第一篇：弦切角定理證明方法

弦切角定理證明方法

(1)連oc、oa，則有oc⊥cd于點(diǎn)c。得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。進(jìn)而有∠oac=∠bac。

由此可知，0a與ab重合，即ab為⊙o的直徑。

(2)連接bc，且作ce⊥ab于點(diǎn)e。立即可得△abc為rt△，且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。

第一題重新證明如下：

首先證明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

連接oa、oc、bc，則有

∠acd+∠aco=90°

=(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc)

=(1/2)(2∠aco+∠aoc)

=∠aco+(1/2)∠aoc,

所以∠acd=(1/2)∠aoc，

而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圓周角等于圓心角的一半)，

得∠acd=∠cba。

另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，

所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，進(jìn)而ab為⊙o的直徑。

2

證明一：設(shè)圓心為o，連接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb(定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半)

∵∠boc=2∠cab(圓心角等于圓周角的兩倍)

∴∠tcb=∠cab(定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)

證明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切線，a為切點(diǎn)，弧是弦切角∠bac所夾的弧.

求證：(弦切角定理)

證明：分三種情況：

(1)圓心o在∠bac的一邊ac上

∵ac為直徑，ab切⊙o于a，

∴弧cma=弧ca

∵為半圓,

∴∠cab=90=弦ca所對的圓周角(2)圓心o在∠bac的內(nèi)部.

過a作直徑ad交⊙o于d,

若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點(diǎn)e

那么，連接ec、ed、ea

則有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴(弦切角定理)

(3)圓心o在∠bac的外部,

過a作直徑ad交⊙o于d

那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內(nèi)容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等

應(yīng)用舉例

例1：如圖，在rt△abc中，∠c=90，以ab為弦的⊙o與ac相切于點(diǎn)a，∠cba=60°,ab=a求bc長.

解：連結(jié)oa，ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30°

∴bc=1/2a(rt△中30°角所對邊等于斜邊的一半)

例2：如圖，ad是δabc中∠bac的平分線，經(jīng)過點(diǎn)a的⊙o與bc切于點(diǎn)d，與ab，ac分別相交于e，f.

求證：ef∥bc.

證明：連df.

ad是∠bac的平分線∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc于d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

例3：如圖，δabc內(nèi)接于⊙o，ab是⊙o直徑，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，

求證：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.

證明：∵ab是⊙o直徑

∴∠acb=90

∵cd⊥ab

∴∠acd=∠b，

∵mn切⊙o于c

∴∠mca=∠b，

∴∠mca=∠acd，

即ac平分∠mcd，

同理：bc平分∠ncd.

第二篇：弦切角的逆定理的證明

弦切角逆定理證明

已知角cae=角abc，求證ae是圓o的切線

證明：連接ao并延長交圓o于d，連接cd，

則角adc=角abc=角cae

而ad是直徑，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae

所以角dae=角dac+角cae=90度

故ae為切線

第三篇：弦切角定理證明

弦切角定理證明

弦切角定理

編輯本段弦切角定義

頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）

如右圖所示，直線pt切圓o于點(diǎn)c，bc、ac為圓o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都為弦切角。

編輯本段弦切角定理

弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.弦切角定理證明：

證明一：設(shè)圓心為o，連接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半）

∵∠boc=2∠cab(圓心角等于圓周角的兩倍)

∴∠tcb=∠cab（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角）

證明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切線，a為切點(diǎn)，弧是弦切角∠bac所夾的弧.

求證：(弦切角定理)

證明：分三種情況：

(1)圓心o在∠bac的一邊ac上

∵ac為直徑，ab切⊙o于a，

∴弧cma=弧ca

∵為半圓,

∴∠cab=90=弦ca所對的圓周角(2)圓心o在∠bac的內(nèi)部.

過a作直徑ad交⊙o于d,

若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點(diǎn)e

那么，連接ec、ed、ea

則有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴(弦切角定理)

(3)圓心o在∠bac的外部,

過a作直徑ad交⊙o于d

那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內(nèi)容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等

應(yīng)用舉例

例1：如圖，在rt△abc中，∠c=90，以ab為弦的⊙o與ac相切于點(diǎn)a，∠cba=60°,ab=a求bc長.

解：連結(jié)oa，ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30°

∴bc=1/2a(rt△中30°角所對邊等于斜邊的一半)

例2：如圖，ad是δabc中∠bac的平分線，經(jīng)過點(diǎn)a的⊙o與bc切于點(diǎn)d，與ab，ac分別相交于e，f.

求證：ef∥bc.

證明：連df.

ad是∠bac的平分線∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc于d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

例3：如圖，δabc內(nèi)接于⊙o，ab是⊙o直徑，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，

求證：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.

證明：∵ab是⊙o直徑

∴∠acb=90

∵cd⊥ab

∴∠acd=∠b，

∵mn切⊙o于c

∴∠mca=∠b，

∴∠mca=∠acd，

即ac平分∠mcd，

同理：bc平分∠ncd.

第四篇：弦切角定理的證明

弦切角定理的證明

弦切角定理：定義弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.(弦切角就是切線與弦所夾的角)弦切角定理證明

證明：設(shè)圓心為o，連接oc，ob，oa。過點(diǎn)a作tp的平行線交bc于d，

則∠tcb=∠cda

∵∠tcb=90-∠ocd

∵∠boc=180-2∠o(轉(zhuǎn)載需注明來源www.weilaioem.com)cd

∴,∠boc=2∠tcb

證明：分三種情況：

(1)圓心o在∠bac的一邊ac上

∵ac為直徑，ab切⊙o于a，

∴弧cma=弧ca

∵為半圓,

(2)圓心o在∠bac的內(nèi)部.

過a作直徑ad交⊙o于d,

那么

.

(3)圓心o在∠bac的外部,

過a作直徑ad交⊙o于d

那么

2

連接并延長to交圓o于點(diǎn)d，連接bd因?yàn)閠d為切線，所以td垂直tc，所以角btc+角dtb=90因?yàn)閠d為直徑，所以角bdt+角dtb=90所以角btc=角bdt=角a

3

編輯本段弦切角定義頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另圖示一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）如右圖所示，直線pt切圓o于點(diǎn)c，bc、ac為圓o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都為弦切角。編輯本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.弦切角定理證明：證明一：設(shè)圓心為o，連接oc，ob,。∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半）∵∠boc=2∠cab(圓心角等于圓周角的兩倍)∴∠tcb=∠cab（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角）證明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切線，a為切點(diǎn)，弧是弦切角∠bac所夾的弧.求證：(弦切角定理)證明：分三種情況：(1)圓心o在∠bac的一邊ac上∵ac為直徑，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵為半圓,∴∠cab=90=弦ca所對的圓周角b點(diǎn)應(yīng)在a點(diǎn)左側(cè)(2)圓心o在∠bac的內(nèi)部.過a作直徑ad交⊙o于d,若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點(diǎn)e那么，連接ec、ed、ea則有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圓心o在∠bac的外部,過a作直徑ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)編輯本段弦切角推論推論內(nèi)容若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等應(yīng)用舉例例1：如圖，在rt△abc中，∠c=90，以ab為弦的⊙o與ac相切于點(diǎn)a，∠cba=60°,ab=a求bc長.解：連結(jié)oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所對邊等于斜邊的一半)例2：如圖，ad是δabc中∠bac的平分線，經(jīng)過點(diǎn)a的⊙o與bc切于點(diǎn)d，與ab，ac分別相交于e，f.求證：ef∥bc.證明：連df.ad是∠bac的平分線∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如圖，δabc內(nèi)接于⊙o，ab是⊙o直徑，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求證：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.證明：∵ab是⊙o直徑∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.

第五篇：弦切角定理

高二數(shù)學(xué)（文）選修4-1編寫：楊社鋒編號：07-08

教研組長：賈敏 教研室主任：田土娟校審：王宏奇

弦切角定理

學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解弦切角定理的推導(dǎo)過程，掌握切線長定理、弦切角定理的內(nèi)容及其推論 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：切線長定理及弦切角定理

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：切線長定理、弦切角定理及其推論的應(yīng)用

一、基礎(chǔ)知識回顧:

1切線的判定定理及性質(zhì)：

2.切線長定理

切線長：我們把圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長

以上結(jié)論叫做切線長定理：_______________________________________________________ ____________________________________________________

注意：切線長與切線的區(qū)別：

______________________________________________________

______________________________________________________

________________________

(1)寫出圖中所有的垂直關(guān)系:

(2)寫出圖中所有的全等三角形:

(3)寫出圖中所有的相似三角形:

(4)寫出圖中所有的等腰三角形：

2弦切角定理及其推論

圓周角∠cab，讓射線ac繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生無數(shù)個(gè)圓周角，當(dāng)ac繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)至與圓相切時(shí)，停止旋轉(zhuǎn)，得∠bae

問：這時(shí)∠bae還是圓周角嗎？為

什么？

像∠bae這樣的角叫做弦切角，請你仿照圓周角的定義，給出弦切角的定義：______________ __________________________________________________________________________________ 問題： 以下各圖中的角哪個(gè)是弦切角？

思考：(1)弦切角的三要素是什么？

(2)弦切角相對于圓心的位置，分為哪幾類？請?jiān)谟疑戏疆嫵鰣D。

問題:已知如圖，ab是⊙o的一條切線，a為切點(diǎn)，ac是⊙o的一條弦，則∠adc與∠bac有什么關(guān)系?請給出證明。（提示：類比圓周角定理的證明方法）

結(jié)論：弦切角定理：________________________________________________________ 問題：若兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，，那么這兩個(gè)弦切角相等嗎？為什么？

結(jié)論：弦切角定理的推論：___________________________________________________ 三質(zhì)疑互探

例5已知如圖?1??2，ef切圓與點(diǎn)d。求證：

ef // bc

例6 已知：如圖pa ，pb分別與圓o相切于點(diǎn)a和點(diǎn)b，ac是圓o的直徑。求證：

?apb?2?bac

四、當(dāng)堂檢測

1. 如圖，pa、pb是⊙o的切線，切點(diǎn)分別是a、b，直線ef也是⊙o的切線，切點(diǎn)為q，交pa、

pb為e、f點(diǎn)，已知pa?12cm，求△pef的周長.

2. 如圖，ad是δabc中∠bac的平分線，經(jīng)過點(diǎn)a的⊙o與bc切于點(diǎn)d，與ab，ac分別相交

于e，f. 求證：ef∥bc.

3.已知：如圖，p為⊙o外一點(diǎn)，pa，pb為⊙o的切線，a和b是切點(diǎn)，bc是直徑．求證：ac∥op．

課時(shí)作業(yè)

1.在△abc中，ab=5cm bc=7cm ac=8cm, ⊙o與bc、ac、 ab分別相切于 d、 e 、f，則 af=_____, bd=_______ 、cf=________

2.已知pa、pb切⊙o于a、pa=4，則⊙o的半徑為。

3.已知⊙o的半徑為3，點(diǎn)p到圓心o的距離為23，則過點(diǎn)p的兩條切線的夾角為度，切線長為。

4.bc是⊙o的弦，p是bc延長線上一點(diǎn)，pa與⊙o相切于點(diǎn)a，∠abc=25°，∠acb=80，則∠p的度數(shù)為_______．

★5.已知⊙o1和⊙o2外切于點(diǎn)b，pb是兩圓公切線，pa、pb分別與⊙o1、⊙o2相切于a、c，如果ap=2x-3,pc=x+3，則x=。

6.已知：△abc內(nèi)接于⊙o，∠abc=25°，∠acb= 75°，過a點(diǎn)作⊙o的切線交bc的延長線于p，則∠apb等于()a．62.5°b．55°c．50°d．40°． 7.已知：如圖 7－149，pa，pb切⊙o于a，b兩點(diǎn)，ac為直徑，則圖中與∠pab相等的角的個(gè)

數(shù)為()a．1 個(gè)；b．2個(gè)；c．4個(gè)；d．5個(gè)． 8.已知如圖7－150，四邊形abcd為圓內(nèi)接四邊形，ab是直徑，mn切⊙o于c點(diǎn)，∠bcm=38°，那么∠abc的度數(shù)是（）a．38°；b．52°；c．68°；d．42°． 9.已知：如圖6，四邊形abcd的邊ab、bc、cd、da和⊙o分別相切于點(diǎn)l、m、n、p.

想一想： ab+cd與ad+bc之間有什么關(guān)系？說明你結(jié)論的正確性。

b，∠apb=60o，

da

o l

c m b

10.如圖，ab是⊙o的弦，cd是經(jīng)過⊙o上的點(diǎn)m的切線.求證： ⑴ 如果ab//cd，那么am=mb； ⑵ 如果am=bm，那么ab//cd.

★11.如下圖，△abc的∠bac的平分線交外接圓于d，交圓的切線be于e． 求證：（1)．∠ebd=∠dbc；（2）．a(chǎn)b·be=ae·dc．

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