊿pab是等邊三角形，∠pac=∠pbc=90 o 證明：ab⊥pc

因?yàn)?pab是等邊三角形，?pac??pbc?90?, 所以rt?pbc?rt?pac,可得ac?bc。 如圖，取ab中點(diǎn)d，連結(jié)pd,cd, 則pd?ab,cd?ab, 所以ab?平面pdc, 所以ab?pc。

（3）利用勾股定理

7、如圖，四棱錐p?abcd的底面是邊長(zhǎng)為1

的正方形，pa?cd,pa?1,pd?求證:pa?平面abcd；

_ b

_ a

_d

_c

8、如圖1，在直角梯形abcd中，ab//cd，ab?ad，且ab?ad?

cd?1． 2

現(xiàn)以ad為一邊向形外作正方形adef，然后沿邊ad將正方形adef翻折，使平面

adef與平面abcd垂直，m為ed的中點(diǎn)，如圖2．（1）求證：am∥平面bec；

（2）求證：bc?平面bde；

e

m

e

c

f

mc

b

a

9、如圖，四面體abcd中，o、

e分別是bd、bc的中點(diǎn)，

ca?cb?cd?bd?2,ab?ad? （1）求證：ao?平面bcd；

（2）求異面直線(xiàn)ab與cd所成角的大��；

（1）證明：連結(jié)oc?bo?do,ab?ad,?ao?bd.

b

e

?bo?do,bc?cd,?

co?bd.

在?aoc中，由已知可得ao?1,co? 而ac?2,

?ao2?co2?ac2,??aoc?90o,即ao?oc.

?bd?oc?o, ?ao?平面bcd

,bc?cd，側(cè)面sab為等邊三角形，

10、如圖，四棱錐s?abcd中，ab?bc

ab?bc?2,cd?sd?1．

（�。┳C明：sd?平面sab;

（ⅱ）求ab與平面sbc所成角的大�。�

解法一：

（i）取ab中點(diǎn)e，連結(jié)de，則四邊形

bcde為

矩形，de=cb=2，連結(jié)se，則se?ab,se?又sd=1，故ed?se?sd，所以?dse為直角。

由ab?de,ab?se,de?se?e，得ab?平面sde，所以ab?sd。sd與兩條相交直線(xiàn)ab、se都垂直。

所以sd?平面sab。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方體abcd—a1b1c1d1中o為正方形abcd的中心，m為bb1的中點(diǎn)， 求證：d1o⊥平面mac.

分析：法一：取ab的中點(diǎn)e，連a1e,oe,易證△abm≌a1ae, 于是am⊥a1e,又∵oe⊥平面abb1a1∴oe⊥am, ∴am⊥平面oea1d1∴am⊥d1o

法二：連om,易證△d1do∽o(hù)bm,于是d1o⊥om

12．如圖，正三棱柱abc—a1b1c1的所有棱長(zhǎng)都為2， d為cc1中點(diǎn). 求證：ab1⊥平面a1bd；

分析： 取bc的中點(diǎn)e，連ae,b1e,易證△dcb≌△ebb1，

從而bd⊥eb1

13、.如圖，已知正四棱柱abcd—a1b1c1d1中， 過(guò)點(diǎn)b作b1c的垂線(xiàn)交側(cè)棱cc1于點(diǎn)e，交b1c于點(diǎn)f， 求證：a1c⊥平面bde；

（5）利用直徑所對(duì)的圓周角是直角

ab是圓o的直徑，c是圓周上一點(diǎn)，pa⊥平面abc. ）求證：平面pac⊥平面pbc；

（2）若d也是圓周上一點(diǎn)，且與c分居直徑ab的兩側(cè)，試寫(xiě)出圖中所有互

相垂直的各對(duì)平面.

p

a

15、如圖，在圓錐po中，已知poo的直徑ab?2,c是狐ab的中點(diǎn)，d為

ac的中點(diǎn)．證明：平面pod?平面pac;

16、如圖，在四棱錐p?abcd中，底面abcd是矩形，pa?平面abcd．以bd的中點(diǎn)o為球心、bd為直徑的球面交pd于點(diǎn)m．

求證：平面abm⊥平面pcd； ．

證：依題設(shè)，ｍ在以ｂｄ為直徑的球面上，則ｂｍ⊥ｐｄ. 因?yàn)椋穑帷推矫妫幔猓悖�，則ｐａ⊥ａｂ，又ａｂ⊥ａｄ， 所以ａｂ⊥平面ｐａｄ，則ａｂ⊥ｐｄ，因此有ｐｄ⊥平面ａｂｍ，所以平面ａｂｍ⊥平面ｐｃｄ.

b

6

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