第一篇：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的本質(zhì)

數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的典型類型是與數(shù)列或數(shù)列求和有關(guān)的問題，凡是與數(shù)列或數(shù)列求和有關(guān)的問題都可統(tǒng)一表述成f(n)?g(n)(n?n?)的形式或近似于上述形式。

這種形式的關(guān)鍵步驟是由n?k時，命題成立推導(dǎo)n?k?1時，命題也成立。為了表示的方便，我們記?左n?f(k?1)?f(k)，?右n?g(k?1)?g(k)分別叫做左增量，右增量。那么，上述證明的步驟可表述為

f(k?1)?f(k)??左k?g(k)??左k?g(k)??右k?g(k?1) 例1．已知an?2n?1，求證：

本題要證后半節(jié)的關(guān)鍵是證 an1a1a2n????n?(n?n?) 23a2a3an?12

2k?1?11?中k??右k即證k?2? 2?12

而此式顯然成立，所以可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。

而要證前半節(jié)的關(guān)鍵是證

12k?1?1?左k??中k即證?k?2 22?1

而此式顯然不成立，所以不能用數(shù)學(xué)歸納法證明。如果不進(jìn)行判斷就用數(shù)學(xué)歸納法證前半節(jié)，忙乎半天，只會徒勞。

有時，f(n)?g(n)(n?n?)中f(n),g(n)是以乘積形式出現(xiàn)， 且f(n)?0,g(n)?0是顯然成立的。此時，可記

?左k?f(k?1)g(k?1)，?右k? f(k)g(k)

分別叫做左增倍，右增倍。那么，用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證明由n?k時，成立推導(dǎo)

n?k?1成立，可表述為

f(k?1)?f(k)??左k?g(k)??左k?g(k)??右k?g(k?1)

和前面所講相似，上述四步中，兩個“=”和“<”都顯然成立，而“≤”是否成立，就需要判斷和證明了，既“?左k??右k”若成立，既可用數(shù)學(xué)歸納法證明；若不成立，則不能用數(shù)學(xué)歸納法證明。因此，可以這樣說，此時，數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的本質(zhì)是證“左增倍≤右增倍”，而判斷能否用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的標(biāo)準(zhǔn)就是看“左增倍≤右增倍”是否成立。

第二篇：歸納法證明不等式

歸納法證明不等式

由于lnx>0則x>1

設(shè)f(x)=x-lnxf"(x)=1-1/x>0

則f(x)為增函數(shù)f(x)>f(1)=1

則x>lnx

則可知道等式成立。。。。。。。。。(運(yùn)用的是定理，f(x),g(x)>0.且連續(xù)又f(x)>=g(x).則在相同積分區(qū)間上的積分也是>=)

追問

請問這個“定理”是什么定理?

我是學(xué)數(shù)學(xué)分析的，書上能找到么?

回答

能你在書里認(rèn)真找找，不是定理就是推論埃。。。。

叫做積分不等式性

數(shù)學(xué)歸納法不等式的做題思路：1、n等于最小的滿足條件的值，說明一下這時候成立，一般我們寫顯然成立，無須證明

2、假設(shè)n=k的時候成立，證明n=k+1的時候也是成立的，難度在這一步。(含分母的一般用放縮法，含根號的常用分母有理化。)

3、總結(jié)，結(jié)論成立，一般只要寫顯然成立。這題大于號應(yīng)該為小于號。當(dāng)n=1,1<2顯然假設(shè)n=k-1的時候成立即1+1/√2+1/√3+...+1/√(k-1)<2√(k-1)則當(dāng)n=k時，

1+1/√2+1/√3+......+1/√(k-1)+1/√k<2√(k-1)+1/√k如果有2√(k-1)+1/√k<2√k就可，只要1/√k<2√k-2√(k-1)=2(√k-√(k-1)=2/，即只要√(k-1<√k,而這顯然。所以1+1/√2+1/√3+......+1/√n>2√n

已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n(n屬于正整數(shù)),求證:當(dāng)n>1時,f(2^n)>n+2/2

(1)n=2時代入成立

(2)假設(shè)n=a時候成立

則n=a+1時

f(2^(a+1))=f(2^a)+1/(2^a+1)+1/(2^a+2)+1/(2^a+3)+……1/(2^(a+1))>

f(2^a)+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+……1/(2^(a+1))

后面相同項一共有2^a個

所以上面又=f(2^a)+2^a/(2^(a+1))=f(2^a)+1/2

因為f(2^a)>(a+2)/2故上面大于<(a+1)+2>/2

因此n=a時上式成立的話n=a+1也成立

1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2，n∈n+)

“1/2^2”指2的平方分之1

證明：數(shù)學(xué)歸納法：

1、∵當(dāng)n=2時有1/2^2=1/4<1-1/2=1/2

∴符合原命題。

2、假設(shè)當(dāng)n=k時1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2<1-1/k(k≥2，k∈n+)成立，

則當(dāng)n=k+1時有1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2+1/(k+1)^2<1-1/k+1/(k+1)^2=(k^3+k^2-1)/(k(k+1)^2)<(k^3+k^2)/(k(k+1)^2)=k/(k+1)=1-1/(k+1)∴原命題成立

綜上可得1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2，n∈n+)成立!!。

第三篇：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

人教版選修4—5不等式選講

課題：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

教學(xué)目標(biāo)：

1、牢固掌握數(shù)學(xué)歸納法(請您繼續(xù)關(guān)注公文素材庫：www.weilaioem.com)的證明步驟，熟練表達(dá)數(shù)學(xué)歸納法證明的過程。

2、通過事例，學(xué)生掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，證明不等式的思想方法。

3、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力和分析問題，解決問題的能力。

重點、 難點：

1、鞏固對數(shù)學(xué)歸納法意義和有效性的理解，并能正確表達(dá)解題過程，以及掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本思路。

2、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的不同方法的選擇和解題技巧。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入：

1、上節(jié)課學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題的步驟，請同學(xué)們回顧，說出數(shù)學(xué)歸納法的步驟？

（1）數(shù)學(xué)歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法。

（2）步驟：1）歸納奠基;

2）歸納遞推。

2、作業(yè)講評：（出示小黑板）

習(xí)題：用數(shù)學(xué)歸納法證明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)

如采用下面的證法，對嗎？

證明：①當(dāng)n=1時，左邊=2=右邊，則等式成立。

②假設(shè)n=k時，（k∈n，k≥1）等式成立，

即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)

當(dāng)n=k+1時，

2+4+6+8+……+2k+2(k+1)

∴ n=k+1時，等式成立。

由①②可知，對于任意自然數(shù)n，原等式都成立。

（1）學(xué)生思考討論。

（2）師生總結(jié)： 1）不正確

2）因為在證明n=k+1時，未用到歸納假設(shè)，直接用等差數(shù)列求和公式，

違背了數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)：遞推性。 二、新知探究

明確了數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)，我們共同討論如何用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式。 (出示小黑板)

例1觀察下面兩個數(shù)列，從第幾項起an始終小于bn？證明你的結(jié)論。 ｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, …… ｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… （1）學(xué)生觀察思考 （2）師生分析

（3）解：從第5項起，an ＜ bn ，即 n2＜2,n∈n+（n≥5）

證明：（1）當(dāng) n=5時，有52＜25，命題成立。 （2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥5）時命題成立 即k＜2

當(dāng)n=k+1時，因為

（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2<2×2k=2k+1 所以，（k+1）2＜2k+1 即n=k+1時，命題成立。

由（1）（2）可知n2＜2n（n∈n+，n≥5）

學(xué)生思考、小組討論：①放縮技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k2

②歸納假設(shè)：2k<2×2

例2

證明不等式│sin nθ│≤n│sinθ│(n∈n+)

k n

n2

2k

分析：這是一個涉及正整數(shù)n的三角函數(shù)問題，又與絕對值有關(guān)，在證明遞推關(guān)系時，應(yīng)注意利用三角函數(shù)的性質(zhì)及絕對值不等式。

證明：（1）當(dāng) n=1時，上式左邊=│sinθ│=右邊，不等式成立。 （2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時命題成立， 即有│sin kθ│≤k│sinθ│

當(dāng)n=k+1時，

│sin （k+1）θ│=│sin kθcosθ+cos kθsin θ│ ≤│sin kθcosθ│+│cos kθsin θ│ =│sin kθ││cosθ│+│cos kθ││sin θ│ ≤│sin kθ│+│sin θ│ ≤k│sinθ│+│sin θ│ =（k+1）│sinθ│

所以當(dāng)n=k+1時，不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式對一切正整數(shù)n均成立。

學(xué)生思考、小組討論：①絕對值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│

②三角函數(shù)的有界性：│sinθ│≤1,│cosθ│≤1 ③三角函數(shù)的兩角和公式。

（板書）例3 證明貝努力（bernoulli）不等式:

如果x是實數(shù)且x＞-1，x≠0,n為大于1的自然數(shù)，那么有（1+x）＞1+nx 分析：①貝努力不等式中涉幾個字母？（兩個：x,n）

②哪個字母與自然數(shù)有關(guān)？(n是大于1的自然是數(shù))

（板書）證：（1）當(dāng)n=2時，左邊=（1+x）=1+2x+x，右邊=1+2x，因x＞0，則原不等式成立．

（在這里，一定要強(qiáng)調(diào)之所以左邊＞右邊，關(guān)鍵在于x＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊）

（2）假設(shè)n=k時（k≥2），不等式成立，即（1+x）＞1+kx． 師：現(xiàn)在要證的目標(biāo)是（1+x）＞1+（k+1）x，請同學(xué)考慮．

生：因為應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，在證明n=k+1命題成立時，一定要運(yùn)用歸納假設(shè)，所以當(dāng)

k+1k

n=k+1時．應(yīng)構(gòu)造出歸納假設(shè)適應(yīng)的條件．所以有：（1+x）=（1+x）（1+x），因為x＞

k

-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）（1+x）＞（1+kx）（1+x）．

師：現(xiàn)將命題轉(zhuǎn)化成如何證明不等式 （1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x． 顯然，上式中“=”不成立．

k+1

k2

n

故只需證：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 提問：證明不等式的基本方法有哪些？

生：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法．

（提問的目的是使學(xué)生明確在第二步證明中，合理運(yùn)用歸納假設(shè)的同時，其本質(zhì)是不等式證明，因此證明不等式的所有方法、技巧手段都適用）

生：證明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比較法． （1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x] =1+x+kx+kx-1-kx-x

=kx＞0（因x≠0，則x＞0）． 所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 生：也可采用綜合法的放縮技巧．

（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx=1+（k+1）x+kx．

因為kx＞0，所以1+（k+1）x+kx＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．

生：……

（學(xué)生可能還有其他多種證明方法，這樣培養(yǎng)了學(xué)生思維品質(zhì)的廣闊性，教師應(yīng)及時引導(dǎo)總結(jié)）

師：這些方法，哪種更簡便，更適合數(shù)學(xué)歸納法的書寫格式？學(xué)生用放縮技巧證明顯然更簡便，利于書寫．

（板書）將例3的格式完整規(guī)范．

證明：（1）當(dāng)n=2時，由x≠0得（1+x）=1+2x+x＞1+2x,不等式成立。

（2）假設(shè)n=k（k≥2）時，不等式成立， 即有（1+x）＞1+kx 當(dāng)n=k+1時，

（1+x）k+1=（1+x）（1+x）＞（1+x）（1+kx）

k

k

=1+x+kx+ kx＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以當(dāng)n=k+1時，不等式成立

由①②可知，貝努力不等式成立。

（通過例題的講解，在第二步證明過程中，通常要進(jìn)行合理放縮，以達(dá)到轉(zhuǎn)化目的） 三、課堂小結(jié)

1．用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個步驟，這兩個步驟是缺一不可的．但從證題的難易來分析，證明第二步是難點和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個轉(zhuǎn)化要求在變化過程中結(jié)構(gòu)不變．

2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是較困難的課題，除運(yùn)用證明不等式的幾種基本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對目標(biāo)，合理放縮，從而達(dá)到目標(biāo)． 四、課后作業(yè)

1．課本p53：1，3，5 2．證明不等式：

第四篇：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式學(xué)案

2.3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 理解數(shù)學(xué)歸納法的定義、數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟;

2.重、難點：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.

一、知識情景：

關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：

10.驗證n取時命題( 即n＝n?時命題成立) (歸納奠基）

20.假設(shè)當(dāng)時命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時命題(歸納遞推）.

30. 由10、20知，對于一切n≥n?的自然數(shù)n命題！(結(jié)論）

要訣: 遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉.

二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：

例1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式sinn?≤nsin?.（n?n?）

例2證明貝努力（bernoulli）不等式:

已知x?r,且x> ?1，且x?0，n?n*，n≥2．求證：(1+x)n>1+nx.

1；

例3 證明: 如果n(n為正整數(shù))個正數(shù)a1,a2,?,an的乘積a1a2?an?1,那么它們的和a1?a2???an≥n.

三、當(dāng)堂檢測

1、（1）不等式2n?n4對哪些正整數(shù)n成立？證明你的結(jié)論。

（2）求滿足不等式(1?1n

n

)?n的正整數(shù)n的范圍。

2、用數(shù)學(xué)歸納法證明

2n?2?n2(n?n*)．

2.3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式作業(yè)紙班級姓名

1、用數(shù)學(xué)歸納法證明3≥n(n≥3,n∈n)第一步應(yīng)驗證()

a.n=1b.n=2c.n=3d.n=4 2、觀察下面兩個數(shù)列，從第幾項起an始終小于bn？證明你的結(jié)論。

｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… k

2n

3、用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意大于1的正整數(shù)n，不等式122?132???1n?1n

?n都成立。

4、若a、b、c三個正數(shù)成等差數(shù)列，公差d?0，自然數(shù)n?2，求證：an?cn?2bn

。

第五篇：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式教案

2.3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 理解數(shù)學(xué)歸納法的定義、數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟;

2.重、難點：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.

一、知識情景：

1. 關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：

10.驗證n取第一個值時命題成立( 即n＝n?時命題成立) (歸納奠基） ；

20. 假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時命題也成立(歸納遞推）.

30. 由10、20知，對于一切n≥n?的自然數(shù)n命題都成立！(結(jié)論）

要訣: 遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉.

二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：

例1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式sinn?≤nsin?.（n?n?）

證明：（1）當(dāng) n=1時，上式左邊=│sinθ│=右邊，不等式成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時命題成立，即有│sin kθ│≤k│sinθ│

當(dāng)n=k+1時，│sin （k+1）θ│=│sin kθcosθ+cos kθsin θ│

≤│sin kθcosθ│+│cos kθsin θ│

=│sin kθ││cosθ│+│cos kθ││sin θ│

≤│sin kθ│+│sin θ│≤k│sinθ│+│sin θ│=（k+1）│sinθ│

所以當(dāng)n=k+1時，不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式對一切正整數(shù)n均成立。

例2． 證明貝努力（bernoulli）不等式:

已知x?r,且x> ?1，且x?0，n?n*，n≥2．求證：(1+x)n>1+nx.

證明：（1）當(dāng)n=2時，由x≠0得（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立。

（2）假設(shè)n=k（k≥2）時，不等式成立，即有（1+x）k＞1+kx

當(dāng)n=k+1時，

（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+x+kx+ kx2＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以當(dāng)n=k+1時，不等式成立

由（1）（2）可知，貝努力不等式成立。

例3 證明: 如果n(n為正整數(shù))個正數(shù)a1,a2,?,an的乘積a1a2?an?1,

那么它們的和a1?a2???an≥n.

三、當(dāng)堂檢測

1、（1）不等式2n?n4對哪些正整數(shù)n成立？證明你的結(jié)論。

1（2）求滿足不等式(1?)n?n的正整數(shù)n的范圍。n

n2*2?2?n(n?n)． 2、用數(shù)學(xué)歸納法證明

證明：（1） 當(dāng)n=1時， 2?2?1，不等式成立； 當(dāng)n=2時， 2?2?2，不等式成立；當(dāng)n=3時， 2?2?3，不等式成立．

*n?k(k?3,k?n)時不等式成立，即 2k?2?k2． （2）假設(shè)當(dāng)

k?1k222則當(dāng)n?k?1時， 2?2?2(2?2)?2?2k?2?(k?1)?k?2k?3， 122232

2kk?3∵，∴?2k?3?(k?3)(k?1)?0，（*）

k?1222k?122?2?(k?1)?k?2k?3?(k?1)2?2?(k?1)從而， ∴． 即當(dāng)n?k?1時，不等式

也成立． 由（1），（2）可知，2?2?n對一切n?n都成立．

四、課堂小結(jié)

1．用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個步驟，這兩個步驟是缺一不可的．但從證題的難易來分析，證明第二步是難點和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個轉(zhuǎn)化要求在變化過程中結(jié)構(gòu)不變．

2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是較困難的課題，除運(yùn)用證明不等式的幾種基本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對目標(biāo)，合理放縮，從而達(dá)到目標(biāo)．

n2*

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