第一篇：怎樣證明面面垂直

怎樣證明面面垂直

如果一平面經(jīng)過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。(面面垂直判定定理)

為方便，下面#后的代表向量。

#cd=#bd-#bc,#ac=#bc-#ba,#ad=#bd-#ba.

對(duì)角線的點(diǎn)積：#ac·#bd=(#bc-#ba)·#bd=#bc·#bd-#ba·#bd

兩組對(duì)邊平方和分別為：

ab2+cd2=ab2+(#bd-#bc)2=ab2+bd2+bc2-2#bd·#bc

ad2+bc2=(#bd-#ba)2+bc2=bd2+ba2+bc2-2#bd·#ba

則ab2+cd2=ad2+bc2等價(jià)于#bd·#bc=#bd·#ba等價(jià)于#ac·#bd=0

所以原命題成立，空間四邊形對(duì)角線垂直的充要條件是兩組對(duì)邊的平方和相等

證明一個(gè)面上的一條線垂直另一個(gè)面;首先可以轉(zhuǎn)化成

一個(gè)平面的垂線在另一個(gè)平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個(gè)平面

然后轉(zhuǎn)化成

一條直線垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運(yùn)用兩個(gè)面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2

一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

如果一平面經(jīng)過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。(面面垂直判定定理)

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。

第二篇：如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設(shè)p是三角形abc所在平面外的一點(diǎn)，p到a,b,c三點(diǎn)的距離相等,角bac為直角，求證：平面pcb垂直平面abc

過p作pq⊥面abc于q，則q為p在面abc的投影，因?yàn)閜到a，b，c的距離相等，所以有qa=qb=qc，即q為三角形abc的中心，因?yàn)榻莃ac為直，所以q在線段bc上，所以在面pcb上有線段pq⊥平面abc，故平面pcb⊥平面abc

2

證明一個(gè)面上的一條線垂直另一個(gè)面;首先可以轉(zhuǎn)化成

一個(gè)平面的垂線在另一個(gè)平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個(gè)平面

然后轉(zhuǎn)化成

一條直線垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運(yùn)用兩個(gè)面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2

一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一(好 范文網(wǎng)www.weilaioem.com)個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。

第三篇：面面垂直證明例題

數(shù)學(xué)面面垂直例題

例4答案：

例8答案：取ac的中點(diǎn)為o，連接op、ob。 ao=oc,pa=pc,故po垂直

ac

第四篇：怎樣證明面面平行

怎樣證明面面平行

線線平行→線面平行如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

線面平行→線線平行如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行。

線面平行→面面平行如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

面面平行→線線平行如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

線線垂直→線面垂直如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

線面垂直→線線平行如果連條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

線面垂直→面面垂直如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

線面垂直→線線垂直線面垂直定義：如果一條直線a與一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a垂直于平面α。

面面垂直→線面垂直如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

三垂線定理如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面的血現(xiàn)在平面內(nèi)的射影，則這條直線垂直于斜線。

2

證明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β沒有公共點(diǎn)

又a在平面α上，b在平面β上

∴直線a、b沒有公共點(diǎn)

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面γ上，b在平面γ上

∴a∥b.

3

用反證法

命題：已知α∥β，ab∈α,求證：ab∥β

證明:假設(shè)ab不平行于β

則ab交β于點(diǎn)p，點(diǎn)p∈β

又因?yàn)閜∈ab，所以p∈α

α、β有公共點(diǎn)p，與命題α∥β不符，所以ab∥β。

4

【直線與平面平行的判定】

定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

【判斷直線與平面平行的方法】

(1)利用定義：證明直線與平面無公共點(diǎn);

(2)利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行;

(3)利用面面平行的性質(zhì)：兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)

5

用反證法

命題：已知α∥β，ab∈α,求證：ab∥β

證明:假設(shè)ab不平行于β

則ab交β于點(diǎn)p，點(diǎn)p∈β

又因?yàn)閜∈ab，所以p∈α

α、β有公共點(diǎn)p，與命題α∥β不符，所以ab∥β。

第五篇：面面垂直

?過點(diǎn)p引三條長(zhǎng)度相等但不共面的線段pa,pb,pc，且?apb??apc?60，

?bpc?90?，求證：平面abc?平面bpc．

bd，求二面角b?ac?d的正弦如圖，ab?平面bcd，bd?cd，若ab?bc?2

值。

a

b

如圖，已知ab是圓o的直徑，pa垂直于?o所在的平面，c是圓周上不同于a,b的任一點(diǎn)，求證：平面pac?平面pbc．a(chǎn)o b

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