第一篇：費馬點

費馬點定義費馬點定義費馬點定義費馬點定義 在一個多邊形中，到每個頂點距離之和最小的點叫做這個多邊形的費馬點費馬點費馬點費馬點。在平面三角形中: (1).三內(nèi)角皆小于三內(nèi)角皆小于三內(nèi)角皆小于三內(nèi)角皆小于120°的三角形的三角形的三角形的三角形，，，，分別以分別以分別以分別以 ab,bc,ca，，，，為邊為邊為邊為邊，，，，向三角形外側(cè)做正三角形向三角形外側(cè)做正三角形向三角形外側(cè)做正三角形向三角形外側(cè)做正三角形abc1,acb1,bca1,然后連接然后連接然后連接然后連接aa1,bb1,cc1,則三線交于一點則三線交于一點則三線交于一點則三線交于一點p,則點則點則點則點p就是所求的費馬點就是所求的費馬點就是所求的費馬點就是所求的費馬點.(2).若三角形有一內(nèi)角大于或等于若三角形有一內(nèi)角大于或等于若三角形有一內(nèi)角大于或等于若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度度度度,則此鈍角的頂點就是所求則此鈍角的頂點就是所求則此鈍角的頂點就是所求則此鈍角的頂點就是所求. (3)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)△△△△abc為等邊三角形時為等邊三角形時為等邊三角形時為等邊三角形時,此時外心與費馬點重合此時外心與費馬點重合此時外心與費馬點重合此時外心與費馬點重合 證明證明證明證明(1)費馬點對邊的張角為120度。 △cc1b和△aa1b中,bc=ba1,ba=bc1,∠cbc1=∠b+60度=∠aba1, △cc1b和△aa1b是全等三角形,得到∠pcb=∠pa1b 同理可得∠cbp=∠ca1p 由∠pa1b+∠ca1p=60度，得∠pcb+∠cbp=60度,所以∠cpb=120度 同理,∠apb=120度，∠apc=120度 (2)pa+pb+pc=aa1 將△bpc以點b為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60度與△bda1重合，連結(jié)pd，則△pdb為等邊三角形，所以∠bpd=60度 又∠bpa=120度，因此a、p、d三點在同一直線上， 又∠apc=120度，所以a、p、d、a1四點在同一直線上，故pa+pb+pc=aa1。 (3)pa+pb+pc最短 在△abc內(nèi)任意取一點m（不與點p重合），連結(jié)am、bm、cm，將△bmc以點b為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60度與△bga1重合，連結(jié)am、gm、a1g(同上)，則aa1<a1g+gm+ma=am+bm+cm.所以費馬點到三個頂點a、b、c的距離最短。 淺談三角形的費馬點法國著名數(shù)學(xué)家費爾馬曾提出關(guān)于三角形的一個有趣問題：在三角形所在平面上，求一點，使該點到三角形三個頂點距離之和最�。�人們稱這個點為“費馬點”．這是一個歷史名題，近幾年仍有不少文獻對此介紹．本文試以課本上的習(xí)題、例題為素材，根據(jù)初中學(xué)生的認知水平，針對這個問題擬定一則思維訓(xùn)練材料，引導(dǎo)學(xué)生通過自己的思維和學(xué)習(xí)，初步了解這個問題的產(chǎn)生、形成、推理和論證過程及應(yīng)用．1．三角形的費馬點費馬（pierre de fermat,1601--1665） 法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。生于博蒙德羅曼。其父曾任法國圖盧茲地方法院的法律顧問。本人身為律師，曾任圖盧茲議會的顧問30多年。他的一系列重要科學(xué)研究成果，都是利用業(yè)余時間完成的。費馬在數(shù)學(xué)方面作出了卓越的貢獻，早年主要研究概率論，對于數(shù)論和解析幾何都有深入研究。他對微分思想的運用比牛頓和萊布尼茲還要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一書中，已對微分理論進行了比較系統(tǒng)的探討。他把直線平面坐標應(yīng)用于幾何學(xué)也早于笛卡兒，在其所著〈平面及空間位置理論的導(dǎo)言〉中，最早提出了一次方程代表直線，二次方程代表截線，對一次與二次方程的一般形式，也進行了研究。費馬還研究了對方程ax2+1=y2整數(shù)解的問題。得出了求導(dǎo)數(shù)所有約數(shù)的系統(tǒng)方法。著名的費馬大定理是費馬提出的至今尚未解決的問題。1637年費馬提出：“不可能把一個整數(shù)的立方表示成兩個立方的和，把一個四次方冪表示成兩個四次方冪的和，一般地，不可能把任一個次數(shù)大于2的方冪表示成兩個同方冪的和。”1665年這一定理提出后，引起了許多著名數(shù)學(xué)家的關(guān)注，至今尚在研究如何證明它的成立，但始終毫無結(jié)果。

費馬在光學(xué)方面，確立了幾何光學(xué)的重要原理，命名為費馬原理。這一原理是幾何光學(xué)的最重要基本理論之一，對于笛卡兒的“光在密媒質(zhì)中比在疏媒質(zhì)中傳播要快”的觀點給予了有力的反駁，把幾何光學(xué)的發(fā)展推向了新的階段。

幾何光學(xué)已有悠久的發(fā)展歷史。公元前400年，我國《墨經(jīng)》中便有光的直線傳播和各種面鏡對光的反射的記載。公元100年亞歷山大里亞的希羅（hero）曾提出過光在兩點之間走最短路程的看法。托勒密在公元130年對光的折射進行過研究。公元1611年開普勒對光學(xué)的研究達到了較高的定量程度。最后，1621年斯涅爾總結(jié)出了光的折射定律。費馬則是用數(shù)學(xué)方法證明了折射定律的主要學(xué)者之一。費馬原理是根據(jù)經(jīng)濟原則提出的，它指出：光沿著所需時間為極值的路徑傳播�？梢岳斫鉃�，光在空間沿著光程為極值的路傳播，即沿光程為最小、最大或常量路徑傳播。費馬定理不但是正確的，同時它與光的反射定律和折射定律具有同等的意義。由于費馬原理的確立，幾何光學(xué)發(fā)展到了費馬（pierre de fermat )是法國數(shù)學(xué)家，1601年8月17日出生于法國南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅。費馬曾提出關(guān)于三角形的一個有趣問題：在三角形所在平面上，求一點，使該點到三角形三個頂點距離之和最�。�人們稱這個點為“費馬點”.引例：有甲乙丙三個村莊，要在中間建一供水站向三地送水，現(xiàn)要確定供水站的位置以使所需管道總長最小？將此問題用數(shù)學(xué)模型抽象出來即為：在△ abc中確定一點p，使p到三頂點的距離之和pa+pb+pc最小。解法如下：分別以ab ac為邊向外側(cè)作正三角形abd ace 連結(jié)cd be交于一點，則該點 即為所求p點。證明：如下圖所示。連結(jié)pa、pb、pc,在△abe和△acd中，ab=ad ae=ac ∠bae=∠bac+60° ∠dac=∠bac+60°=∠bae ∴△abe全等△acd。∴ ∠abe=∠adc 從而a、d、b、p四點共圓∴∠apb=120° ， ∠apd=∠abd=60°同理：∠apc=∠bpc=120°以p為圓心，pa為半徑作圓交pd于f點，連結(jié)af，以a為軸心將△abp順時針旋轉(zhuǎn)60°，已證∠apd=60°∴△apf為正三角形。∴不難發(fā)現(xiàn)△abp與△adf重合。∴bp=df pa+pb+pc=pf+df+pc=cd另在△abc中任取一異于p的點g ，同樣連結(jié)ga、gb、gc、gd，以b為軸心將△abg逆時針旋轉(zhuǎn)60°，記g點旋轉(zhuǎn)到m點.。則△abg與△bdm重合，且m或 在 線 段dg上 或 在dg外。gb+ga=gm+md≥gdga+gb+gc≥gd+gc>dc。從而cd為最短的線段。以上是簡單的費馬點問題，將此問題外推到四點，可驗證四邊形的對角線連線的交點即是所求點。較為完善的程度。

第二篇：費馬點簡潔證明

費馬點(fermat point)

一、前言

費馬(pierre de fermat,1601-1665)是一位律師和法國政府的公務(wù)員，他利用閒暇的時間研究數(shù)學(xué)，他從未發(fā)表他的研究發(fā)現(xiàn)，但是他幾乎與同時代的所有歐洲的大數(shù)學(xué)家保持通信。曾經(jīng)，費馬是歐洲所有數(shù)學(xué)研究進展之交換中心。有一天，他要回答一個收到的問題，『要找出三角形裡最小點的位置，這個最小點是指這點到三個頂點的距離總和為最短』。

「在平面上找一個點，使此點到已知三角形三個頂點的距離和為最小」，這個點就是所謂的費馬點(fermat point)，這個問題可以應(yīng)用在，例如有三個城市，然後要蓋一個交通中心到這三個城市的距離最短這一類的問題。

二、找費馬點

在平面上一三角形abc，試找出內(nèi)部一點p，使得pa?pb?pc為最小。首先，讓我們先找到p點的性質(zhì)，再來研究怎麼做出p點。

p點有什麼性質(zhì)呢？它的位置是否有什麼特殊意義呢？在中學(xué)裡，我們學(xué)過三角形的內(nèi)心、外心、重心以及垂心，p點和這些心之間有關(guān)聯(lián)嗎？還是和有些線段長、角度大小有關(guān)係呢？

?apb、?bpc和?cpa很接近，這三個角度有何關(guān)聯(lián)？

【解法1】

1如右圖，以b點為中心，將?apb旋轉(zhuǎn)60?到?c"bp" ○

因為旋轉(zhuǎn)60?，且pb?p"b，所以?p"pb為一個正三角形?pb?p"p

因此，pa?pb?pc?p"c"?p"p?pc

由此可知當(dāng)c"、p"、p、c四點共線時，pa?pb?pc?p"c"?p"p?pc為最小

2若c"?p"?p共線時，則 ○

???bp"p?60???c"p"b??apb?120

同理，若p"?p?c共線時，則??bpp"?60???bpc?120?

所以p點為滿足?apb??bpc??cpa?120?的點

。

但是，該用什麼方法找出p點呢？

a"

以?abc三邊為邊，分別向外作正三角形abc"、a"bc、ab"c

連接aa"、bb"、cc"

aa"、bb"、cc"三線共點，設(shè)交點為p，即為所求

【證明1】

(在解法1曾提到若pa?pb?pc?p"c"?p"p?pc，即c"p"pc四點共線時，小值，所以p要在cc"上。)

a"

??abb"??ac"c??1??2

則?dpb~?dac"，得?3??4?60? 在pc"上取點p"，使得bp?bp"??bpp"為正三角形

則?abp??c"bp"，得ap?c"p"

所以pa?pb?pc?p"c"?p"p?pc?c"c

【證明2】 pa?pb?pc?c"c有最

所以?cpa"?60? a" ?apb??bpc??cpa?120?，又a"bpc四點共圓(??bpc??ba"c?180?)

故?apc??cpa"?180?，因此p在aa"上 同理可證p在bb"、cc"上，

故p為aa"、bb"、cc"三線交點

三、畫出費馬點

經(jīng)過上面的討論，可以知道，在平面上?abc，想找出一點p，使pa?pb?pc為最小，方法為：分別以ab、bc為邊長做出正三角形?abc"及?a"bc，連接aa"、cc"，兩線交於一點p，p點即為費馬點。

使用上述方法需要注意到一點，?abc的每一個內(nèi)角均小於120?，如果其中有一內(nèi)角大於120?，那麼p點就是?abc最大內(nèi)角的頂點。

第三篇：費馬最后定理的歷史過程

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院1007班廖亞平

被公認執(zhí)世界報紙牛耳地位地位的紐約時報於1993年6月24日在其一版頭題刊登了一則有關(guān)數(shù)學(xué)難題得以解決的消息，那則消息的標題是“在陳年數(shù)學(xué)困局中，終於有人呼叫?我找到了?”。時報一版的開始文章中還附了一張留著長發(fā)、穿著中古世紀歐洲學(xué)袍的男人照片。這個古意盎然的男人，就是法國的數(shù)學(xué)家費馬（pierre de fermat）（費馬小傳請參考附錄）。費馬是十七世紀最卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻，因為他的本行是專業(yè)的律師，為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣，世人冠以“業(yè)余王子”之美稱，在三百六十多年前的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘數(shù)學(xué)家戴奧芬多斯的數(shù)學(xué)書時，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個看起來很簡單的定理這個定理的內(nèi)容是有關(guān)一個方程式 xn + yn =zn的正整數(shù)解的問題，當(dāng)n=2時就是我們所熟知的畢氏定理（中國古代又稱勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之兩股，也就是一個直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和，這個方程式當(dāng)然有整數(shù)解（其實有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13...等等。

費馬聲稱當(dāng)n>2時，就找不到滿足xn +yn = zn的整數(shù)解，例如：方程式x3 +y3=z3就無法找到整數(shù)解。

當(dāng)時費馬并沒有說明原因，他只是留下這個敘述并且也說他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這個定理的證明妙法，只是書頁的空白處不夠無法寫下。始作俑者的費馬也因此留下了千古的難題，三百多年來無數(shù)的數(shù)學(xué)家嘗試要去解決這個難題卻都徒勞無功。這個號稱世紀難題的費馬最後定理也就成了數(shù)

學(xué)界的心頭大患，極欲解之而後快。

十九世紀時法國的法蘭西斯數(shù)學(xué)院曾經(jīng)在一八一五年和一八六０年兩度懸賞金質(zhì)獎?wù)潞腿�百法郎給任何解決此一難題的人，可惜都沒有人能夠領(lǐng)到獎賞。德國的數(shù)學(xué)家佛爾夫斯克爾（p. www.weilaioem.comat）是十七世紀最偉大的數(shù)學(xué)家之一，1601年8月20日生於法國南部土魯士（toulous）附近的一個小鎮(zhèn)，父親是一個皮革商，1665年1月12日逝世。

費馬在大學(xué)時專攻法律，學(xué)成後成為專業(yè)的律師，也曾經(jīng)當(dāng)過土魯士議會議員。

費馬是一位博覽群書見廣多聞的諄諄學(xué)者，精通數(shù)國語言，對於數(shù)學(xué)及物理也有濃厚的興趣，是一位多采多藝的人。雖然他在近三十歲才開始認真專研數(shù)學(xué)，但是他對數(shù)學(xué)的貢獻使他贏得業(yè)余王子（the prince of amateurs）之美稱。這個頭銜正足以表彰他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一級成就，他在笛卡兒（descartes）之前引進解析幾何，而且在微積分的發(fā)展上有重大的貢獻，尤其為人稱道的是費馬和巴斯卡(pascal)被公認是機率論的先驅(qū)。然而人們所津津樂道的則是他在數(shù)論上的一些杰作，例如費馬定

理（又稱費馬小定理，以別於費馬最後定理）：ap&ordm; a(modp)，對任意整數(shù)a及質(zhì)數(shù)p均成立。這個定理第一次出現(xiàn)於1640年的一封信中，此定理的證明後來由歐拉（euler）發(fā)表。費馬為人非常謙虛、不尚名利，生前很少發(fā)表論文，他大部分的作品都見諸於與友人之間的信件和私人的札記，但通常都未附證明。最有名的就是俗稱的費馬最后定理，費馬天生的直覺實在是異常敏銳，他所斷言的其他定理，後來都陸續(xù)被人證出來。有先見之明的費馬實在是數(shù)學(xué)史上的一大奇葩

第四篇：心靈的房間

心靈的房間

心靈的房間，不打掃就會落滿灰塵。蒙塵的心，會變得灰色和迷茫。我們每天都要經(jīng)歷很多事情，開心的，不開心的，都在心里安家落戶。心里的事情一多，就會變得雜亂無序，然后心也跟著亂起來。有些痛苦的情緒和不愉快的記憶，如果充斥在心里，就會使人委靡不振。所以，掃地除塵，能夠使黯然的心變得亮堂；把事情理清楚，才能告別煩亂；把一些無謂的痛苦扔掉，快樂就有了更多更大的空間。

浙江金華白龍橋?qū)嶒炐�學(xué)三年級:鄭志豪80

第五篇：我的房間

我的房間

我們每個人都有自己的一個小房間，我也是，我把它稱為是我的小天地，我非常喜歡它，它給我?guī)�來了無限的快樂，接下來，我便大家介紹一下吧！打開門，走進我的房間，首先映入眼簾的是我那張暖和又舒適的床，花兒有綠的、紅的、黃的、還有草地的青翠，這便是床單和被子的顏色，活潑動感的色彩搭配，絕對是家中一道亮麗的風(fēng)景。床的左邊是一個大衣柜，里面的衣服靜靜地掛著，也沒什么新鮮的。床的右邊是一張象牙白的寫字臺；上面放著一個銀灰色的小臺燈，我在晚上用它來照明、看書、寫作業(yè)；在它的旁邊還放著一個很漂亮的功夫熊貓玩具和一個紅色的鬧鐘，它每天早上都會準時的叫我起床，使我不得不從美夢中醒來，再往它的旁邊看，你就會發(fā)現(xiàn)一個相當(dāng)可愛的筆筒，它是米奇的形狀，筆筒放了一袋圓珠筆管、兩個中性筆殼、一只可擦水筆，一只2b鉛筆。還有削筆器、計算器等等。有桌子當(dāng)然也有椅子，那是一把粉紅色的椅子，寫字臺的右邊是一整面四扇明亮的落地窗，它被一個落地窗簾罩住了，窗簾上有一片片五顏六色的葉子，在炎熱的夏天，我看著窗簾就會想到秋天，那一片片的葉子，似乎讓我感覺到一陣陣秋風(fēng)的涼意，心情便不再浮躁，而是變得十分寧靜的。特別是冬天，每當(dāng)清晨太陽就會透過落地窗照射進房間里，使我覺得暖洋洋的。床的正對面是一張長方形的原木電視矮柜，上面擺放著一臺48英寸等離子高清電視，每到周末，它便是我的“忠實好友”，它能帶領(lǐng)我進入更精彩的世界，縱觀世間趣聞。左邊是一個胡桃木五層的書柜。上面是媽媽的書，大部份是一些養(yǎng)生，醫(yī)學(xué)，保健的書，而下面則是我的“私人財產(chǎn)”書柜里裝著歡我平時最喜看的書。什么課外閱讀、訂閱的書刊，窗邊的小豆豆，查理與大玻璃升降機、十萬個為什么??真是琳瑯滿目，令人眼花繚亂。盡管數(shù)量很多，他們還是按高矮個擺放得很整齊。它用其獨特的魅力，把我引入知識的海洋。書柜的正上方是一臺美的空調(diào)，在炎熱的夏天，開啟空調(diào)，會感到很涼爽；在寒冷的冬天，開啟空調(diào)，會感到好溫暖。好舒服。空調(diào)的功能真不錯！我房間的白墻上有我小時侯的涂鴉作品。嘻嘻~在我房間的頂上有一盞太陽圖案的大吊燈，它總能讓我進入甜甜的夢鄉(xiāng)。

這就是我的房間，可愛、漂亮、我愛我的房間！更愛我的爸爸媽媽，是他們給予我這珍貴的、溫馨的房間。

福建福州鼓樓區(qū)井大小學(xué)四年級:夢想天空

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