我們知道，在實數(shù)范圍內，解方程是無能為力的，只有把實數(shù)集擴充到復數(shù)集才能解決。對于復數(shù)a＋bi（a、b都是實數(shù)）來說，當b=0時，就是實數(shù)；當b≠0時叫虛數(shù)，當a=0，b≠0時，叫做純虛數(shù)�？墒牵瑲v史上引進虛數(shù)，把實數(shù)集擴充到復數(shù)集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進虛數(shù)的呢？

　　16世紀意大利米蘭學者卡當（1501—1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當公式”。他是第一個把負數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成=40，盡管他認為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40。給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學》（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)’‘與“實的數(shù)”相對應，從此，虛數(shù)才流傳開來。

　　數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星──虛數(shù)，于是引起了數(shù)學界的一片困惑，很多大數(shù)學家都不承認虛數(shù)。德國數(shù)學家菜不尼茨（1664—1716）在1702年說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。瑞士數(shù)學大師歐拉（1707—1783）說；“一切形如，習的數(shù)學武子都是不可能有的，想象的數(shù)，因為它們所表示的是負數(shù)的平方根。對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻�！比欢�，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地。法國數(shù)學家達蘭貝爾（1717—1783）在1747年指出，如果按照多項式的四則運算規(guī)則對虛數(shù)進行運算，那么它的結果總是的形式（a、b都是實數(shù)）（說明：現(xiàn)行教科書中沒有使用記號＝－i，而使用=一1）。法國數(shù)學家棣莫佛（1667—1754）在1730年發(fā)現(xiàn)公式了，這就是著名的探莫佛定理。歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示一1的平方根，首創(chuàng)了用符號i作為虛數(shù)的單位。“虛數(shù)”實際上不是想象出來的，而它是確實存在的。挪威的測量學家成塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學術界的重視。

　　德國數(shù)學家高斯（1777—1855）在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個平面上的點來表示。在直角坐標系中，橫軸上取對應實數(shù)a的點A，縱軸上取對應實數(shù)b的點B，并過這兩點引平行于坐標軸的直線，它們的交點C就表示復數(shù)a＋bi。象這樣，由各點都對應復數(shù)的平面叫做“復平面”，后來又稱“高斯平面”。高斯在1831年，用實數(shù)組（a，b）代表復數(shù)a＋bi，并建立了復數(shù)的某些運算，使得復數(shù)的某些運算也象實數(shù)一樣地“代數(shù)化”。他又在1832年第一次提出了“復數(shù)”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法──直角坐標法和極坐標法加以綜合。統(tǒng)一于表示同一復數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點與實數(shù)—一對應，擴展為平面上的點與復數(shù)—一對應。高斯不僅把復數(shù)看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復數(shù)與向量之間—一對應的關系，闡述了復數(shù)的幾何加法與乘法。至此，復數(shù)理論才比

　　較完整和系統(tǒng)地建立起來了。

　　經(jīng)過許多數(shù)學家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復數(shù)理論，才使得在數(shù)學領域游蕩了200年的幽靈──虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛呵。虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而實數(shù)集才擴充到了復數(shù)集。

　　隨著科學和技術的進步，復數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數(shù)學本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)。

　　多考資料；

　　《趣味數(shù)學史話》張開新

　　選自《中學生數(shù)學》2001年4月上

　　鴿籠原理

　　一、一個匈牙利數(shù)學家小時的故事

　　路易·波薩（Louis Pósa）是匈牙利的年青數(shù)學家，1988年時約40歲。他在14歲時就已能夠發(fā)表有相當深度的數(shù)學論文。大學還沒有讀完，就已獲得科學博士的頭銜。

　　他的媽媽是一個數(shù)學家。小時他受母親的影響，很愛思考問題。母親看他對數(shù)學有興趣，也鼓勵他在這方面發(fā)展。她給他一些數(shù)學游戲，或數(shù)學玩具啟發(fā)他獨立思考問題。在母親的循循善誘之下，他在讀小學時已經(jīng)自己拿高中的數(shù)學書來看了。真正訓練他成為一個數(shù)學家的是匈牙利鼎鼎有名的大數(shù)學家。

　　厄杜斯在數(shù)論、圖論等數(shù)學分支有很深入的研究，他把一生獻給數(shù)學，從來沒有想到結婚，只和自己的母親為伴，他經(jīng)常離開自己的祖國到外國去作研究和演講。在東歐國家里像厄杜斯能這樣隨意離開自己的國家進出西方世界的數(shù)學家并不太多。他到處以數(shù)學會友，他在數(shù)學方面的多產，以及在解決問題上有巧妙的方法，使他在世界數(shù)學界上享有甚高的聲譽。對于他的祖國來講，他重要的貢獻不單是在數(shù)學的研究，而是他一回到自己的國家就專心致志地培養(yǎng)年青一代的數(shù)學家，告訴他們外國目前數(shù)學家注意的問題，擴大他們的視野。

　　我這里要講他怎么樣發(fā)現(xiàn)路易·波薩的才能的故事。

　　有一次他從國外回來后，聽到朋友講起有一個很聰明的小東西，在小學能解決許多困難的數(shù)學問題，于是就登門拜訪這小鬼的家庭。

　　波薩的家人很高興請厄杜斯教授共進晚餐。在喝湯的時候，厄杜斯想考一考坐在他旁邊的12歲小孩的能力，于是就問他這樣的一個問題：

　　“如果你手頭上有n+1個整數(shù)，而這些整數(shù)是小于或等于2n，那么你一定會有一對數(shù)是互素的。你知道這是什么原因嗎？”

　　這小鬼不到半分鐘的思考，就很快給出這個問題的解答。他的解答又是那么巧妙，使得厄杜斯教授嘆服。認為這是一個難得的“英才”，應該好好地培養(yǎng)。

　　厄杜斯以后系統(tǒng)地教這小鬼數(shù)學，不到兩年的時間波薩就成為一個“小數(shù)學家”了，而且發(fā)現(xiàn)在圖論一些深湛的定理。

　　二、波薩怎樣解決厄杜斯提的問題

　　對于許多離開學校很久的讀者，我想做一點解釋厄杜斯提出的問題。

　　首先我們解釋：一對數(shù)是互素是什么意思？

　　我們知道如果把自然數(shù)1，2，3，4，5，…照大小排起來，從2開始像2，3，5，7，11，13，17，19，23，…，等數(shù)都有這樣特別的性質：除1和本身以外，再找不到比它小的數(shù)能整除它。

　　具有這樣特殊性質的數(shù)我們稱它為素數(shù)（Prime number）。

　　我們小學時不是學習過把整數(shù)因子分解嗎？那就是把整數(shù)用素數(shù)的乘積來表示。例如50＝2×5×5，108=2×2×3×3×3＝22×33。

　　兩個自然數(shù)稱為互素（Coprime），如果把它們表示成素數(shù)乘積時，找不到它們有公共的素因數(shù)。例如{8，11}一對數(shù)是互素。10和108不是互素，因為它們有公共的素因數(shù)2。

　　現(xiàn)在讓我們來理解厄杜斯的問題。先對一些特殊的情況來考慮：

　　當n=2時，我們手頭上有3個整數(shù)，這些整數(shù)是小于或等于4，可以選出的只是{2，3，4}，不包含1，很明顯的看出{2，3}或{3，4}是互素的。

　　n=3時，在小于或等于6的整數(shù)找4個整數(shù)組（不要包含1），可能找出的有{2，3，4，5}，{2，3，4，6}，{3，4，5，6}，{2，4，5，6}等等。你一個個檢查一定會在每組中找出最少一對互素的數(shù)。

　　可以看出隨著n增大時，構造n＋1個不同數(shù)的數(shù)組的個數(shù)就會增加很大。如果我們是這樣一個一個地對這些數(shù)組來檢查證明，這真會成為：“吾生也有涯，而數(shù)無涯”，那時候皓首不但窮盡不了，最后真是要“嗚呼哀哉”了！

　　如果讀者中有人說：“我有苦干和拚命干的精神！”我還是要勸他不要用這樣的苦干法，應該學會“巧干”，這才是最重要的。不然的話，人家小孩子用不到半分鐘就解決了的問題，而我們苦干再加上拚命干卻花一生還沒法子解決，這不是太浪費生命嗎？

　　我現(xiàn)在準備介紹波薩對這問題的解法。可是我希望讀者先自己想想看怎么樣解決這問題。如果你能找到和下面不同的解決方法，請來信告訴我。如果你花過一些時間還想不出，那么就請讀下去，你這時就會欣賞波薩解決方法的巧妙，而最重要的你會學懂“鴿籠原理”，說不定以后你成為業(yè)余數(shù)學家或者專業(yè)數(shù)學家還會用到這個原理呢！

　　波薩是這樣考慮問題：取n個盒子，在第一個盒子我們放1和2，在第二個盒子我們放3和4，第三個盒子是放5和6，依此類推直到第n個盒子放2n-1和2n這兩個數(shù)。

　　現(xiàn)在我們在n個盒子里隨意抽出n＋1個數(shù)。我們馬上看到一定有一個盒子是被抽空的。因此在這n+1個數(shù)中曾有兩個數(shù)是連續(xù)數(shù)，很明顯的連續(xù)數(shù)是互素的。因此這問題就解決了！

　　你說這個解法是不是很容易明白又非常巧妙呢？！

　　三、鴿籠原理

　　波薩在證明過程中用到在數(shù)學上稱為鴿籠原理（PigeonholePrinciple）的東西。這原理是這樣說的：如果把n+1個東西放進n個盒子里，有一些盒子必須包含最少2個東西。

　　有高六層的鴿籠，每一層有四個間隔，所以總共有6×4＝24個鴿籠�，F(xiàn)在我放進25只鴿進去，你一定看到有一個鴿籠會有2只鴿要擠在一起。

　　鴿籠原理就是這么簡單，3歲以上的小孩子都會明白。

　　可是這原理在數(shù)學上卻是有很重要的應用。

　　在19世紀時一個名叫狄利克雷（Dirichlet 1805—1859）的數(shù)學家，在研究數(shù)論的問題時最早很巧妙運用鴿籠原理去解決問題。后來德國數(shù)學家敏古斯基（Minkowski 1864—1909）也運用這原理得到一些結果。

　　到了20世紀初期杜爾（A．Thue 1863—1922）在不知道狄利克雷和敏古斯基的工作情況下，很機巧地利用鴿籠原理來解決不定方程的有理數(shù)解的問題，有12篇論文是用到這個原理。

　　后來西根（C．L．Siegel，1896—？）利用杜爾的結果發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)在稱為西根引理的東西，這引理（Lemma）是在研究超越數(shù)時是最基本必用的工具。

　　因此讀者不要小看這個看來簡單的原理，你如果善于運用是能幫助你解決一些數(shù)學難題的。

　　四、鴿籠原理的日常運用

　　我這里舉一些和日常生活有關的一些問題，你可以看到數(shù)學在這里的運用。

　�。�1）月黑風高穿襪子

　　有一個晚上你的房間的電燈忽然間壞了，伸手不見五指，而你又要出去，于是你就摸床底下的襪子。你有三雙分別為紅、白、藍顏色的襪子，可是你平時做事隨便，一脫襪就亂丟，在黑暗中不能知道哪一雙是顏色相同的。

　　你想拿最少數(shù)目的襪子出去，在外面借街燈配成同顏色的一雙。這最少數(shù)目應該是多少？

　　如果你懂得鴿籠原理，你就會知道只需拿出去四只襪子就行了。

　　為什么呢？因為如果我們有三個涂上紅、白、藍的盒子，里面各放進相對顏色的襪子，只要我們抽出4只襪子一定有一個盒子是空的，那么這空的盒子取出的襪子是可以拿來穿。

　　（2）手指紋和頭發(fā)

　　據(jù)說世界上沒有兩個人的手指紋是一樣的，因此警方在處理犯罪問題時很重視手指紋，希望通過手指紋來破案或檢定犯人。

　　可是你知道不知道：在12億中國人當中，最少有兩個人的頭發(fā)是一樣的多？

　　道理是很簡單，人的頭發(fā)數(shù)目是不會超過12億這么大的數(shù)目字！假定人最多有N根頭發(fā)�，F(xiàn)在我們想像有編上號碼1，2，3，4，…一直到N的房子。

　　誰有多少頭發(fā)，誰就進入那編號和他的頭發(fā)數(shù)相同的房子去。因此張樂平先生的“三毛”應該進入“3號房子”。

　　現(xiàn)在假定每間房巳進入一個人，那么還剩下“九億減N”個人，這數(shù)目不會等于零，我們現(xiàn)在隨便挑一個放進一間和他頭發(fā)數(shù)相同的房子，他就會在里面遇到和他有相同頭發(fā)數(shù)目的同志了。

　�。�3）戲院觀眾的生日

　　在一間能容納1500個座位的戲院里，證明如果戲院坐滿人時，一定最少有五個觀眾是同月同日生。

　　現(xiàn)在假定一年有三百六十五天。想像有一個很大的鴿子籠，這籠有編上“一月一日”，“一月二日”，至到“十二月三十一日”為止的標志的間隔。

　　假定現(xiàn)在每個間隔都塞進四個人，那么 4×365=1460個是進去鴿子籠子里去，還剩下1500-1460=40人。只要任何一人進入鴿子籠，就有五個人是有相同的生日了。

　　五、鴿籠原理在數(shù)學上的運用

　　現(xiàn)在我想舉一些數(shù)學上的問題說明鴿籠原理的運用。

　�。�1）斐波那契數(shù)的一個性質

　　斐波那契數(shù)列是這樣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。從1，1以后的各項是前面兩項的數(shù)的和組成。

　　在18世紀時法國大數(shù)學家和物理學家拉格朗日（J．L．La-grange）發(fā)現(xiàn)這斐波那契數(shù)有這樣有趣的性質：

　　如果你用2來除各項，并寫下它的余數(shù)，你會看到這樣的情形1，1，0，1，1，0，1，1，0，…

　　如果用3來除各項，寫下它的余數(shù)，你就得到

　　1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…

　　如果用4來除各項，寫下它的余數(shù)，你就會得到

　　1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…

　　現(xiàn)在觀察用2除所得的數(shù)列，從開頭算起每隔三段，后面的數(shù)列就重復前面的數(shù)列。用3除所得的數(shù)列，從開頭算起每隔八段，后面的數(shù)列就重復前面的數(shù)列樣子。對于以4除所得的余數(shù)數(shù)列也有同樣的情況：每隔六段，后面的數(shù)列就重復前面的數(shù)列樣子。

　　拉格朗日發(fā)現(xiàn)不管你用什么數(shù)字去除，余數(shù)數(shù)列會出現(xiàn)有規(guī)律的重復現(xiàn)象。

　　為什么會有這樣的現(xiàn)象呢？

　　如果我們用一個整數(shù)K來除斐波那契數(shù)列的數(shù)，它可能的余數(shù)是0，1，2，…，K－1。

　　由于在斐波那契數(shù)的每一項是前面兩項的和，它被K除后的余數(shù)是等于前兩項被K除余數(shù)的和。（注意：如果這和是大過K，我們取它被K除后的余數(shù)）只要有一對相鄰的余數(shù)重復出現(xiàn)，那么以后的數(shù)列從那對數(shù)開始就會重復出現(xiàn)了。不同對相鄰余數(shù)可能的數(shù)目有K2個，因此由鴿籠原理，我們知道只要適當大的項數(shù)，一定會有一對相鄰余數(shù)重復。因此斐波那契數(shù)列的余數(shù)數(shù)列會有周期重復現(xiàn)象。

　　（2）五個大頭釘在等邊三角板里的位置

　　有一個每邊長2單位的正三角形（即三邊都相等的三角形）的三角板。

　　你隨便在上面釘上五個大頭釘，一定會有一對大頭釘?shù)木嚯x是小過一單位。

　　你不相信的話，可以做幾次實驗看看是否一直是如此。我現(xiàn)在要用鴿籠原理來解決這個問題。

　　在三角板的每邊取中點，然后用線段連結這些中點，把這正三角形分成四個全等的小正三角形圖。現(xiàn)在在每一個小三角形里任何兩點的距離是不會超過1個單位。

　　由于我們有五個大頭釘，不管怎么樣放一定有兩個要落進同一個小正三角形里，因此這兩個大頭釘?shù)木嚯x是不會超過一個單位。

　　六、動腦筋 想想看

　　（1）給出任意12個數(shù)字，證明當用11來除時，一定有一對數(shù)的余數(shù)是相同。

　　（2）如果在一個每邊都是2單位的正三角形板上隨便釘上17個大

　�。�3）如果在一個每邊都是2單位的正方形板上隨便釘上5根釘，

　�。�4）我們一定能夠在一個每邊都是2單位長的正方形板上適當?shù)尼斏?根釘，使它們之中不存在有兩根釘?shù)木嚯x是小于1單位。

　　（5）（英國數(shù)學奧林匹克1975年的問題）在一個半徑為1單位的圓板上釘7個釘，使得沒有兩個釘?shù)木嚯x是大過或等于1，那么這7個釘一定會有一個位置恰好是在圓心上。

　　（6）任意6個人在一起，一定會有其中兩種情形之一發(fā)生：第一種情形──有3個人互相認識。第二種情形──有3個人，他們之間完全不認識。

　�。�7）（a）你能不能在從1到200的整數(shù)里挑選出100個自然數(shù)，使到任何其中之一不能整除剩下的99個數(shù)。

　�。╞）證明如果在從1到200間隨便取101個自然數(shù)，那么一定最少有兩個自然數(shù)，其中之一能整除另外的數(shù)。

　�。�8）隨便給出10個10位數(shù)的數(shù)字，我們一定能把它分成兩部分，使到每一部分的整數(shù)的和是等于其他一部分的整數(shù)的和。

　　高一數(shù)學學習：數(shù)學學習從學會到會學二

　　為大家提供“高一數(shù)學學習：數(shù)學學習從學會到會學二”一文，供大家參考使用：

　　高一數(shù)學學習：數(shù)學學習從學會到會學二

　　善于歸納總結知識間的聯(lián)系

　　學習數(shù)學并非我做題就可以取得好的成績，而是要將精力花在歸納總結上。特別對課本或課堂上出現(xiàn)的例題，只要善于總結，就可以了解這一小節(jié)數(shù)學內容有哪幾種題型，每種題目的一般解法和思路是什么，從而提高運用所學知識分析解題的能力。同時，每學完一個單元，要建立本單元的知識框架，將本章的主要思路、推理方法及運用技巧等轉變成自己的實際技能。

　　學會發(fā)現(xiàn)問題，并重視質疑在學習中�？吹匠煽兒每赐瑢W，總是有很多問題問老師，而成績差的同學卻提不出什么問題。提出疑問不僅是發(fā)現(xiàn)真知的起點，而且是發(fā)明創(chuàng)造的開端。提高學習成績的過程就是發(fā)現(xiàn)，提出并解決疑問的過程。大膽向老師質疑，不是笨的反映，而是在追求真知、積極進取的表現(xiàn)。在聽課中，不但要“知其然”，還要“知其所以然”，這樣疑問也就在不斷產生，再加以分析思考使問題得以解決，學習也就得到了長進。

　　以上就是“高一數(shù)學學習：數(shù)學學習從學會到會學二”的所有內容，希望對大家有所幫助!

　　高考數(shù)學復習需重視的五個問題

　　一、應用性問題

　　教學大綱指出：要增強用數(shù)學的意識，一方面通過背景材料，進行觀察、比較、分析、綜合、抽象和推理，得出數(shù)學概念和規(guī)律，另一方面更重要的是能夠運用已有的知識將實際問題抽象為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型。近幾年的數(shù)學高考加大了應用性試題的考查力度，數(shù)量上穩(wěn)定為兩小一大;質量上更加貼近生產和生活實際，體現(xiàn)科學技術的發(fā)展，更加貼近中學數(shù)學教學的實際。解答應用性試題，要重視兩個環(huán)節(jié)，一是閱讀、理解問題中陳述的材料;二是通過抽象，轉換成為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型。函數(shù)模型、數(shù)列模型、不等式模型、幾何模型、計數(shù)模型是幾種最常見的數(shù)學模型，要注意歸納整理，用好這幾種數(shù)學模型。

　　二、最值和定值問題

　　最值和定值是變量在變化過程中的兩個特定狀態(tài)，最值著眼于變量的最大?。定值著眼于變量在變化過程中的某個不變量。近幾年的數(shù)學高考試題中，出現(xiàn)過各種各樣的最值問題和定值問題，選用的知識載體多種多樣，代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何都曾出現(xiàn)過有關最值或定值的試題，有些應用問題也常以最大?。設問的方式。分析和解決最值問題和定值問題的思路和方法也是多種多樣的。命制最值問題和定值問題能較好體現(xiàn)數(shù)學高考試題的命題原則。應對最值問題和定值問題，最重要的是認真分析題目的情景，合理選用解題的方法。

　　三、參數(shù)問題

　　參數(shù)兼有常數(shù)和變數(shù)的雙重特征，是數(shù)學中的“活潑”元素，曲線的參數(shù)方程，含參數(shù)的曲線方程，含參變系數(shù)的函數(shù)式、方程、不等式等，都與參數(shù)有關。函數(shù)圖象與幾何圖形的各種變換也與參數(shù)有關，有的探究性問題也與參數(shù)有關。參數(shù)具有很強的“親和力”，能廣泛選用知識載體，能有效考查數(shù)形結合、分類討論、運動變換等數(shù)學思想方法。應對參數(shù)問題要把握好兩個環(huán)節(jié)，一是搞清楚參數(shù)的意義特別是具有幾何意義的參數(shù)，一定要運用數(shù)形結合的思想方法處理好圖形的幾何特征與相應的數(shù)量關系的相互聯(lián)系及相互轉換。二是要重視參數(shù)的取值的討論，或是用待定系數(shù)法確定參數(shù)的值，或是用不等式的變換確定參數(shù)的取值范圍。

　　四、代數(shù)證明題

　　近幾年的數(shù)學高考注意控制立體幾何試題的難度，推理論證能力的考查重點轉移到代數(shù)與解析幾何證明題。函數(shù)的性質及相關函數(shù)的證明題;數(shù)列的性質及相關數(shù)列的證明題;不等式的證明題，尤其是與函數(shù)或數(shù)列相綜合的不等式的證明題等，都頻頻出現(xiàn)在近幾年的數(shù)學高考試題之中。應對代數(shù)證明題，一是要全面審視各相關因素的關系，注意題目的整體結構;二是要完整、準確表述推理論證的過程，對于具有幾何意義的代數(shù)證明題，要妥善處理幾何直觀、數(shù)式變換及推理論證的關系，注意防止簡單運用“如圖可知”替代推理論證。

　　五、探究性問題

　　近幾年的數(shù)學高考貫徹了“多考一點想，少考一點算”的命題意圖，加大試題的思維量，控制試題的運算量，突出對數(shù)學的“核心能力”——思維能力的考查。有些試題設計了新穎的情景，有些試題設計了靈活的設問方式，有些試題設計了新的題型結構或必要條件的問題等?這樣的試題有助于克服死記硬背和機械照搬，優(yōu)化考查功能。應對探究性問題要審慎處理“閱讀理解”和“整體設計”兩個環(huán)節(jié)，首先要把題目讀懂，全面、準確把握題目提供的所有信息和題目提出的所有要求，在此基礎上分析題目的整體結構，找好解題的切入點，對解題的主要過程有一個初步的設計，再落筆解題。在思維受阻時，及時調整解題方案。切忌一知半解就動手解題。

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　　坐標系的由來

　　傳說中有這么一個故事：

　　有一天，笛卡爾（1596—1650，法國哲學家、數(shù)學家、物理學家）生病臥床，但他頭腦一直沒有休息，在反復思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這里，關鍵是如何把組成幾何的圖形的點和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤。他就拼命琢磨。通過什么樣的辦法、才能把“點”和“數(shù)”聯(lián)系起來。突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”，使笛卡爾思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點，它在屋子里可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數(shù)確定下來呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線，如果把地面上的墻角作為起點，把交出來的三條線作為三根數(shù)軸，那么空間中任意一點的位置，不是都可以用這三根數(shù)軸上找到的有順序的三個數(shù)來表示嗎？反過來，任意給一組三個有順序的數(shù)，例如3、2、1，也可以用空間中的一個點 P來表示它們（如圖 1）。同樣，用一組數(shù)（a， b）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組二個有順序的數(shù)來表示（如圖2）。于是在蜘蛛的啟示下，笛卡爾創(chuàng)建了直角坐標系。

　　圖1

　　圖2

　　無論這個傳說的可靠性如何，有一點是可以肯定的，就是笛卡爾是個勤于思考的人。這個有趣的傳說，就象瓦特看到蒸汽沖起開水壺蓋發(fā)明了蒸汽機一樣，說明笛卡爾在創(chuàng)建直角坐標系的過程中，很可能是受到周圍一些事物的啟發(fā)，觸發(fā)了靈感。

　　直角坐標系的創(chuàng)建，在代數(shù)和幾何上架起了一座橋梁。它使幾何概念得以用代數(shù)的方法來描述，幾何圖形可以通過代數(shù)形式來表達，這樣便可將先進的代數(shù)方法應用于幾何學的研究 高中地理。

　　笛卡爾在創(chuàng)建直角坐標系的基礎上，創(chuàng)造了用代數(shù)方法來研究幾何圖形的數(shù)學分支——解析幾何。他的設想是：只要把幾何圖形看成是動點的運動軌跡，就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特性的點組成的。比如，我們把圓看成是一個動點對定點O作等距離運動的軌跡，也就可以把圓看作是由無數(shù)到定點O的距離相等的點組成的。我們把點看作是留成圖形的基本元素，把數(shù)看成是組成方程的基本元素，只要把點和數(shù)掛上鉤，也就可以把幾何和代數(shù)掛上鉤。

　　把圖形看成點的運動軌跡，這個想法很重要！它從指導思想上，改變了傳統(tǒng)的幾何方法。笛卡爾根據(jù)自己的這個想法，在《幾何學》中，最早為運動著的點建立坐標，開創(chuàng)了幾何和代數(shù)掛鉤的解析幾何。在解析幾何中，動點的坐標就成了變數(shù)，這是數(shù)學第一次引進變數(shù)。

　　恩格斯高度評價笛卡爾的工作，他說：“數(shù)學中的轉折點是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學。”

　　坐標方法在日常生活中用得很多。例如象棋、國際象棋中棋子的定位；電影院、劇院、體育館的看臺、火車車廂的座位及高層建筑的房間編號等都用到坐標的概念。

　　隨著同學們知識的不斷增加，坐標方法的應用會更加廣泛。

　　高三數(shù)學教學進度及復習計劃

　　一、目的

　　為了能做到有計劃、有步驟、有地完成學科教學，正確把握整個的節(jié)奏，明確不同階段的任務及其目標，做到針對性強，使得各方面的具體要求落實到位，特制定此計劃，并作出具體要求。

　　二、計劃

　　1、第一輪復習順序：

　�。�1）集合與簡易邏輯→不等式→函數(shù)→導數(shù)（含積分）→數(shù)列（含數(shù)學歸納法、推理與證明）。

　　（2）三角函數(shù)→向量→立體幾何→解析幾何。

　　（3）排列與組合→概率與統(tǒng)計→復數(shù)→算法與框圖。

　　2、第一輪復習目標：全面掌握好概念、公式、定理、公理、推論等基礎，切實落實好課本中典型的例題和課后典型的練習題，落實好每次課的作業(yè)，使能較熟練地運用基礎解決簡單的數(shù)學問題。同時搞好每個單元的跟蹤檢測，注重課本習題的改造，單元存在的問題在月考中去強化、落實。

　　3、第二輪復習順序：選擇題解法→填空題解法→數(shù)學→數(shù)學思想→重要知識點的專題深化。

　　4、第二輪復習目標：在進一步鞏固基礎知識的前提下，注重方法、思想、重要知識的專題深化，使學生能熟練地運用基礎知識和數(shù)學方法、思想解決較為復雜的數(shù)學問題。同時落實好每次測試，每月一次的診斷性綜合，并對存在的問題作好整理，為第三輪復習作好前期工作。

　　5、第三輪復習順序：每周一次模擬考試→查漏補缺訓練→規(guī)范答題卡訓練。

　　6、第三輪復習目標：對準常見題型進行強化落實訓練、查漏補缺訓練和答題卡作答規(guī)范化的訓練，同時落實好每次課的作業(yè)，每周扎扎實實地完成一套模擬，使學生形成完整的知識體系和較高的適應的數(shù)學綜合。

　　7、復習時間表：

　　周次起止時間內容

　　下學期和暑期集合的概念與運算，函數(shù)的概念；函數(shù)的解析式與定義域；函數(shù)的值域，函數(shù)的奇偶性與單調性；函數(shù)的圖象；二次函數(shù)，指數(shù)、對數(shù)和冪函數(shù)；綜合應用，導數(shù)的概念及運算，導數(shù)的應用，積分的概念和應用

　　等差數(shù)列；等比數(shù)列

　　第1周8.8——8.12；數(shù)列的通項與求和

　　第2周8.13——8.19三角函數(shù)的概念；三角函數(shù)的恒等變形；三角函數(shù)中的求值問題

　　第3周8.20——8.26三角函數(shù)的性質；y=Asin（ωx+φ）的圖象及性質；三角形內的三角函數(shù)問題；三角函數(shù)的最值、綜合應用

　　第4周8.27——9.2向量的基本運算；向量的坐標運算；平面向量的數(shù)量積

　　第5周9.3——9.9正弦和余弦定理；解三角形；綜合應用

　　第6周9.10——9.16不等式和一元二次不等式

　　第7周9.17——9.23二元一次不等式和簡單的線性規(guī)劃；綜合應用

　　第8周9.24——9.30簡單幾何體的三視圖和直觀圖；柱體、椎體和球體的表面積和體積

　　第9周10.1——10.7空間兩條直線的位置關系；線面平行和垂直的性質和判定定理

　　第10周10.8——10.14空間中角與距離的解法；空間向量運算及在立體幾何中的應用

　　第11周10.15——10.21復習，章節(jié)訓練

　　第12周10.22——10.28復習，綜合訓練；期試

　　第13周11.3——11.11直線的方程；兩條直線的位置關系；圓的方程

　　第14周11.12——11.18直線與圓的位置關系；綜合應用

　　第15周11.19——11.25橢圓；

　　第16周11.26——12.2雙曲線；拋物線

　　第17周12.3——12.9直線和圓錐曲線；軌跡；綜合應用

　　第18周12.10——12.16排列與組合；.二項式定理；

　　第19周12.17——12.23等可能事件的概率；有關互斥事件、相互獨立事件的概率；綜合應用

　　第20周12.24——12.30離散型隨機變量的分布列、期望與方差；統(tǒng)計的應用；獨立性檢驗

　　第21周1.1&mdash 高中數(shù)學;—1.6算法

　　第22周1.7——1.13綜合訓練

　　三、具體要求

　　1.三輪復習總體要求：科學安排，狠抓落實。要求第一輪復習立足于基礎知識和基本方法，起點不能太高，復習要有層次感，選題以容易題和中檔題為主，盡可能照顧絕大多數(shù)學生。這樣才能創(chuàng)造良好的氛圍，確保基礎和方法扎實，同時盡可能縮短第一輪復習時間，給后面的拔高和的反復訓練提供足夠的時間。第二、三輪復習要求起點較高，對準中等及其以上學生，選題難度以中檔題為主，根據(jù)知識點的需要穿插少量綜合性較大的題，在整個復習過程中堅持講練結合，體現(xiàn)學生的主動性，加強對所學方法的模仿訓練，切實落實好作業(yè)、跟蹤檢測和信息反饋。

　　2、多互相，吸取他人優(yōu)點，揚長避短，提高復習效率，在可能的情況下盡快統(tǒng)一一種可行的、科學的復習模式。

　　3、積極參加教研活動，利用教研活動，能創(chuàng)新、群策能力。本屆高三的教研活動以高考中的知識專題為主，如高考考什么？怎樣考？同時確定專題專人發(fā)言，并提供這方面的集。加強對每次單元測試和月考試卷考前的審題、考后的總結和評估，加強對和信息整理的互通，特別要加強對第三輪復習中高考常見大題的研討，加強針對性訓練，突出效果。

　　4、作業(yè)要求：堅持三輪都有單元測試的做法。務必落實好測試的做和評，搞好課后鞏固這一重要環(huán)節(jié)，力求在這方面有所突破和提高。

　　5、考試要求：堅持考前審題和考后小結與評估，注重對反饋信息的整理（如知識和方法掌握不好的），大題各種方法探索及整理，每次考試主要采用自主命題、確定一人負責，全組共同討論的方式命制試題。模擬考試試題研究方向分組如下：文科：一組：侯曉玲，朱燕燕；二組：杜主任，于主任；理科：一組；于主任、冷曉輝；二組：侯曉玲、呂曉輝；三組：張，朱燕燕。

　　6、努力抓好各班總分靠前而數(shù)學成績偏弱的這一部分學生，通過重視、關注、關心、個別輔導，提高他們的學數(shù)學的積極性，確保升學率和平均分的提高。

　　衷心希望大家能同舟共濟，團結協(xié)作，研討創(chuàng)新，發(fā)揚拼搏、奉獻、吃苦耐勞精神，切實落實好工作中每一個環(huán)節(jié)，爭取取得優(yōu)異成績。

　　《3.1.2 用二分法求方程的近似解》測試題

　　一、選擇題

　　1.用二分法求函數(shù)的零點時，初始區(qū)間可選為( ).

　　A. B. C. D.

　　考查目的：考查函數(shù)零點的存在性定理.

　　答案：B.

　　解析：∵，，∴，∴初始區(qū)間應選為.

　　2.下列函數(shù)圖象與軸均有交點，其中能用二分法求函數(shù)零點近似值的是( ).

　　A.① B.② C.③ D.④

　　考查目的：考查能用二分法求零點的函數(shù)必須滿足的條件.

　　答案：C.

　　解析：能用二分法求零點的函數(shù)必須滿足在區(qū)間上連續(xù)不斷，且.

　　3.用二分法求方程在內的近似根，要求精確度為0.01，則至少要使用( )次二分法.

　　A.5 B.6 C.7 D.8

　　考查目的：考查精確度的意義及用二分法求方程近似解的基本方法.

　　答案：C.

　　解析：精確度為0.01是指二分法停止在二分區(qū)間時，區(qū)間的長度.對于區(qū)間，二分一次區(qū)間長度為，二分二次區(qū)間長度為，二分三次區(qū)間長度為，…，二分六次區(qū)間長度為，二分七次區(qū)間長度為，故至少要使用七次二分法.

　　二、填空題

　　4.設，用二分法求方程在內近似解過程中，得到，，，則方程的根落在的區(qū)間是 .

　　考查目的：考查函數(shù)零點存在性定理及用二分法求方程近似解的基本方法.

　　答案：.

　　解析：∵，∴答案應該為.

　　5.用二分法求方程在區(qū)間內的實根，取區(qū)間中點，那么下一個有根區(qū)間是__________．

　　考查目的：考查二分法求方程近似解的方法.

　　答案：.

　　解析：設，由計算器計算得，

　　，故，∴下一個有根區(qū)間是.

　　6.若函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值部分參考數(shù)據(jù)如下：

　　1

　　1.5

　　1.25

　　1.375

　　1.4375

　　1.40625

　　-2

　　0.625

　　-0.984

　　-0.260

　　0.162

　　-0.054

　　那么方程的一個近似根(精確度為0.1)為__________.

　　考查目的：考查二分法求方程近似解的基本方法與精確度的意義.

　　答案：.

　　解析：由表格知，，∴，而

　　，∴函數(shù)的一個零點近似值是，即為方程的一個近似根.

　　三、解答題

　　7.求方程的近似解(精確到0.1).

　　考查目的：考查函數(shù)零點的意義、精確度的意義和二分法求方程近似解的基本方法.

　　答案：1.4.

　　解析：令，結合與的圖象可知方程有唯一解.

　　∵，∴在區(qū)間內，方程有一解，記為.取區(qū)間的中點，用計算器可得，∴.取的中點，計算，∴.如此繼續(xù)下去，得

　　∵1.375與1.4375精確到0.1的近似值都是1.4，∴原方程精確到0.1的近似值為1.4.

　　8.用二分法求函數(shù)在區(qū)間內的零點(精確到0.1).

　　考查目的：考查二分法求方程近似解的基本步驟及精確度的理解.

　　答案：2.3.

　　解析：∵的定義域為，，

　　，∴，∴函數(shù)在區(qū)間內有零點.

　　又∵在定義域上是單調遞增的，

　　∴函數(shù)在區(qū)間內只有一個零點.

　　利用二分法計算，列表如下：

　　區(qū)間

　　中點值

　　中點函數(shù)近似值

　　(2，3)

　　2.5

　　0.12

　　(2，2.5)

　　2.25

　　-0.08

　　(2.25，2.5)

　　2.375

　　0.023

　　(2.25，2.375)

　　2.3125

　　-0.027

　　(2.3125，2.375)

　　2.34375

　　-0.0016

　　(2.34375，2.375)

　　2.359375

　　0.01

　　(2.34375，2.359375)

　　2.3515625

　　0.0046

　　(2.34375，2.3515625)

　　2.34765625

　　0.0015

　　(2.34375，2.34765625)

　　∵2.343 75與2.347 656 25精確到0.1的近似值都是2.3，

　　∴函數(shù)在區(qū)間內零點的近似值是2.3.

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