第一篇：高中數(shù)學 必修1 集合教案

學習周報專業(yè)輔導學習

集合（第1課時）

一、知識目標：①內(nèi)容：初步理解集合的基本概念，常用數(shù)集，集合元素的特

征等集合的基礎知識。

②重點：集合的基本概念及集合元素的特征

③難點：元素與集合的關系

④注意點：注意元素與集合的關系的理解與判斷；注意集合中元

素的基本屬性的理解與把握。

二、能力目標：①由判斷一組對象是否能組成集合及其對象是否從屬已知集合，

培養(yǎng)分析、判斷的能力；

②由集合的學習感受數(shù)學的簡潔美與和諧統(tǒng)一美。

三、教學過程：

�。┣榫霸O置：

軍訓期間，我們經(jīng)常會聽到教官在高喊：（x）的全體同學集合！聽到口令，咱們班的全體同學便會從四面八方聚集到教官的身邊，而那些不是咱們班的學生便會自動走開。這樣一來教官的一聲“集合”（動詞）就把“某些指定的對象集在一起”了。數(shù)學中的“集合”這一概念并不是教官所用的動詞意義下的概念，而是一個名詞性質(zhì)的概念，同學們在教官的集合號令下形成的整體即是數(shù)學中的集合的涵義。

ⅱ）探求與研究：

① 一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集。

問題：同學們能不能舉出一些集合的例子呢？（板書學生們所舉出的一些例子）

② 為了明確地告訴大家，是哪些“指定的對象”被集在了一起并作為一個

整體來看待，就用大括號{ }將這些指定的對象括起來，以示它作為一個

整體是一個集合，同時為了討論起來更方便，又常用大寫的拉丁字母a、

b、c??來表示不同的集合，如同學們剛才所舉的各例就可分別記

為??（板書）

另外，我們將集合中的“每個對象”叫做這個集合的元素，并用小寫字

母a、b、c??（或x1、x2、x3??）表示

同學口答課本p5練習中的第1大題

③ 分析剛才同學們所舉出的集合例子，引出：

對某具體對象a與集合a，如果a是集合a中的元素，就說a屬于集合

a，記作a∈a；如果a不是集合a的元素，就說a不屬于集合a，記作

a?a

④ 再次分析同學們剛才所舉出的一些集合的例子，師生共同討論得出結論：

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性。

然后請同學們分別閱讀課本p5和p40上相關的內(nèi)容。

⑤ 在數(shù)學里使用最多的集合當然是數(shù)集，請同學們閱讀課本p4上與數(shù)集有

關的內(nèi)容，并思考：常用的數(shù)集有哪些？各用什么專用字母來表示？你

能分別說出各數(shù)集中的幾個元素嗎？（板書n、z、q、r、n*（或n+））

注意：數(shù)0是自然數(shù)集中的元素。這與同學們腦子里原來的自然數(shù)就是

1、2、3、4??的概念有所不同

同學們完成課本p5練習第2大題。

http://.cn

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注意：符號“∈”、“?”的書寫規(guī)范化

練習： （一）下列指定的對象，能構成一個集合的是

① 很小的數(shù)

② 不超過30的非負實數(shù)

③ 直角坐標平面內(nèi)橫坐標與縱坐標相等的點

④ π的近似值

⑤ 高一年級優(yōu)秀的學生

⑥ 所有無理數(shù)

⑦ 大于2的整數(shù)

⑧ 正三角形全體

a、②③④⑥⑦⑧b、②③⑥⑦⑧c、②③⑥⑦

d、②③⑤⑥⑦⑧

（二）給出下列說法：

① 較小的自然數(shù)組成一個集合

② 集合{1，-2，，π}與集合{π，-2，，1}是同一個集合

③ 某同學的數(shù)學書和物理書組成一個集合

④ 若a∈r，則a?q

⑤ 已知集合{x，y，z}與集合{1，2，3}是同一個集合，則x=1，y=2，

z=3

其中正確說法個數(shù)是（）

a、1個b、2個c、3個d、4個

（三）已知集合a={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}，且1∈a，求實數(shù)a 的值

ⅲ）回顧與總結：

1． 集合的概念

2． 元素的性質(zhì)

3．幾個常用的集合符號

ⅳ）作業(yè)：①p7習題1.1第1大題

②閱讀課本并理解概念

課后反思：這節(jié)課由于開學典禮的影響，沒有來得及全部上完。等待明天繼續(xù)上

然后與老教師產(chǎn)生一節(jié)課的差距�？傮w來看，比昨天稍微好一點，語氣上連貫了

些，但是還沒有理清自己上課的思路，到了課堂上原本的準備有些忘記了。

http://.cn

第二篇：高中數(shù)學《余弦定理》教案1 蘇教版必修5

1.2余弦定理 第1課時

知識網(wǎng)絡

三角形中的向量關系→余弦定理 學習要求

1． 掌握余弦定理及其證明； 2． 體會向量的工具性；

3． 能初步運用余弦定理解斜三角形． 【課堂互動】

自學評價

1．余弦定理：

(1)a2?b2?c2?2bc?cosa，______________________，______________________. (2) 變形：cosa?

b

2

?c

2

?a

2

，

2bc

___________________，___________________ .

2．利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：

（１）_______________________________； （２）_______________________________． 【精典范例】

【例1】在?abc中，

（1）已知b?3，c?1，a?600，求a； （2）已知a?4，b?5，c?6，求a（精確到0.10）． 【解】

點評: 利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：（１）已知三邊，求三個

用心愛心角；（２）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角．

【例2】a,b兩地之間隔著一個水塘，聽課隨筆

擇另一點c，測ca?182m,cb?126m,?acb?630

，

求a,b兩地之間的距離確到1m）．

【解】

【例3】用余弦定理證明：在?abcc為銳角時，a2?b2?c2；當ca2?b2?c2

．

【證】

點評:余弦定理可以看做是勾股定理的推廣． 追蹤訓練一

１．在△ａｂｃ中，

求a；

（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，

２．若三條線段的長為５，６，７，則用這

三條線段（）ａ．能組成直角三角形 ｂ．能組成銳角三角形 ｃ．能組成鈍角三角形

專心

ｄ．不能組成三角形

３．在△ａｂｃ中，已知a2?b2?ab?c2，試求∠ｃ的大�。�

４．兩游艇自某地同時出發(fā)，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行駛，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏東４５°的方向行駛，問：經(jīng)過４０ｍｉｎ，兩艇相距多遠？

【選修延伸】

【例4】在△abc中，bc=a，ac=b，且a，b是方程x2

?23x?2?0的兩根，

2cos?a?b??1。

（1） 求角c的度數(shù)；

（2） 求ab的長； （3）求△abc的面積。 【解】

用心愛心

【例5】在△abc中，角a、b、c聽課隨筆

分別為a，b，c，證明： a2

?b2

?a?b?。

c

2?

sinsinc

追蹤訓練二

1．在△abc中，已知b?2，

c?1，b=450則a?（） a2b

6?2

2 c

6?2

6?22

d2

2．在△abc中，已知ab=5，ac=6，bc=31則a=（）

a?2???

b3

c6d4

3．在△abc中，若b?10，c?15，c=?

6

則此三角形有解。

4、 △abc中，若a2

?c2

?bc?b2

， 則a=_______.

專心

【師生互動】

用心愛心 專心3

第三篇：高中數(shù)學 《余弦定理(1)》教案1 蘇教版必修5

第 3 課時： 1.2余弦定理（1）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

2.能夠運用余弦定理理解解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題

3.通過三角函數(shù)、余弦定理、向量數(shù)量積等多處知識間聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.

二、過程與方法

利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題

三、情感、態(tài)度與價值觀

1.培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；

2.通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

【教學重點與難點】：

重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用；

難點：向量方法證明余弦定理.

【學法與教學用具】：

1. 學法：

2. 教學用具：多媒體、實物投影儀.

【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創(chuàng)設情景，揭示課題

1.正弦定理的內(nèi)容？

2.由正弦定理可解決哪幾類斜三角形的問題？

二、研探新知

1．余弦定理的向量證明：

方法1：如圖，在?abc中，ab、bc、ca的長分別為c、a、b．∵ac?ab?bc，?????????

∴ac?ac?(ab?bc)?(ab?bc)?ab?????????????????????2?2ab?bc?bc?????????2

b?ab???2?2|ab|?|bc|cos(1800?b)+bc222?????????2?c2?2accosb?a2 即b?c?a?2accosb；

同理可證：a?b?c?2bccosa，c?a?b?2abcosc． 222222

方法2：建立直角坐標系，則a(0,0),b(ccosa,csina),c(b,0)．所以

a2?(ccosa?b)2?(csina)2?c2cos2a?c2sin2a?2bccosa?b2?b2?c2?2bccosa，同理可證 1

b2?c2?a2?2accosb，c2?a2?b2?2abcosc

注意：此法的優(yōu)點在于不必對a是銳角、直角、鈍角進行分類討論．

于是得到以下定理

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

b2?c2?a2

a?b?c?2bccosa?cosa? 2bc222

c2?a2?b2

b?c?a?2accosb?cosb? 2ca222

a2?b2?c2

c?a?b?2abcosc?cosc? 2ab222

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？

語言敘述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 用符號語言表示：a2?b2?c2?2bccosa，?等；

2. 理解定理

注意：（1）熟悉定理的結構，注意“平方”“夾角”“余弦”等

（2）余弦定理的應用：①已知三邊，求三個角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角

（3）當夾角為90?時，即三角形為直角三角形時即為勾股定理（特例）

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

（4）變形：cosa?cosb?cosc? 2bc2ac2ac

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？

（由學生總結）若?abc中，c=900，則cosc?0，這時c2?a2?b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1 （教材p在?abc中，（1）已知b?3,c?1,a?600，求a；（2）已知a?4,b?5,c?6，14例1）

求a

7，8的三角形中，求最大角與最小角的和 例2 邊長為5，

例3 在?abc中，最大角a為最小角c的2倍，且三邊a、b、c為三個連續(xù)整數(shù)，求a、b、c的值

例4 在?abc中，a、b是方程x?23x?2?0的兩根，又2cos(a?b)?1，求：（1）角c的度數(shù)；（2）求ab的長；（3）?abc的面積

四、鞏固深化，反饋矯正

1．在?abc中，sina:sinb:sinc?3:5:7，那么這個三角形的最大角是_____ 2

2. 在?abc中，(a?c)(a?c)?b(b?c)，則a?______

在?abc中，s?a2?b2?c2

3. 4，則角c的度數(shù)是______

4. 在?abc中，已知a?7,b?8,cosc?13

14，則最大角的余弦值是______

5.已知銳角三角形的邊長分別是1、3、a，則a的取值范圍是_______

6.用余弦定理證明：在?abc中，當c為銳角時，a2?b2?c2；當c為鈍角時，a2?b2?c2．

五、歸納整理，整體認識

1.余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的應用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

六、承上啟下，留下懸念

1．書面作業(yè)

七、板書設計（略）

八、課后記：

第四篇：高中數(shù)學 《正弦定理(1)》教案1 蘇教版必修5

第 1 課時： 1.1正弦定理（1）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容和推導過程；

2.能解決一些簡單的三角形度量問題（會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題）；能夠運用正弦定理解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題；

3.通過三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識間聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.

4.在問題解決中,培養(yǎng)學生的自主學習和自主探索能力．

二、過程與方法

讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

三、情感、態(tài)度與價值觀

1.培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；

2.培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思想能力，通過三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

【教學重點與難點】：

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

【學法與教學用具】：

1. 學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系：abc??，接著就一般斜三角形sinasinbsinc

進行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷，新穎。

2. 教學用具：多媒體、實物投影儀、直尺、計算器

【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創(chuàng)設情景，揭示課題

1.在直角三角形中的邊角關系是怎樣的？

2.這種關系在任意三角形中也成立嗎？

3.介紹其它的證明方法

二、研探新知

1.正弦定理的推導

ab,sinb?,sinc?1， cc

abcabc 即 c?，c?，c?∴== sinasinbsincsinasinbsinc（1）在直角三角形中：sina?

能否推廣到斜三角形？

（2）斜三角形中

證明一：（等積法，利用三角形的面積轉(zhuǎn)換）在任意斜△abc中，先作出三邊上的高ad、be、cf，則ad?csinb，be?asinc，cf?bsina．所以s?abc?111absinc?acsinb?

bcsina，每項222

1abc

??同除以abc即得：．

2sinasinbsinc

證明二：（外接圓法）如圖所示，∠a＝∠d

bcaa?2r，?2r ??cd?2r同理 ∴

sinasindsinbsinc

???????????????

證明三：（向量法）過a作單位向量j垂直于ac，由ac+cb?ab，兩邊同乘以單位向量j得j

????????????????

?(ac+cb)?j?ab，則j?ac+j?cb?j?ab

??????

????????????

∴|j|?|ac|cos90?+|j|?|cb|cos(90??c)=| j|?|ab|cos(90??a)

ac

∴asinc?csina∴=

sinasinc????cbabc

??同理，若過c作j垂直于cb得：=∴ sinasinbsincsincsinb

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sina

2.理解定理

?

b

sinb

?

c

sin

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksina,b?ksinb,c?ksinc；

（2）

abcabbcac

==等價于=，=，=，即可得正弦定理的sinasinbsincsinasinbsinbsincsinasinc

變形形式：

1）a?2rsina,b?2rsinb,c?2rsinc；

abc

,sinb?,sinc?； 2r2r2r

3）sina:sinb:sinc?a:b:c．

2）sina?

（3）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可解決以下兩類斜三角形問題：1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；如a?

bsina

； sinb

a

sinb。 b

2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角．如sina?一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形，有兩解或一解（見圖示）．

a?bsinabsina?a?ba?ba?b

一解兩解一解一解

abc

注意：（1）正弦定理的敘述：在一個三角形中。各邊和它所對角的正弦比相等，==

sinasinbsinc

它適合于任何三角形。（2）可以證明

abc

?2r（r為△abc外接圓半徑） ==

sinasinbsinc

（3）每個等式可視為一個方程：知三求一

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1 已知在?abc中，c?10,a?450,c?300,求a,b和b 解：?c?10,a?45,c?30∴b?180?(a?c)?105由

ac

?得sinasinc

csina10?sin450bc

???2 a?由得 sinbsincsincsin300

csinb10?sin1050?20

b???20sin75?20??56?52 0

sinc4sin30

例2 在?abc中，b?,b?600,c?1,求a和a,c

bccsinb1?sin6001解：∵?,?sinc???，?b?c,b?600,?c?b,c為銳角，

sinbsincb23

?c?300,b?900∴a?b2?c2?2

例3 ?abc中，c?6,a?450,a?2,求b和b,c

accsina6?sin450300

?,?sinc???解：? ?csina?a?c,?c?60或120 sinasinca22csinb6sin750

?當c?60時，b?75,b???3?1， 0

sincsin60

csinb6sin150

?當c?120時，b?15,b????1

sincsin600

?b??1,b?750,c?600或b?3?1,b?150,c?1200

例4 試判斷下列三角形解的情況： （1）已知b?11,c?12,b?600

（2）已知a?7,b?3,a?1100（3）已知b?6,c?9,b?450

四、鞏固深化，反饋矯正

1.在?abc中，三個內(nèi)角之比a:b:c?1:2:3，那么a:b:c等于____ 2.在?abc中，b?1350,c?150,a?5,則此三角形的最大邊長為_____

3.在?abc中，已知a?xcm,b?2cm,b?450，如果利用正弦定理解三角形有兩解，則的取值范圍是_____ 4.在?abc中，已知b?2csinb，求?c的度數(shù)

五、歸納整理，整體認識

1．用三種方法證明了正弦定理：

（1）轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關系；（2）利用向量的數(shù)量積．（3）外接圓法 2．理論上正弦定理可解決兩類問題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

（2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角．

3.（1）判斷三角形的形狀特征，必須深入研究邊與邊的大小關系：是否兩邊相等？是否三邊相等？還要研究角與角的大小關系：是否兩角相等？是否三角相等？有無直角？有無鈍角？

（2）此類問題常用正弦定理（或?qū)�學習的余弦定理）進行代(轉(zhuǎn)載請注明來源Wwww.weilaioem.com)換、轉(zhuǎn)化、化簡、運算，揭示出邊與邊，或角與角的關系，或求出角的大小，從而作出正確的判斷．六、承上啟下，留下懸念

七、板書設計（略） 八、課后記：

第五篇：高中數(shù)學 《基本不等式的證明(1)》教案3 蘇教版必修5

第 10 課時： 3.4.1基本不等式的證明（1）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；

2.會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題；

3.學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；

4.理解兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋；

二、過程與方法

1.通過實例探究抽象基本不等式；

2.本節(jié)學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎。兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學品質(zhì)

三、情感、態(tài)度與價值觀

1.通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣

2.培養(yǎng)學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數(shù)形結合的想象力

【教學重點與難點】：

?a?b的證明過程；

2a?b等號成立條件及 “當且僅當a?b時取等號”的數(shù)學內(nèi)涵 2

【學法與教學用具】：

1.學法：先讓學生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實際問題還原出數(shù)學本質(zhì)，可積極調(diào)動地學生的學習熱情。定理的證明要留給學生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過類比得到答案

2.教學用具：直角板、圓規(guī)、投影儀（多媒體教室）

【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創(chuàng)設情景，揭示課題

a?

b 2

a?b2.

的幾何背景： 21. 提問：

如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？（教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系）。

二、研探新知

22重要不等式 ：一般地，對于任意實數(shù) a、b，我們有a?b?2ab，當且僅當a?b時，等號成立。

證明: a?b?2ab?(a?b),當a?b時，(a?b)?0,當a?b時,

(a?b)?0,

1 22222

所以a?b?2ab

22注意強調(diào)當且僅當a?b時, a?b?2ab 22

注意：（1）等號成立的條件，“當且僅當”指充要條件；

（2） 公式中的字母和既可以是具體的數(shù)字，也可以是比較復雜的變量式，因此應用范圍比較廣泛。

基本不等式：對任意正數(shù)a、b

，有a?b?當且僅當a?b時等號成立。 2

a?b?當且僅當a?b時等號成立。 2證法1：可以將基本不等式2看作是基本不等式1的推論。 由基本不等式1，

得2?2?

?

證法2：a?

b11?

?2?2??2?

0?a?b222

時，取“?”。

a?

b，只要證?a?

b，只要證0?a?

b，只要證0?2

a?

b??a?b時，取“?”。 2

a?b?證法4：對于正數(shù)a,b

有2?

0，?a?b?

?0?a?b??2

a?

b說明： 把a,b的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)，上述不等式可敘述為：兩個正2證法3

?

數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 上述結論可推廣至3個正數(shù)。

（1）基本不等式成立的條件是：a?0,b?0

（2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3）

a?b?ab的幾何解釋：（如圖1）以a?b為直徑作圓，在直徑ab上取一點c， 過c作弦2

a?bdd??ab，則cd2?ca?cb?ab，從而cd?ab，而半徑?cd?ab

2a?b?幾何意義是：“半徑不小于半弦” 2b （4）當且僅當a?b時，取“?”的含義：一方面是當a?b時取等號，即

a?ba?b

??；另一方面是僅當a?b時取等號，即

2（圖1） a?b??a?b。 2（3）

22（5）如果a,b?r，那么a?b?2ab（當且僅當a?b時取“?”）．

（6）如果把a?b看作是正數(shù)a、b的等差中項，ab看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該定理可以敘2

述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項

.

2.在數(shù)學中，我們稱a?b為a、b的算術平均數(shù)，稱ab為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘2

述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1 （教材p88例1）設a,b為正數(shù)，證明下列不等式成立：（1）

證明：（1）∵a,b為正數(shù)，∴ba1??2；（2）a??2 abababa,也為正數(shù)，由基本不等式得??2∴原不等式成立。 ab

ab（2）∵a,1

a

均為正數(shù)，由基本不等式得a?1

a??2，∴原不等式成立。

例2 已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

證明：∵a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，∴a2?b2?2ab，b2?c2?2bc，c2?a2?2ca， 以上三式相加：2(a2?b2?c2)?2ab?2bc?2ca，所以，a2?b2?c2?ab?bc?ca．

例3 已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證(ab?cd)(ac?bd)?4abcd．

證明：由a,b,c,d都是正數(shù)，得：

ab?cd

2??

0，ac?bd

2??0，∴(ab?cd)(ac?bd)

4?abcd，即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd．

例4 已知函數(shù)y?x?1

x?1,x?(1,??)，求y的范圍

例5

2?2．

?0， 又x2?3?1，

?，

22

???

?2?2．

四、鞏固深化，反饋矯正

1.已知x,y都是正數(shù)，求證： (x?y)(x2?y2)(x3?y3)?8x3y3

2.已知a,b,c都是正數(shù)，求證：(a?b)(b?c)(c?a)?8abc；

3. 思考題：若x?0，求x?1

x的最大值

五、歸納整理，整體認識

1．算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念；

2．基本不等式及其應用條件；

3．不等式證明的三種常用方法。

小結：正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)

六、承上啟下，留下懸念

七、板書設計（略）

八、課后記：

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